§ 10.10. Сопряженное пространство. Теорема Рисса

Множество непрерывных линейных функционалов, определенных в гильбертовом пространстве H, называется пространством, сопряженным к H, и обозначается через H^*.

Отметим, что в соответствии со сказанным в § 1, H^* является линейным пространством. Важнейшую информацию о структуре H^* дает следующая

Теорема (Ф. Рисса об общем виде линейного непрерывного функционала). Пусть H гильбертово пространство. Тогда

1) для всякого непрерывного линейного функционала f на H существует единственный вектор $x_0\in H$такой, что

$$f(x)=(x,x_0) \eqno(14)$$

для всех $x\in H$,причем $\Vert f\Vert =\Vert x_0 \Vert$;

2) если $x_0\in H$,то формула (14) определяет линейный непрерывный функционал на H такой, что $\Vert f\Vert =\Vert x_0 \Vert$.

Доказательство. Начнем с 2). Ввиду линейности скалярного произведения по первому аргументу, ясно, что при любом $x_0\in H$формула (14) определяет линейный функционал на H. Поскольку на основании неравенства Коши -- Буняковского имеем $\vert f(x)\vert=\vert(x,x_0)\vert\leq\Vert x\Vert\cdot\Vert x_0\Vert$,то норма f не превосходит $\Vert x_0\Vert$,а значит, f непрерывен. Однако, $\vert f(x_0)\vert=\vert(x_0,x_0)\vert=\Vert x_0\Vert^2$и, следовательно, $\Vert f\Vert =\Vert x_0 \Vert$.

Доказательство 1) начнем с того, что убедимся в существовании нужного вектора x₀.

Поскольку функционал f непрерывен, то его ядро $\rm{ker} f$замкнуто и, следовательно, все пространство H представляется в виде прямой суммы ядра $\rm{ker} f$и его ортогонального дополнения $(\rm{ker} f)^\bot$:$H=\rm{ker} f\oplus(\rm{ker} f)^\bot$ . Последнее означает, что каждый вектор $x\in H$может быть единственным образом представлен в виде x=x₁+x₂, где $x_1\in\rm{ker} f$,$x_2\in(\rm{ker} f)^\bot$.

Если f=0, то $\rm{ker} f=H$,$(\rm{ker} f)^\bot=\{ 0\}$и, положив x₀=0 будем иметь f(x)=0=(x,x₀) для всех $x\in H$.

Если $f\neq 0$,то $\rm{ker} f\neq H$,а ортогональное дополнение к ядру $(\rm{ker} f)^\bot$не сводится к нулевому вектору и имеет размерность 1. Фиксировав вектор $x_3\in(\rm{ker} f)^\bot$единичной длины видим, что для любого $x_2\in(\rm{ker} f)^\bot$найдется число $\alpha$такое, что $x_2=\alpha x_3$,а значит, для любого вектора $x\in H$найдутся вектор $x_1\in\rm{ker} f$и число $\alpha$такие, что $x=x_1+\alpha x_3$.Следовательно, для любого $x\in H$имеем

$$\begin{array} {ll} f(x) &=f(x_1+\alpha x_3)=f(x_1)+\alpha f(... ...=\\ &=(x_1+\alpha x_3,\overline{f(x_3)}x_3)=(x,x_0),\end{array}$$

где введено обозначение $x_0=\overline{f(x_3)}x_3$.Существование x₀ доказано.

Единственность x₀ докажем от противного. Допустим, что нашлось два вектора x₀ и $\tilde x_0$таких, что для всех $x\in H$$(x,x_0)=f(x)=(x,\tilde x_0)$.Тогда для всех $x\in H$имеем $(x,x_0-\tilde x_0)=0$.Полагая в последнем равенстве $x=x_0-\tilde x_0$,будем иметь $(x_0-\tilde x_0,x_0-\tilde x_0)=\Vert x_0-\tilde x_0 \Vert ^2=0$,а значит -- $x_0=\tilde x_0$.

Для завершения доказательства утверждения 1) остается заметить, что равенство $\Vert f\Vert =\Vert x_0 \Vert$для функционалов, заданных формулой (14), было нами доказано ранее.

В заключение отметим, что из теоремы Рисса следует, что правило, которое сопоставляет вектору x₀ непрерывный линейный функционал f по формуле f(x)=(x,x₀), определяет линейный изоморфизм векторных пространств H и H^*. Следовательно, H и H^* ``с точностью до обозначений'' являются одним и тем же пространством. Последнее обстоятельство становится особенно наглядным в случае, когда H является вещественным пространством векторов-столбцов длины n:

$$x=\left( \begin{array} {c} x_1\\ x_2\\ \vdots \\ x_n\end{array}\right) .$$

Тогда H^* будет пространством векторов-строк длины n:

$$y=(y_1, y_2, \dots , y_n),$$

причем результат действия функционала y на вектор x может быть записан с использованием умножения $n\times 1$и $1\times n$-матриц:

$$y(x)= \left( \begin{array} {c} x_1\\ x_2\\ \vdots \\ x_n\end... ...\right) (y_1, y_2, \dots , y_n)= \sum\limits_{j=1}^{n} x_jy_j .$$

При этом изоморфизм пространств H и H^* задается операцией транспонирования векторов, а сами пространства H и H^* совпадают ``с точностью до обозначений''.