§ 10.11. Бра - и кет-векторы

В этом параграфе мы опишем формализм, предложенный П. А. М. Дираком в книге ``Принципы квантовой механики'' и прочно утвердившийся в физической литературе.

Прежде всего, давайте договоримся в пределах этого параграфа считать, что скалярное произведение линейно не по первому аргументу, как было до сих пор, а по второму и давайте записывать скалярное произведение векторов x и y несколько необычным образом: $\langle x\vert y \rangle$.Более того, давайте формально разделим этот символ на две части:

$$\langle x\vert y \rangle = \bigl\{ \langle x\vert \bigr\} \bigl\{ \vert y \rangle \bigr\}.$$

Первая часть этого символа -- $\langle x\vert$называется бра-вектором, вторая -- $\vert y \rangle$ -- кет-вектором. Название происходит от английского слова bracket -- скобки.

Может показаться странным, что один и тот же вектор y мы можем по собственному желанию записывать, то как бра-вектор $\langle y\vert$,то как кет-вектор $\vert y \rangle$.

Чтобы разобраться в этой ситуации, будем отождествлять произвольный вектор y пространства H с кет-вектором $\vert y \rangle$.Тогда всякий бра-вектор $\langle x\vert$с помощью формулы $f(y)=\langle x\vert y \rangle$задает линейный непрерывный функционал на пространстве H. Но и обратно, на основании теоремы Рисса, всякий непрерывный линейный функционал на H может быть записан в виде скалярного произведения $\langle x\vert y \rangle$.Следовательно, бра-векторы можно отождествить с непрерывными функционалами на H, т. е. с векторами сопряженного пространства H^*.

Таким образом, строго говоря, кет-векторы являются элементами пространства H, а бра-векторы -- элементами пространства H^*, и отождествлять их с ``обычными'' векторами $x\in H$можно только благодаря изоморфности пространств H и H^*, установленной в теореме Рисса.

Приведем два примера использования формализма бра- и кет-векторов.

Пример 1 (разложение тождественного оператора). Убедимся, что если $x_1, x_2, \dots ,x_n, \dots$-- ортонормированный базис в H, то

$$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \vert x_n\rangle\langle x_n\vert=I, \eqno(15)$$

где $I:H\to H$тождественный оператор.

В самом деле, поскольку $x_1, x_2, \dots ,x_n, \dots$образуют ортонормированный базис, то любой вектор $x\in H$может быть разложен по нему: $x=\sum\limits_{n=1}^{\infty} \lambda_nx_n$,где $\lambda _n$-- коэффициенты Фурье вектора x. С использованием бра- и кет-обозначений это разложение может быть переписано в виде

$$\vert x\rangle =\sum\limits_{n=1}^{\infty} \lambda_n\vert x_n\rangle,\eqno(16)$$

а для того, чтобы найти выражение для коэффициентов Фурье $\lambda _n$ , в бра- и кет-обозначениях подействуем на обе части последней формулы бра-вектором $\langle x_m\vert$:

$$\langle x_m\vert x \rangle = \langle x_m\vert\biggl\{ \sum\l... ...n=1}^{\infty} \lambda_n\langle x_m\vert x_n\rangle = \lambda_m.$$

[В третьем равенстве мы воспользовались ортонормированностью базиса $x_1, x_2, \dots ,x_n, \dots$,а во втором -- линейностью скалярного произведения по второму аргументу. Последним обстоятельством объясняется перемена мест сомножителей в полученной формуле по сравнению с той, которой мы пользовались до введения бра- и кет-формализма : $\lambda _n=(x,x_n)$.]

Подставив полученное выражение для коэффициентов Фурье в формулу (16), будем иметь

$$\vert x \rangle = \sum\limits_{n=1}^{\infty} \vert x_n \rang... ...fty} \vert x_n\rangle \langle x_n\vert \biggr\} \vert x\rangle.$$

Следовательно, оператор, стоящий в фигурных скобках, переводит произвольный кет-вектор в себя, т. е. является тождественным. Равенство (15) доказано.

Пример 2. (Нахождение резольвенты.) Пусть H -- n-мерное гильбертово пространство, $A:H\to H$ -- линейный оператор, собственные векторы $x_1, x_2, \dots , x_n$которого образуют ортонормированный базис в H. Собственное значение оператора A, отвечающее собственному вектору x_j, обозначим через $\lambda_j$:$Ax_j=\lambda_jx_j$.Решим неоднородное уравнение

$$Ax-\lambda x=y, \eqno(17)$$

из которого требуется определить вектор $x\in H$,а вектор y и число $\lambda$считаются заданными, причем заранее будем предполагать, что $\lambda$не равняется ни одному из чисел $\lambda_1, \lambda_2, \dots ,\lambda_n$.

Используя бра- и кет-обозначения, перепишем исходное уравнение в виде

$$A\vert x\rangle -\lambda \vert x\rangle =\vert y\rangle, \eqno(18)$$

и разложим искомый вектор $\vert x\rangle$по базису $\vert x_1\rangle ,\vert x_2\rangle ,\dots ,\vert x_n\rangle$:

$$\begin{array} {ccc} \vert x\rangle & &\sum\limits_{j=1}^{n} ... ...rt \\ x&=&\sum\limits_{j=1}^{n} \alpha_jx_j\end{array}\eqno(19)$$

Тогда

$$A\vert x\rangle =Ax=A\bigl( \sum\limits_{j=1}^{n}\alpha_jx_j... ...m\limits_{j=1}^{n}\alpha_j\lambda_j\vert x_j\rangle . \eqno(20)$$

Подставив выражения (19) и (20) в уравнение (18), получим

$$\sum\limits_{j=1}^{n}\alpha_j(\lambda_j-\lambda ) \vert x_j\rangle =\vert y\rangle .$$

Подействовав на обе части последнего уравнения бра-вектором $\langle x_k\vert$,воспользовавшись линейностью скалярного произведения по второму аргументу и ортонормированностью векторов $x_1, x_2, \dots , x_n$,будем иметь

$$\begin{array} {ll} \langle x_k\vert y\rangle &= \langle x_k\... ... x_k\vert x_j\rangle = \alpha_k (\lambda_k-\lambda).\end{array}$$

Использовав полученное таким образом выражение для $\alpha_k$,получим

$$\vert x\rangle = \sum\limits_{j=1}^{n}\vert x_j\rangle\alpha... ...e\langle x_j\vert}{\lambda_j-\lambda} \biggr\} \vert y\rangle .$$

Выражение

$$\sum\limits_{j=1}^{n} \frac{\vert x_j\rangle\langle x_j\vert}{\lambda_j-\lambda} \eqno(21)$$

представляет собой линейный оператор, определенный во всем пространстве H и ``разрешающий'' уравнение (17). В § 7 мы условились называть его резольвентой.

Отметим, что при сделанных выше предположениях резольвента зависит только от собственных значений и собственных векторов оператора A. Поэтому как только собственные векторы и собственные значения оператора A известны, мы можем выписать ответ к уравнению (17) при любой правой части y.

Выражение, аналогичное формуле (21), может быть получено и для бесконечномерных пространств (формально надо лишь заменить верхний предел суммирования n на $\infty$). Именно такая ситуация имеет место при изучении задачи Штурма -- Лиувилля в дифференциальных уравнениях, где выражения, аналогичное формуле (21) называется формулой Грина. Но исследование сходимости соответствующего операторного ряда выходит за пределы настоящего курса.