Задачи

Пусть векторы $x_1, x_2, \dots , x_n$образуют ортонормированый базис в H. В задачах 60-63 найдите матрицы следующих операторов в этом базисе:

$$\begin{array} {l} \rm{60}. \quad \vert x_1\rangle \langle x_... ...\langle x_2\vert+3\vert x_3\rangle \langle x_3\vert.\end{array}$$

64. Пусть в трехмерном евклидовом пространстве введена декартова прямоугольная система координат x, y, z. Используя бра- и кет-обозначения, постройте оператор ортогонального проектирования на плоскость, которая пересекает плоскость xz под углом $45^\circ$ по отношению и оси x и пересекает плоскость yz вдоль прямой z=0.

65. Пусть в трехмерном евклидовом пространстве введена декартова прямоугольная система координат x, y, z. Используя бра- и кет-обозначения, постройте оператор ортогонального проектирования на прямую y=0, x=3z.

66. Используя бра- и кет-обозначения найдите резольвенту для оператора, заданного в некотором ортонормированном базисе матрицей

$$\left( \begin{array} {cc} 0 & 1\\ 1 & 0\end{array} \right) .$$

Перепишите ответ в обычной матричной форме.

67. Решите задачу 66 для матрицы

$$\left( \begin{array} {cc} a & -a\\ -a & 2a\end{array} \right) .$$