§ 10.12. Оператор, сопряженный к ограниченному: определение и простейшие свойства

Пусть $A:H\to H_1$ -- ограниченный линейный оператор и $x_0\in H$.Построим функционал $f:H\to C\!\!\!\!\! I \$с помощью формулы

f(x)=(Ax,x₀).

Тогда f линеен (что очевидно из-за линейности скалярного произведения по первому аргументу и линейности А) и ограничен:

$$\Vert f\Vert =\sup\limits_{x\neq 0} \frac{\vert f(x)\vert}{\... ...rt\cdot\Vert x_0\Vert}{\Vert x\Vert} =\Vert x_0\Vert <+\infty .$$

Поэтому, согласно теореме Рисса, существует единственный вектор $x_1\in H$такой, что для всех $x\in H$справедливо равенство f(x)=(x,x₁). Таким образом, возникает отображение пространства H₁ в пространство H, сопоставляющее вектору $x_0\in H_1$вектор $x_1\in H$.Оно называется оператором, сопряженным к A и обозначается через A^*.

Более кратко предыдущее определение можно высказать так: оператор A^* называется сопряженным к ограниченному оператору $A:H\to H_1$,если равенство (Ax,y)=(x,A^*y) выполняется для всех $x\in H$и всех $y\in H_1$.

Подчеркнем, что если оператор A отображает пространство H в H₁, то сопряженный к нему оператор A^* отображает H₁ в H, т. е. ``действует навстречу''.

Пример 1 (Сопряженный оператор в конечномерном пространстве).

Пусть H и H₁ -- конечномерные гильбертовы пространства и $A:H\to H_1$ -- линейный оператор.

Фиксируем некоторый ортонормированный базис x₁, x₂, $\dots$, x_n в H и некоторый ортонормированный базис $y_1, y_2, \dots , y_m$в H₁. Из § 1 мы знаем, что каждому из операторов A и A^* соответствует матрица a_kj $(k=1,2,\dots ,m;$$j=1,2,\dots ,n)$и a_qp^* $(q=1,2,\dots ,n;$$p=1,2,\dots ,m)$в том смысле, что если

$$\begin{array} {llll} x&=\sum\limits_{j=1}^{n}\lambda_jx_j \q... ...ggl( \sum\limits_{p=1}^{m}a_{qp}^*\mu_p \biggr) x_q.\end{array}$$

Чтобы найти связь между коэффициентами матриц a_kj и a_qp^*, преобразуем равенство (Ax,y)=(x,A^*y), воспользовавшись ортонормированностью базисов $x_1, x_2, \dots , x_n$и $y_1, y_2, \dots , y_m$:

$$\begin{array} {ccc} (Ax,y) & = \biggl( \sum\limits_{k=1}^{m}... ...\limits_{k=1}^{m} a_{jk}^*\mu_k \biggr) } \lambda_j.\end{array}$$

Другими словами, мы видим, что для любых наборов чисел $\lambda_1, \lambda_2, \dots ,\lambda_n$и $\mu_1, \mu_2, \dots , \mu_m$должно выполняться равенство

$$\sum\limits_{k=1}^{m} \sum\limits_{j=1}^{n} \bigl( a_{kj}-\overline{a_{jk}^*} \bigr) \lambda_j\overline{\mu_k}=0. \eqno(22)$$

Отсюда вытекает, что для любой пары индексов j,k, справедливо равенство

$$a_{kj}=\overline{a_{jk}^*}. \eqno(23)$$

В самом деле, если для каких-то индексов j₀ и k₀ равенство (23) не выполнено, то в качестве набора $\lambda_1, \lambda_2, \dots ,\lambda_n$возьмем такой, в котором все числа равны 0, за исключением $\lambda_{j_0}$,которое положим равным 1. Аналогично, все числа $\mu_1, \mu_2, \dots , \mu_m$положим равными 0, за исключением $\mu_{k_0}$,которое положим равным 1. Тогда левая часть равенства (22) будет равна

$$a_{k_0j_0}-\overline{a_{j_0k_0}^*}\neq 0$$

и равенство (22) не будет выполняться. Полученное противоречие доказывает равенство (23).

Формула (23) означает, что если матрица оператора A задана относительно ортонормированных базисов в H и H₁, то сопряженно-транспонированная к ней матрица будет являться матрицей сопряженного оператора A^*. Это правило вам известно из курса линейной алгебры.

Пример 2 (Сопряженный к оператору умножения на независимую переменную в L₂[0,1]).

Пусть оператор $A:L_2[0,1]\to L_2[0,1]$задан формулой (Ax)(t)=tx(t), $t\in [0,1]$.Тогда для любых функций x и y из L₂[0,1] мы имеем

$$\begin{array} {ll} (Ax,y) &= \int\limits_{0}^{1} (Ax)(t)\ove... ...int\limits_{0}^{1} x(t)\overline{Ay(t)}\, dt=(x,Ay).\end{array}$$

Значит A^*=A.

При изучении свойств сопряженного оператора мы будем опираться на следующую мини-лемму: если векторы x и y гильбертова пространства H таковы, что для любого $z\in H$выполняется равенство (x,z)=(y,z), то x=y. Для доказательства достаточно заметить, что условие мини-леммы можно переформулировать так: (x-y,z)=0 для всех $z\in H$.Полагая в последнем равенстве z=x-y, получим $\Vert x-y\Vert^2=(x-y,x-y)=0$.Следовательно, x-y=0, что и требовалось доказать.

Формулируя следующие свойства оператора, сопряженного к ограниченному, будем подразумевать, что H,H₁ и H₂ -- гильбертовы пространства; $A:H\to H_1$и $B:H\to H_1$ -- ограниченные линейные операторы; $\alpha$и $\beta$ -- комплексные числа.

1). A^* является линейным ограниченным оператором, причем $\Vert A^* \Vert\leq\Vert A\Vert$.

Доказательство. Фиксируем векторы $y_1, y_2 \in H_1$и числа $\alpha _1, \alpha _2$.Тогда для любого вектора $x\in H$будем иметь

$$(x,A^*(\alpha_1y_1+\alpha_2y_2))= (Ax, \alpha_1y_1+\alpha_2y_2)= \overline{\alpha_1}(Ax,y_1)+ \overline{\alpha_2}(Ax,y_2)=$$

$$=\overline{\alpha_1}(x,A^*y_1)+ \overline{\alpha_2}(x,A^*y_2)= (x,\alpha_1A^*y_1+ \alpha_2A^*y_2).$$

На основании мини-леммы отсюда заключаем, что $A^*(\alpha_1y_1+\alpha_2y_2)=\alpha_1A^*y_1+\alpha_2A^*y_2$.Поскольку это равенство установлено для произвольных векторов y₁,y₂ и чисел $\alpha _1, \alpha _2$,то A^* -- линейный оператор.

Чтобы оценить норму оператора A^*, выведем с помощью неравенства Коши--Буняковского следующее вспомогательное неравенство

$$\bigl\vert (x,A^*y) \bigr\vert = \vert(Ax,y)\vert \leq \Vert... ...ert y\Vert\leq \Vert A\Vert\cdot\Vert x\Vert\cdot\Vert y\Vert ,$$

справедливое для всех векторов $x\in H$и $y\in H_1$.Подставив в него x=A^*y, будем иметь

$$\Vert A^*y\Vert ^2=(A^*y,A^*y)\leq \Vert A\Vert\cdot\Vert A^*y\Vert\cdot\Vert y\Vert$$

или

$$\Vert A^* y\Vert\leq\Vert A\Vert\cdot\Vert y\Vert .$$

Значит,

$$\Vert A^*\Vert =\sup\limits_{y\neq 0} \frac{\Vert A^* y\Vert }{\Vert y\Vert } \leq \Vert A\Vert ,$$

что и требовалось доказать.

2). $(\alpha A+\beta B)^*= \overline\alpha A^*+ \overline\beta B^*$.

Доказательство. Фиксировав векторы $x\in H$и $y\in H_1$,будем иметь

$$(x,(\alpha A+\beta B)^*y)= ((\alpha A+\beta B)x,y)= (\alpha\cdot Ax+\beta\cdot Bx,y)=$$

$$=\alpha (Ax,y)+\beta (Bx,y)= \alpha (x,A^*y)+\beta (x,B^*y)=$$

$$=(x,\overline{\alpha}\cdot A^*y+ \overline{\beta}\cdot B^*y)= (x,(\overline{\alpha} A^*+ \overline{\beta} B^*)y).$$

Поскольку при фиксированном y это равенство справедливо для всех $x\in H$,то, на основании мини-леммы, имеем

$$(\alpha A+\beta B)^*y= (\overline{\alpha} A^*+ \overline{\beta} B^*)y.$$

Значит, операторы $(\alpha A+\beta B)^*$и $\overline{\alpha} A^*+ \overline{\beta} B^*$,примененные к произвольному вектору $y\in H_1$,дают одинаковый результат. Это и означает, что они совпадают: $(\alpha A+\beta B)^*= \overline\alpha A^*+ \overline\beta B^*$.

3). (A^*)^*=A.

Доказательство. Поскольку оператор, сопряженный к $A:H\to H_1$,``действует навстречу'' A, то A^* отображает H₁ в H, а (A^*)^* -- H в H₁. Для любых $x\in H$и $y\in H_1$имеем

$$(y,(A^*)^*x)=(A^*y,x)= \overline{(x,A^*y)}= \overline{(Ax,y)}= (y,Ax).$$

Поскольку это равенство справедливо для любого вектора $y\in H_1$,то на основании мини-леммы заключаем, что (A^*)^*x=Ax для всех $x\in H$.Последнее означает, что (A^*)^*=A.

4). $\Vert A^*\Vert =\Vert A\Vert$.

Доказательство вытекает из соотношений $\Vert A^*\Vert\leq\Vert A\Vert =\Vert (A^*)^*\Vert\leq\Vert A^*\Vert$,первое и последнее из которых написаны в силу свойства 1) сопряженного оператора, а второе -- в силу свойства 3).

5). Если $I:H\to H$ -- тождественный оператор, то I^*=I.

Доказательство, как и предыдущее, опирается на мини-лемму и следующее вычисление (x,I^*y)=(Ix,y)=(x,y)=(x,Iy), справедливое для всех $x\in H$и $y\in H_1$.

Другие полезные свойства сопряженного оператора приведены в задачах.

Обратим внимание на то, что ограниченные линейные операторы можно рассматривать как обобщение комплексных чисел, поскольку числу $\alpha$можно сопоставить оператор $\alpha I$(I -- тождественный оператор), норма которого, очевидно равна модулю числа $\alpha$.С этой точки зрения операция нахождения оператора, сопряженного данному, является обобщением операции нахождения комплексного числа, сопряженного данному. Вышеприведенные свойства операторов являются обобщением хорошо известных свойств комплексных чисел. Например, свойство 3) означает, что число, сопряженное к сопряженному, равно исходному; свойство 4) -- что модуль числа, сопряженного к данному равен модулю исходного числа; 5) -- что число единица является вещественным.

Чтобы подчеркнуть указанную аналогию, во многих книгах и статьях, написанных физиками для физиков, операцию комплексного сопряжения для комплексных чисел обозначают не чертой, а звездочкой. Тогда, например, свойство 2) записывается более симметрично: $(\alpha A+\beta B)^*=\alpha^*A^*+\beta^*B^*$.Но мы не будем пользоваться этим соглашением.