Общественные блага

1.1 Экономика с общественными благами

Определение 1 Назовем благом коллективного потребления такое благо, потребление которого одним субъектом не мешает потреблению его другими; то есть связь между количеством x_i^k доступным потреблению отдельным (i-м) потребителем, и наличным количеством блага k в экономике в целом (е_j y_j^k +w _{_{_S}}^k) выражается неравенством x_i^k £ е_j y_j^k +w _{_{_S}}^k.

Иными словами, когда один из участников потребляет такое благо, то количество этого блага доступное другим участникам не убывает. Будем называть это свойство неконкурентностью совместного потребления (англ. non-rivalness).

Самым распространенным видом благ коллективного потребления является информация: изобретения, литературные произведения, аудио- и видеозаписи, компьютерные программы и т.п. Типичные примеры также - оборона и телетрансляция; моя полезность не убывает от того, что кто-то еще включил приемник.

Многие блага имеют характер смешанный, промежуточный между благами коллективного и частного потребления. В качестве примера можно указать транспортную инфраструктуру (дороги, мосты), потребительские свойства которой ухудшаются по мере нарастания перегруженности. В общем случае материальный полубаланс для i-го потребителя можно записать в виде x_i^k £ f_i(е_j y_j^k +w _{_{_S}}^k, x_-i^k), где x_-i^k - вектор объемов потребления блага другими (не i), а f_i - некоторая функция. Блага коллективного и частного потребления будут тогда крайними частными случаями этой функции с f_i(.) = е_j y_j^k +w _{_{_S}}^k и f_i(.) = е_j y_j^k+w_{_{_S}}^k -е_{j № i} x_j^k соответственно. Рассмотрением крайних случаев мы и ограничимся.

Определение 2 Благо коллективного потребления k называют общественным благом, когда физические или организационные условия не позволяют устранить никого из участников сообщества I от потребления этого блага, то есть количество x_i^k доступное для потребления любым участником одинаково: x_i^k = е_j y_j^k +w_{_{_S}}^k.¹

Практически чистым общественным благом можно считать оборону. Обычно неисключаемость (non-excludability) имеет не абсолютный, физический характер, а просто исключение требует достаточно больших издержек. Более того, иногда один и тот же вид благ коллективного пользования, например телевизионные программы, дороги, может потребляться то в коммерческой форме (например, исключение организовано в виде шлагбаума на дороге, и с каждого проезжающего взимается плата), то в общественной - быть доступным для использования любым желающим.

Неконкурентность часто приводит к образованию естественной монополии собственника блага (если фирма построила дорогу, вряд ли другая станет строить параллельную), и создает проблему выбора различных уровней оплаты и выбора объема блага (мы коснемся этого при анализе монополий). Тем более, и неисключаемость создает сходную проблему, которую называют проблемой финансирования общественного блага, ей и посвящен этот раздел.² Поскольку общественные блага можно считать частным случаем экстерналий (а именно: влияние производителя на потребителей) то проблема финансирования о.б. родственна проблеме нахождения налогов Пигу.

Обозначим K_priv множество частных благ, а K_pub - множество общественных благ. Для простоты предположим, что каждое общественное благо потребляется только потребителями, а предприятия могут общественные блага только производить. Поскольку мы не различаем доступное для потребления и потребляемое, то можно считать, что в потребительские функции прямо входит общий имеющийся объем общественного блага x_i^k = е_j y_j^k (k О K_pub) (начальные запасы общественных благ будем считать нулевыми). Итак, рассматриваемая нами экономика описывается следующей оптимизационной задачей получения Парето -оптимальной точки (^x, ^y):

( ^
x

, ^
y

) О P Ы

" ^
i

О I Ю  u_^i( ^
x

^i
) =
max
x,y
u_^i(x_^i)  :

(1)

u_i(x_i) ³ u_i( ^
x

i
), i О I\ { ^
i

} ;

(2)

f_j(y_j) ³ 0, j О J ;

(3)

е
i О I
x_i^k £
е
j
y_j^k +
е
i О I
w_i^k,   k О K_priv ;

(4)

x_i^k =
е
j
y_j^k ,    k О K_pub, i О I .

(5)

Последнее равенство выражает материальные балансы общественных благ, и только оно отличает эту ситуацию от классического рынка.

Чтобы вывести диференциальную характеристику любой точки Парето - оптимума, используем по-прежнему предположения ВЫПУКЛ, ГРАД, включающие дифференцируемость всех функций. Пусть, далее, целевые функции u_i возрастают хоть по одному частному и по всем общественным благам.

Соответствующий Лагранжиан имеет вид (здесь l_^i: = 1):

L(x,y,l,m,s): =
е
i
l_i u_i(.)+
е
j
m_j f_j(.)+
е
k О K_priv
s^k (
е
j
y_j^k+
е
i
w_i^k -
е
i
x_i^k)+

+
е
k О K_pub
s^k (
е
j
y_j^k -x^k ).

(6)

Исключив из необходимых условий экстремума (проверив, что теорема Куна-Таккера применима) множители Лагранжа (не равные нулю, как и в теореме благосостояния), получим диф. характеристику оптимума:

е
i
.
u

k₁
i
( ^
x

, ^
y

) / .
u

k₂
i
( ^
x

, ^
y

) = .
f

k₁
j
( ^
y

) / .
f

k₂
j
( ^
y

) ("j О J, k₁ О K_pub, k₂ О K_priv)

(7)

.
u

k₁
i
( ^
x

, ^
y

) / .
u

k₂
i
( ^
x

, ^
y

) = .
f

k₁
j
( ^
y

) / .
f

k₂
j
( ^
y

) ("i О I, j О J, k₁, k₂ О K_priv)

(8)

Первое из соотношений здесь называют уравнением Самуэльсона³. Оно говорит, что сумма предельных норм замещения общественного блага на частное в потреблении равна норме замещения общественного блага на частное в производстве.

В дальнейшем будем рассматривать более простой случай, когда общественное благо одно (первое), фирма одна, причем f(y) = g(y²,...,y^l)-y¹, а начальные запасы всех благ нулевые. Тогда экономика (1) с общественным благом примет вид:

( ^
x

, ^
y

) О P Ы

" ^
i

О I Ю   u_^i( ^
x

^i
) =
max
x,y
u_^i(x_^i)  :

(9)

u_i(x_i) ³ u_i( ^
x

i
), i О I\ { ^
i

}

x_i ³ 0 ,   x_i¹ = y¹ £ g(y²,...,y^l), i О I

(10)

е
i
x_i^k £ y^k  ,   "k № 1 .

(11)

1.2 Равновесие (псевдоравновесие) Линдала

Чтобы определить для экономики с общественным благом (9) состояние, аналогичное равновесию классической экономики, нужно ввести индивидуальные потребительские цены на общественное благо q = (q_i)_{i О I} О Rⁿ, причем их сумма должна равняться цене производства этого блага: е_i q_i = p¹. Индивидуальным ценам соответствуют индивидуальные заявки x_i¹ на общественное благо.

Задачи индивидуальной рациональности потребителя и производителя имеют вид

{  u_i(x_i¹, x_i²,...,x_i^l) ®
max
x_i

|

    x_i ³ 0,   q_i x_i¹ + l
е
k = 2
p^k x_i^k £ b_i.   }

(12)

{   py ®
max
y

|

   y¹ £ g(y²,...,y^l)   } .

(13)

Определение 3 Назовем равновесием (псевдоравновесием) Линдала⁴ такое допустимое, в смысле (10)- (11), состояние (`x,`y,`p,`q), в котором выполнен закон Вальраса в форме е_i(q_i^x_i¹ + е_{k = 2}^l p^k ^x_i^k) = p^y, сумма е_i `q_i = `p¹, а (`x,`y) является решением задачи производителя (13) и всех задач потребителей (12) при ценах (`p,`q).

В равновесии Линдала имеет место консенсус: каждый желает потреблять именно существующий (производимый) объем общественного блага: `y = `x¹_i ("i). Для него верно следующее утверждение - аналог теорем благосостояния для совершенных рынков.

Утверждение 1 Пусть в экономике (9) функции u(.) и g(.) дифференцируемы и вогнуты (или приводимы к вогнутым), и всюду выполнено условие ненасыщаемости в форме u'¹_i(x_i) > 0 $^k О K_priv: u'^{^k}_i(x_i) > 0 "i О I, "x_i ³ 0, и grad (g(·)) № 0. Тогда:

(I) Любое внутреннее (в смысле `x >> 0) равновесие Линдала Парето - оптимально.

(II) Для любого внутреннего Парето - оптимума (^x, ^y) найдутся цены (p,q) и доходы (b₁,...,b_n), такие что (^x, ^y, p,q) - равновесие Линдала.

Доказательство.⁵

(I) Если выполнены предположения утверждения, то и к задаче оптимума (используем ненулевой градиент) и к задаче равновесия применима теорема Куна-Таккера, и можно проверить совпадение условий первого порядка. Диф. характеристика равновесия (`x,`y,p,q) будет иметь вид:

.
u

1
i
( _
x

) / .
u

k
i
( _
x

) = q_i /p^k,

p¹ /p^k = -1 / .
g

k

( _
y

) .

(14)

Эти равенства вытекают, как обычно, из анализа задач потребителя (12) и производителя (13). Просуммировав их по i, учитывая е_kq_k = p¹, получим уравнение Самуэльсона.

Аналогично, для пары частных благ, как обычно, верно

.
u

k₁
i
( _
y

1

, _
x

) / .
u

k₂
i
( _
y

1

, _
x

) = p^k₁ /p^k₂ = .
g

k₁

( _
y

) / .
g

k₂

( _
y

) .

(15)

Таким образом, дифференциальные характеристики оптимума и равновесия совпадают, что позволяет подобрать оценки l,m, s Лагранжиана (6) такие, что в точке (`x,`y) Лагранжиан достигает безусловного экстремума, то есть выполнено необходимое условие условного экстремума задачи (9). Благодаря выпуклости этой задачи необходимое условие совпадает с достаточным, таким образом равновесие (`x,`y) является также решением задачи (9), что и требовалось для Парето-оптимальности.

(II) Вторая часть утверждения доказывается аналогично, сопоставлением диф. характеристик оптимума и равновесия. Конкретнее, нужно подобрать цены в соответствии с (14) и (15). Например, можно взять вектор p: = s, где s - оптимальные оценки товаров из (9), (6), затем

q_i: = p¹( .
u

1
i
/ .
u

^k
i
)/(
е
j О I
.
u

1
j
/ .
u

^k
j
)

(16)

- здесь нормировка обеспечивает выполнение условия еq_i = p¹, а ^k - номер из условий теоремы, поэтому деление корректно. Затем, как и во IIТБ, подбираются доходы b_i: = q_i^x_i¹ + е_{k = 2}^l p^k ^x_i^k соответствующие оптимуму, и множители Лагранжа индивидуальных задач, соответствующие безусловным экстремумам индивидуальных Лагранжианов (используем пропорциональность индивидуальных цен полезности из (16)). Как и ранее, выпуклость задач гарантирует, что необходимые условия экстремумов являются достаточными, поэтому ^x,^y являются экстремумами в задачах потребителя (12) и производителя (13). Допустимость (сбалансированность) ^x,^y вытекает из Парето - оптимальности, а выполнение закона Вальраса проверяется как в теореме благосостояния, поэтому (^x,^y,p,q) - равновесие.

Итак, казалось бы, проблему оптимального финансирования общественных благ можно разрешить, организовав равновесие Линдала. Однако попытки построить процедуру (типа аукциона, tatonnement, или др.) сходящуюся к этому равновесию наталкиваются на принципиальную трудность. В отличие от классических рынков, все известные процедуры "нащупывающие" равновесие Линдала оказываются манипулируемы при обычных предположениях; то есть участникам выгодно делать ложные сообщения о своих предпочтениях или о желаемом спросе, в результате исход процедуры может попасть в равновесие Л. только в исключительных случаях, либо при полной честности участников. Поэтому, из-за трудно - реализуемости, это равновесие называют чаще псевдоравновесием. Поясняя эту трудность, рассмотрим, например, аналог процесса нащупывания Вальраса.

Процедура нащупывания 1. Аукционер сообщает в каждый момент t участникам текущие цены (p(t),q(t)). Потребители, исходя из этих цен, отвечают спросом на частные блага x_i^k(t) (k = `2,l) и спросом x_i¹(t) на общее благо. Аукционер подправляет с некоторой скоростью реакции a > 0 цены товаров, спрос или предложение на которые избыточны:
dp^k(t)/dt = a( е_i x_i^k(t)- y^k(t)) (k = 2,...,l),
dq_i(t)/dt = a( x_i¹(t) - y¹(t)), p¹(t): = е_iq_i(t).

Можно показать, что если участники не станут манипулировать заявками, то такая процедура при довольно реалистичных условиях на целевые функции сходится к стационарной точке, которая будет являться равновесием Линдала. Однако вероятна манипулируемость; она состоит в том, что участникам (понимающим, что их личная доля q_i/p¹ в финансировании общественного блага возрастает пропорционально их заявкам x_i на благо) выгодно занижать свою объявляемую потребность в общественном благе, чтобы меньше платить за него. Действительно, понижая x_i¹(t) участник знает, что понижает тем самым цену, которую платит за общественное благо, почти не снижая (при большом количестве участников m) уровень общего блага. Таким образом, здесь возникнет эффект безбилетника (англ. free-rider effect). В результате, по-видимому, исходом процедуры окажется равновесие с финансированием по добровольной подписке, о котором идет речь в следующем подразделе.

1.3 Равновесие с финансированием общественного блага
по добровольной подписке (равновесие без координации)

Представим ситуацию, когда создание общего блага участниками никак не координировано: каждый сам вкладывает столько средств или усилий, сколько хочет. Примером служат добровольные взносы в благотворительные фонды, добровольные личные усилия по поддержанию чистоты в общественных местах. Окажется ли равновесие без координации Парето - оптимальным? Интуитивно ожидаемый ответ - "обычно нет". Чтобы выявить условия, когда он верен, формализуем ситуацию.

Обозначим добровольный взнос на общие нужды i-го участника через t_i ³ 0; взнос наряду с расходами на другие блага выплачивается из его фиксированного дохода b_i. Собранная сумма полностью идет на приобретение общественного блага: p¹ y¹ = е_i t_i. Пусть содержательно оправдано (например, тем, что все u'_i¹ > 0) предположение, что цена общественного блага положительна. Мы предполагаем, кроме того, что каждый участник ведет себя нэшевским образом, считая взносы t_-i прочих участников заданными, при выборе своего взноса t_i.

Тогда задача индивидуальной рациональности потребителя примет вид:

u_i(x_i¹, x_i²,...,x_i^l) ®
max
t_i, x_i
,

(17)

(t_i, x_i) ³ 0, t_i + l
е
k = 2
p^kx_i^k £ b_i, x_i¹ = y¹ = (t₁+
е
j № i
t_j) / p¹,

Определение 4 В данной модели равновесие без координации или, иначе, равновесие с финансированием по добровольной подписке есть набор (p,`t,`x, `y), такой, что выполнены (i) условия индивидуальной рациональности (13), (17) производителей и потребителей, (ii) полубалансы, включая условие x¹_i = y¹ ("i), и (iii) условия дополняющей нежесткости (закон Вальраса) в форме е_{k = 2}^l p^k(y^k- е_i x_i^k) = 0.

Предполагая обычные условия ВЫПУКЛ, ГРАД, и что точка равновесия (`t, `x, `y) - внутренняя (в смысле `t ³ № 0, `x >> 0) применим теорему Куна-Таккера и получим дифференциальные соотношения первого порядка. При нахождении условия равновесия потребителя ^i для которого `t_^i > 0, подставим выражение для x_^i¹ = y¹ прямо в целевую функцию:

¶L/¶t_^i = .
u

1
^i
((t₁+
е
j № i
t_j) / p¹, _
x

)/p¹ - l = 0,

(18)

¶L/¶x_^i^k = .
u

k
^i
( _
y

1

, _
x

) -lp^k = 0 (k =
2,l

) .

(19)

где l - множителем Лагранжа для бюджетного ограничения.

Для участников же недостаточно заинтересованных в общем благе, для которых (`x_i >> 0, `t_i = 0) получим (взяв переменную Лагранжа n_i ³ 0 для ограничения t_i ³ 0) аналогично:

¶L/¶t_i = .
u

1
i
((t₁+
е
j № i
t_j) / p¹, _
x

)/p¹ - l+n_i = 0,

(20)

¶L/¶x_i^k = .
u

k
i
( _
y

1

, _
x

)-lp^k = 0 (k =
2,l

) .

(21)

Получим диф. характеристику равновесия без координации:

.
u

1
i
( _
y

1

, _
x

) / .
u

k
i
( _
y

1

, _
x

) = p¹ /p^k = -1 / .
g

k

( _
y

) ("i: t_i > 0).

(22)

Для любой пары частных благ выполняется обычное соотношение (15):

Сопоставив полученное с диф. характеристикой (8) любой Парето - оптимальной точки ^x увидим, что эти системы уравнений могут иметь общее решение (`x, `y) = (^x, ^y) в довольно редких случаях: 1) когда потребитель всего один m = 1, либо 2) когда только у одного потребителя положительные производные по общественному благу (например u'_i¹(`y¹,`x_i) = 0 (i № 1)), либо 3) когда подобные производные одних участников положительны, а других отрицательны и происходит точное уравновешивание. Более точно, имеет место теорема неэффективности:

Утверждение 2 Пусть в экономике с общественным благом (9) выполнено ВЫПУКЛ, все функции дифференцируемы, и реализовалось равновесие без координации (p,`t, `x, `y), внутреннее: (`y¹,`x) >> 0, и такое, что u' _i¹ (`y ¹, `x_i) ³ 0 (i О I), причем t_i > 0 , u'_i¹ (`y¹,`x_i) > 0 хотя бы для двух участников i = i₁, i = i₂. Тогда (I) равновесие не Парето - оптимально, причем (II) в равновесии имеет место (локальная) недостаточность уровня общественного блага, в том смысле, что можно достичь Парето - улучшения повысив на сколько-то этот уровень и перераспределив ресурсы.

Доказательство. Мы уже доказали (I) (несовместностью диф. характеристик) для случая, когда все t_i > 0 (проверку другого случая опускаем, она аналогична). Недостаточность же (II) доказывается построением дифференциально малого Парето - улучшающего сдвига из точки равновесия:
dy₁ > 0 и dx_i₁ ^k₁ = dy_k₁ = -dy₁u' _i₁ ¹ /u' _i₁ ^k₁ < 0. Окажется, что в новой точке (x^~, y^~) никто из участников не проигрывает по сравнению с равновесием, в частности, du_i₁ = 0, а по крайней мере участник i₂ строго выигрывает.

Комментируя результат, во-первых, отметим, что в рассматриваемой ситуации неоптимальности чаще всего появляется один или несколько "безбилетников", делающих нулевые взносы t_i = 0 и пользующихся общественным благом задаром.

Во-вторых отметим, что дифференцируемость является необходимым условием для выявленной неоптимальности. Например, рассмотрим случай жестко взаимодополняющих общественного и частного блага

u_i(y¹,x²_i): = min
{a¹_i y¹; a²_i v_i(x_i²,...,x^l_i)},

(23)

где a¹_i ³ 0, a²_i ³ 0 - произвольные, возможно разные для участников, заданные коэффициенты взаимодополнительности, v_i = v_i(x_i²,...,x^l_i) - некоторая функция выражающая полезность участника i от частных благ. Можно показать (Сотсков 1982), что если в экономике с общественным благом (9) целевые функции имеют взаимодополняющий вид (23), то равновесие без координации всегда Парето - оптимально.

Аналогичный эффект возникает, если общее благо дискретно: если кто-то не вложит денег - оно исчезнет. Недифференцируемость - это 4-й случай эффективности "добровольного" равновесия, видимо довольно редкий, как и случаи 1-3 рассмотренные выше. 5-й случай может реализоваться, если нарушить условие внутренности. Например, если n участников готовы платить за единицу общественного блага по 1$ , а она стоит 4n$ , то в точке (t₁,...,t_n) = 0 возможен оптимум. Аналогичный, обратный, случай: когда все участники ценят частные блага настолько мало по сравнению с общим, что все деньги тратят на общее: x_i^k = 0, k = 2,...,l, i О I; здесь тоже возможна оптимальность.

Итак, Парето - оптимальность равновесий с общим благом без координации в реальности довольно редка. Однако на самом деле в ситуациях внешне "добровольного" финансирования не всегда реализуется именно "равновесие без координации". В частности, большая чем в России чистота улиц во многих западноевропейских странах при примерно одинаковой с Россией интенсивности профессиональной уборки наводит на мысль, что там имеет место равновесие с неявной координацией: донесение мусора до урны считается обязательным, а не добровольным личным взносом в общее благо, и мораль исполняет роль полицейского поддерживающего эту координацию.

Пример 1 (Неэффективность без координации) Пусть в экономике 3 участника, частный товар один k = 2 (например, деньги), а целевые функции имеют вид u_i = a_i ln(y¹) + x²_i (i = 1,2,3),⁶ где коэффициенты a_i возьмем равными i. Пусть функция производства общественного блага линейна с коэффициентом 1: y¹ = g(y²) = - y², причем баланс блага 2 имеет вид е_i(x²_i-w²_i) = y². Например, это можно интерпретировать как трех соседей (или фирм, или стран), решающих нанять общую охрану, предлагаемую по цене 1.

При нескоординированном приобретении общественного блага каждый приобретает его на сумму t_i, так что общее его количество составит y¹ = е_i t_i. Каждый из соседей будет максимизировать функцию u_i = i ln(t₁+t₂+t₃) + w²_i -t_i при ограничении t_i ³ 0. В максимуме i/y¹ £ 1, причем выполняется условие дополняющей нежесткости (1-i/y¹) t_i = 0. Поскольку в равновесии условия для всех трех соседей должны выполнятся одновременно, то ненулевой взнос сделает только один из них, и для него i/y¹ = 1. Это будет тот сосед, который ценит общественное благо больше, а именно третий. Остальные предпочтут пользоваться благом бесплатно. Отсюда y¹ = t₃ = 3, t₁ = t₂ = 0. Как мы увидим ниже, в Парето - оптимуме y¹ = 6, то есть количество общественного блага меньше оптимального.

1.4 Равновесие с долевым финансированием и голосованием

Безусловно, прямое соглашение участников - точка из ядра - являлось бы во всех отношениях хорошим решением проблемы финансирования общественного блага, когда соглашение достижимо. К сожалению, очень часто участники, особенно если их много, не способны практически прийти в переговорах к потенциально возможному соглашению.

Еще одна возможная процедура - это рыночное равновесие с государственным регулированием. Государство, например, может установить, что участники экономики с общественным благом финансируют его производство на долевой основе, объем производства определяется посредством некоторой процедуры голосования, а координацию производства частных благ осуществляет рынок.

При этом i-й участник платит налог в размере d_i p¹ y¹. Здесь d_i ³ 0 - доля участника в финансировании общего блага, причем е_i d_i = 1. Участники высказывают свои заявки z_i О Z_i на общее благо (выбираемые из некоторого допустимого множества Z_i, например Z_i = R₊, естественно считать, что z_i: = x_i¹, но возможно и несовпадение) и действует какая-то схема обобщения общественного мнения G(z₁,...,z_m) (схема голосования), так что объем производство общественного блага выбирается равным y¹ = G(z).

Например, возможны такие схемы голосования:
V1) усреднение: G = е_i z_i /m ,
V2) минимум: G = min_i z_i ,
V3) максимум: G = max_i z_i ,
V4) медиана: G = med(z₁,...,z_m), где функция med(.) принимает значение среднего из упорядоченных по возрастанию чисел z₁,...,z_m, если же m четно - то среднего арифметического из двух средних. Это правило, как известно ("Теорема о среднем избирателе", см.Долан), практически тождественно в данном случае голосованию простым большинством.

При использовании правил (V2)-(V4) существует обычно (т.е. если участники неодинаковы) только один ключевой участник, то есть такой, что небольшие изменения его выбора как-то влияют на результат общего голосования в смысле
¶G(z)/¶z_i № 0, z_i О int(Z_i),
остальные же z_j локально не влияют на исход! Это приводит к неопределенному (множественному) решению z_j в голосовании прочих участников, если не предположить их "осторожного" или "доминирующего" поведения; мы эти варианты не рассматриваем.

Будем предполагать, что каждый участник ведет себя нэшевским образом, считая высказанные пожелания z_{- i} прочих участников заданными при выборе своего z_i (повторяющаяся игра). Тогда задачи индивидуальной рациональности потребителей (для производителей сохраняется (13) ) принимают вид

u_i(x_i¹, x²,...,x^l) ®
max
(z_i,x_i)
,

(24)

где x_i ³ 0 , z_i О Z_i

(25)

p¹ d_i x_i¹ + l
е
k = 2
p^kx_i^k £ b_i

x_i¹ = G(z₁,...,z_m) .

Определение 5 Равновесие с долевым финансированием и голосованием с правилом голосования G(.) и с фиксированными долями финансирования общественного блага d есть набор (`z,`x, `y. p), такой, что выполнены (i) условия индивидуальной рациональности (13), (25) производителей и потребителей, (ii) полубалансы, включая x_i¹ = y¹ (i О I), и (iii) "условия дополняющей нежесткости" (закон Вальраса), (iv) выполнено правило голосования: y¹ = G(z).

Утверждение 3 Если в равновесии (`z,`x, `y. p) с долевым финансированием и голосованием каждый участник i является ключевым (то есть в некоторой окрестности U ' ^z равновесия верно ¶G(z_i,^z_-i)/¶z_i № 0) и выполнены предположения Утверждения (1.2), то (`x,`y, p,q) с q_i = d_i p¹ есть псевдоравновесие Линдала, и следовательно, достигнут Парето - оптимум.

Доказательство основано на том, что все условия первого порядка совпадают.

Таким образом, консенсус, в смысле x_i¹ = y¹ (i О I) - признак оптимальности.

С другой стороны, если какой-то участник хотел бы изменить объем производства общественного блага, но не может повлиять на исход голосования, то это не всегда признак того, что равновесие не оптимально. Для правил голосования V1, V2 и V3 неоптимальность обычно имеет место (в задачах мы ее докажем). Однако при "медианном" голосовании может быть, что ключевой (медианный) участник выберет такой объем производства общественного блага, который соответствует Парето-оптимуму (см. Пример (1.3) ниже).

Итак утверждение (1.4) показывает, что если "благие и мудрые" законодатели априорно установят правильные (пропорциональные полезностям) индивидуальные ставки налога (правильно распределят бремя финансирования общего блага между его потребителями) то результатом голосования и рынка будет Парето - эффективное состояние экономики. Для "правильного" установления достаточно знать всего лишь предельные нормы замещения (соотношения предельных полезностей) в том равновесии Линдала, которое соответствует данному распределению собственности⁷ (предполагается единственность равновесия). В частности, если участники одинаковы, то доли должны быть равными.

Попыткой приблизиться к описанному теоретическому идеалу (налогам, пропорциональным предельным полезностям от общего блага) является, например, финансирование строительства и ремонта дорог с помощью налога на бензин или налога на транспортные средства.

Однако хотелось бы иметь процедуру выявления потребностей в общем благе, чтобы не опираться на априорные концепции законодателей. Вот одна из возможных процедур:

Процедура нащупывания 2.

1) Аукционер сообщает участникам текущие цены p(t) (будем подразумевать дискретное время t) и текущие доли финансирования d_i(t).

2) Участники отвечают спросом на частные блага x_i^k (k = `2,l), спросом z_i на общее благо при текущих ценах и долях. Совокупный спрос на общее благо x¹_{_{_S}} = G(z) формируется по схеме голосования усреднением: x¹_{_{_S}} = е_iz_i/m. Производители объявляют предложение y_j.

3) Аукционер изменяет цены p^k(t) товаров, спрос или предложение которых избыточно: p^k(t+1): = p^k(t)+ eе_i(x_i^k- w_i^k)-е_j y_j^k (k = 1,...,l, e > 0) (в том числе общественного блага) а также повышает доли финансирования пропорционально соотношению объявленной полезности (заявке) общего блага со средней:

d_i(t+1) = d_i(t) m_i(t) / m
е
j = 1
d_j(t) m_j(t), где m_i: = mz_i/ m
е
j = 1
z_j ³ 0 .

Затем переходит опять к 1) и т.д.

Это по сути дела еще одна процедура нахождения равновесия Линдала, и, так же как предложенная выше, является манипулируемой. Различными исследователями предпринимались попытки создать работоспособную неманипулируемую процедуру, и оказалось, что в общем случае это невозможно. Одна из таких процедур описывается в следующем подразделе, но годится только для экономики определенного вида.

Пример 1 (продолжение) Предположим, что соседи голосуют по схеме V1. т.е. y¹ = (z₁ +z₂+z₃) /3. Каждый максимизирует функцию u_i = i ln((z₁ +z₂ +z₃)/3) + w²_i - d_i (z₁ +z₂ +z₃) /3 при ограничении z_i ³ 0. В максимуме i/y¹ £ d_i, причем выполняется условие дополняющей нежесткости (d_i -i/y¹) z_i = 0. Поскольку нет верхнего ограничения на заявку, то тот из соседей, кто хочет, чтобы приобреталось большее количество общественного блага, может навязать свои предпочтения другим. Пусть, например, взносы берутся поровну: d_i = 1/3. Тогда третий проголосует так, чтобы y¹ = 9, что больше оптимального количества. Остальные вынуждены будут не голосовать: z_i = 0.

Предельные нормы замещения первого блага на второе равны u'_i¹ /u' _i² = i/y¹. Пропорции между ними в любой точке (и в том числе в Парето - оптимуме) одинаковы. Поэтому, чтобы получить консенсус и оптимум, необходимо взять d = (1/6, 1/3,1/2).

Равновесие при использовании правила V1 с ограничением z_i ³ 0, окажется тем же, что при использовании V3.

Заметим, что в этом примере при равных долях и медианном голосовании оптимальность или избыточность (или недостаточность) общего блага зависит от положения медианного коэффициента полезности a_med. Оптимум будет достигнут, если медианный коэффициент равен среднему: a_med = е_i a_i /m, что в данном случае выполнено.

1.5 Процедура Гровса-Кларка

В самом общем случае построить процедуру, справедливо (в смысле равенства прав участников) и корректно (неманипулируемо) выявляющую предпочтения на общее благо и приводящую всегда к Парето - оптимуму нельзя. Это было выяснено парой очень близких по смыслу теорем: теоремой Эрроу о диктаторе⁸ и теоремой Жиббарда и Сатертуэйта (Gibbard, Saterthwait) о невозможности неманипулируемого выбора. В нашем конкретном примере с общественным благом и тремя участниками, казалось бы, можно воспользоваться однопиковостью функций u_i по аргументу y¹ и применить процедуру голосования простым большинством. Однако по всей совокупности аргументов однопиковости нет, поэтому голосование за конкретные варианты состояния экономики в целом (y¹, t₁,t₂, t₃) ничем не кончится: налицо парадокс Кондорсе (бесконечность процедуры переголосования).

Все же, оказывается, в частном случае, когда целевые функции, квазилинейны по единственному частному благу (деньгам), тогда можно построить процедуру, корректную выявляющую предпочтения и гарантированно приводящую к наилучшему выбору уровня общественного блага ^y¹ из допустимого множества Y (неважно, дискретного Y или непрерывного, типа R₊). Это процедура Гровса-Кларка.

Определение 6 Будем называть целевые функции потребителей квазилинейными по благу l, если они имеют вид u_i = J_i(y¹, x_i², ..., x_i^l-1) +x_i^l, и переменные x_i^l входят в единственное ограничение вида е_i x_i^l = x_{_{_S}}^l⁹.

Если в экономике существует такое благо, то экономика обладает следующим удобным для ее исследования свойством:

Утверждение 4 Пусть целевые функции квазилинейны по благу l, тогда Парето - граница совпадает с множеством решений задачи максимизации суммы полезностей е_i u_i на множестве физически допустимых состояний. Если, кроме того, l = 2 (частное благо одно) и функции J_i строго вогнуты, то существует единственный оптимальный уровень общественного блага ^y¹ (одинаковый во всех точках Парето - границы).

Докажем это утверждения для экономики (9) с дифференцируемыми и вогнутыми (или приводимыми к вогнутым) функциями u_i и g. Подставим в лагранжиан (6) выражение для u_i. Производные по x_i^l для всех i должны быть равны нулю: ¶L /¶x_i^l = l_i -s^l = 0. Отсюда получаем, что все l_i равны; можно считать, что l_i = 1 (i О I). Таким образом, задача нахождения Парето - оптимума сводится к нахождению седловой точки следующей концентрированной функции Лагранжа:

L(x,y,m,s): =
е
i
u_i(.) + m(g(.)-y¹)+ l
е
k = 2
s^k (
е
j
y_j^k +
е
i
w_i^k -
е
i
x_i^k),

(27)

а это то же самое, что нахождение максимума суммы функций полезности при соответствующих ограничениях.

Уравнение Самуэльсона в случае квазилинейности по l примет вид

е
i
.
J

1
i
( ^
x

, ^
y

) = -1 / .
g

l

( ^
y

)

(28)

.

Доказательство единственности оптимального уровня общественного блага тривиально.

Процедура Гровса-Кларка.

1) Координатор априори назначает функции c_i(y¹) финансирования каждым участником общих издержек c(y¹) производства общественного блага, в сумме равные е_ic(y¹)_i = c(y¹), например, задав (априорные, по своему усмотрению) доли финансирования d_i.

2) Участники сообщают свои чистые полезности при данной схеме финансирования от каждого уровня блага - v_i(y¹) = J _i(y¹) - c_i(y¹) .

3) Выбирается уровень блага, максимизирующий суммарную чистую объявленную полезность:

_
y

1

: = G(v) : = arg
max
y¹

е
i
v_i(y¹) ,

(29)

а также уровни, которые были бы выбраны без учета мнения i-го участника;

y¹_(i): = G_(i)(v) : = arg
max
y¹

е
j № i
v_j(y¹), i О I.

4) Определяется налог Кларка на каждого участника за изменение общественного выбора, равный убытку прочих участников:

t_i =
е
j № i
( v_j(y¹_(i))- v_j( _
y

1

)), i О I,

он, очевидно, неотрицательный и нулевой при (y¹_(i) = `y¹).

5) Каждый участник в результате будет иметь полезность v_i(`(y¹))-t_i = J_i(`(y¹)) - c_i(`(y¹)) -t_i . Налог Кларка не перераспределяется, а должен быть выброшен из системы (сообщества) данных участников.

Утверждение 5 Если все участники правдиво сообщили v_i, то (I) уровень определенный в этой процедуре Парето - оптимален (`y¹ = (^y¹) , а если все налоги Кларка равны нулю (t_i = 0, i О I), то и состояние в целом, включая платежи, Парето - оптимально. (II) Если к тому же финансирование долевое: c_i(y¹) = d_i p¹ y¹ и доли соответствуют отношению предельных полезностей в оптимуме (d_i = J_i(^y¹) / е_{j О I} J_j (^y¹)), целевые функции строго вогнуты и `y¹ > 0, то налоги Кларка равны нулю.

Доказательство. Часть I данного утверждения непосредственно следует из Утверждения 1.5.

Для доказательства II заметим, что для внутреннего в смысле (`(y¹), w-t) >> 0 равновесия по долевому финансированию мы выше доказали единогласие при правильно выбранных долях (то есть то что любая i О I задача максимизации индивидуальной чистой полезности v_i(y¹) дает одинаковое решение `y¹). Решение в данном случае единственно по строгой вогнутости v_i. Поэтому и максимизация суммы любого набора `I М I таких целевых функций имеет то же решение `y¹, откуда следует отсутствие ключевого участника и равенство нулю налога.

Утверждение 6 Стратегия каждого участника сообщать правдиво чистую полезность v_i - доминирующая стратегия.

Доказательство. Предположим, участник i = 1 сообщил неверную целевую функцию v^~ ₁ № v₁ и добился этим решения по общественному благу y^~¹ вместо `y¹. Выиграл ли он? Сопоставим его полезности, учитывающие налог Кларка, в оптимальной `y¹ и в ложной точках, доказывая что:

u₁( ~
y

) = v₁( ~
y

) -
е
j № 1
( v_j (y¹ _(i))- v_j( ~
y

1

)) £ v₁( _
y

)-
е
j № i
( v_j (y¹_(i))- v_j ( _
y

1

)).

Сокращая v_j(y¹_(i)) справа и слева приходим к эквивалентному неравенству
е_{j О I}v_j(y^~¹) £ е_{j О I} v_j(`y¹) , очевидно верному по условиям максимизации (29).

Итак, по переменной y¹ - общественному благу эта процедура всегда дает хороший результат, но возможны потери в деньгах. Эта процедура, в сущности, реализуется, когда несколько по-разному заинтересованных в чем-то сторон подкупают государственного чиновника, от которого зависит решение вопроса. Проблема выбора блага решится в пользу тех, кому больше надо, будет заплачена сумма равная налогу Кларка. Альтернатива - договоренность (из ядра) заинтересованных сторон, если они способны достичь ее.

Об убывании (относительном и абсолютном) потерь денег в процедуре с возрастанием числа участников говорит следующее. Рассмотрим ряд t = 2,3,... ситуаций, являющихся репликами исходной; то есть для каждой следующей ситуации t+1 в экономике присутствует ровно в t раз больше таких же участников каждого типа по сравнению с предыдущей. Соответственно, доли d_i на каждом шаге все делятся на t.

Утверждение 7 В ситуации с дискретным общественным благом регулируемым по Гровсу - Кларку, каковы бы ни были доли d_i, найдется номер реплики ^t такой, что для всех последующих t налоги Кларка нулевые. (Без доказательства)

Пример 1 (продолжение) Поскольку в рассматриваемом примере целевые функции квазилинейны по деньгам, то Парето - оптимум можно найти из решения задачи
ln(y¹)+ 2ln(y¹)+ 3ln(y¹) -y¹ ®max.
Отсюда получим, что в оптимуме y¹ = 6.

Применим к рассматриваемому примеру процедуру Гровса-Кларка. Пусть, например, издержки приобретения общественного блага покрываются за счет равных налогов на соседей: d_i = 1/3 ("i). Если каждый сообщит истинную функцию чистой полезности, то v_i = iln(y¹)-y¹/3. В результате будет выбран Парето - оптимальный уровень производства общественного блага: `y¹ = argmax_y₁ (v₁+v₂+ v₃) = argmax_y₁ (6ln(y¹) -y¹) = 6.

Аналогично установим объем общественного блага, который был бы выбран без i-го участника (i = 1,2,3):
           `y¹ = argmax_y₁ (5ln(y¹) -2y¹/3) = 7.5,
             `y¹ = argmax_y₁ (4ln(y¹) -2y¹/3) = 6,
             `y¹ = argmax_y₁ (3ln(y¹) -2y¹/3) = 4.5.

Отсюда вычислим налоги Кларка: t₁ = (5ln(7.5) -7.5 2/3)-(5ln(6) -6 2/3) > 0.12. Аналогично t₂ = 0 и t₃ > 0.14.

1.6 Блага коллективного пользования - рыночное решение

Как уже отмечалось, не всегда неисключаемость, свойственная общественным благам, носит абсолютный характер (физически невозможно не допустить к потреблению). С одной стороны, это вопрос издержек недопущения к потреблению и издержек обеспечения прав собственности, с другой стороны, это вопрос существующих в обществе институтов. Пример "трагедии общин" является иллюстрацией этого последнего случая и показывает направление, в котором может получить разрешение проблема общественных благ - установление собственности на блага коллективного пользования, чтобы собственник имел право не допускать других субъектов к потреблению принадлежащего ему блага.

Рассмотрим два вида рыночных решений этой проблемы, которые отличаются распределением прав собственности.

Назначение индивидуальной цены p_i¹ для каждого потребителя обеспечивает Парето - оптимальность равновесия Линдала. Близкий аналог индивидуализированной платы за общее благо - ценовая дискриминация (англ. discrimination - неодинаковое отношение) при продаже монопольных продуктов¹⁰. Если фирма - изготовитель идеально умеет различать полезность, получаемую потребителями от блага (и предотвращать воровство - несанкционированное копирование), то монопольное равновесие с индивидуальными ценами окажется Парето - эффективным. При этом цены должны различаться не только в зависимости от потребителя, но и в зависимости от количества, купленного потребителем (индивидуальная цена на каждую единицу блага).

Для благ коллективного потребления характерно наличие больших капитальных затрат (англ. lump-sum costs - затраты "крупным куском") и небольших затрат на обеспечение потребления их дополнительным субъектом (например, издержки копирования информации), что означает, что предельные издержки постоянные. Обычное для конкурентных рынков установление цены по предельным издержкам здесь не подходит, поскольку не будут окупаться капитальные затраты. Таким образом, рынок благ коллективного потребления имеет тенденцию к монополизации - уменьшается количество фирм и увеличиваются их размеры, так что каждая отдельная фирма получает возможность влиять на цену. Это позволяет проводить ценовую дискриминацию - назначать разные цены для разных потребителей.

Другое решение той же проблемы - кооператив (или клуб) потребителей. Кооператив собирает деньги на приобретение блага от своих членов, а затем распределяет благо между ними, не допуская к потреблению не членов.

По сути дела, и коммерческая фирма, и кооператив в случае благ коллективного пользования решают ту же задачу, что и государство в случае общественных благ - задачу дискриминации: распределить финансирование общих затрат между потребителями в зависимости от их потребностей. Грубо говоря, платить должен тот, кому благо нужно в большей степени и кто готов больше заплатить. Вопрос состоит в том, какой из этих институтов может лучше справится с задачей.

Сноски:

¹Для более тонкого разграничения типов благ можно (мы не будем этого делать) ввести еще одну переменную - то количество общественного блага, которое реально потребляется участником. Оно может быть меньше имеющегося в распоряжении количества. Мы же будем предполагать неубывание целевых функций по этой переменной, поэтому разница между имеющимся и потребляемым не важна.

² Важно понимать, что для обычных благ (частного потребления) неисключаемость (невозможность не допустить к потреблению) создает еще более серьезную проблему; количество общественного блага по крайней мере не уменьшается от того, что его потребляет кто-то другой. Напротив, отсутствие охраны законом и/или моралью прав собственности, например, на урожай огородов быстро приводит к их исчезновению. Таким образом, мы наблюдаем существование только тех частных благ, права собственности на которые удается гарантировать (исключаемые блага).

³ Samuelson, P.A. (1954) "The Pure Theory of Public Expenditure," Review of Economics and Statistics, 350-356.

⁴ Lindahl, E. (1919) "Positive Losung, Die Gerechtigkeit der Besteuerung".

⁵ Утверждение верно и при более слабых условиях (в частности можно выводить условие ненасыщаемости из условия внутренности, не требовать дифференцируемости; см. в Главе 2 доказательство ТБ1 и ТБ2). Можно также проводить доказательство утверждения сводя его к ТБ1 и ТБ2); то есть рассматривать экономику с общественным благом как классическую экономику, считая, что производителем выпускается не одно общественное благо, а соответствующий вектор частных благ (x_i¹,...,x_n¹) - по одному на каждого потребителя, в целевую функцию которого он входит.

⁶В примере всюду верхние индексы, а не степени.

⁷Это, все же гораздо меньше, чем знать все об экономике.

⁸ Arrow, K.J. (1951) Social Choice and Individual Values. Доказательство рассматривалось в курсе мат. экономики.

⁹ Очевидно, что для любого обычного частного блага такой вид имеет материальный баланс.

¹⁰Cм. следующую главу

File translated from T_EX by T_TH, version 2.73.
On 18 Oct 2000, 23:42.