Принятие экономическим субъектом решений в условиях неопределенности означает, что его благосостояние в будущем зависит от двух факторов: его решения в данный момент и от того, какое состояние мира реализуется в будущем: какая будет погода, экономическая конъюнктура и т. п. Что именно произойдет, человек, принимающий решение, может только догадываться. Когда же определенное состояние реализуется, то принятое решение уже нельзя изменить.

1.1  Предпочтения потребителя в условиях
неопределенности

Модифицируем модель потребителя, чтобы учесть в ней неопределенность. Прежде всего к параметрам экономики добавляется множество состояний мира Q. Мы будем считать его конечным. Таким образом, экономические переменные будут иметь кроме индекса блага k О K еще и индекс состояния мира q О Q. Потребляемый набор благ для i-го потребителя будет x_i = {x_i^kq }. От него, как и раньше, зависит полезность потребителя.

Функцию полезности будем обозначать U_i(.). В дальнейшем в этом разделе индекс i будем опускать. Подразумевается, что в этой целевой функции учтены как полезности для него каждого товара в каждом состоянии мира (например, зонт полезнее в дождь), так и его личные гипотезы о вероятностях событий.

Участники могут действовать по разному в условиях риска, другими словами, иметь разное отношение к риску, которое определяется формой их целевой функции.

Определение 1 Потребитель называется имеющим (строгое) неприятие риска, если его целевая функция U(.) (строго) квазивогнута, и нейтральным к риску, если она линейна.

Частный, но наиболее часто используемый и удобный для анализа случай целевой функции U есть функция аддитивная по вероятностям или, иначе, функция Неймана - Моргенштерна:

U(x) = е q О Q  mq u(x*q)  ,

(1)

где

mq О [0,1],

е q

mq = 1

- гипотезы участника о вероятностях событий q О Q, и u(x^*q): R^l ® R - элементарная функция полезности участника, не зависящая от состояний мира, а только от потребления благ как таковых. Вероятности, заложенные в функции полезности участника могут быть и ошибочными, поэтому их называют субъективными вероятностями.

Полезность по Нейману - Моргенштерну, таким образом есть (субъективное) математическое ожидание полезности или просто ожидаемая полезность.

Оказывается (см. теорему из раздела XI.6 Маленво), если наблюдаемые нами предпочтения участника удовлетворяют трем свойствам: непрерывности, выпуклости и независимости от состояния мира как такового (только от вероятности "лучших" исходов), то эти предпочтения всегда можно описать как решения оптимизационной задачи с функцией полезности Неймана-Моргенштерна, подобрав подходящую элементарную функцию полезности u. Это оправдывает применение такой функции в микроэкономическом моделировании.

В терминах функции Неймана - Моргенштерна переопределим отношение к риску.

Определение 2 Участник i с глобальной функцией полезности U типа Неймана - Моргенштерна называется имеющим неприятие риска, если его элементарная функция полезности u(·) (строго) вогнута, нейтральным к риску, если она линейна, и предпочитающим риск - если она (строго) выпукла.

Определение 3 Функция u(.) вогнута, если из a О (0,1) следует
u(axў +(1- a)xў ў) ³ au(xў) +(1-a) u(xў ў).

Функция u(.) квазивогнута ¹, если из a О (0,1) следует

u(axў+ (1- a) xўў) ³

min

{u(xў), u(xўў)}

.

Можно показать, что из определения неприятия риска в терминах u следует определение неприятия в терминах U, (но не обязательно наоборот). Из вогнутости u следует вогнутость U, а следовательно и квазивогнутость.

Часто используют функцию полезности, зависящую от единственного блага - денег. Количество денег, которое получает индивидуум в состоянии мира q (x^q) будем называть доходом или доходностью. При этом используют следующие понятия (индекс блага опускаем).

Определение 4 Ожидаемый доход - это (субъективное) математическое ожидание дохода:

E(x) = е q О Q  mq xq. (2)

Определение 5 Безрисковым или гарантированным называется такой потребительский набор x, что в любом состоянии мира потребитель имеет один и тот же доход: x^q = E(x).

Определение 6 Безрисковым или гарантированным эквивалентом² данного потребительского набора x называется безрисковый потребительский набор

~ x,

дающий ту же самую полезность:

U(x) = е q О Q  mq u(xq) = U( ~ x   ) = u(E( ~ x   )). (3)

Определение 7 Величина Dx называется вознаграждением за риск для данного потребительского набора x, если E(x) -Dx является безрисковым эквивалентом x:

U(x) = u(E(x)- Dx). (4)

Для участника, характеризующегося неприятием риска, вознаграждение за риск для любого рискованного актива положительно, а доход гарантированного эквивалента меньше ожидаемого дохода. Такой участник всегда предпочтет безрисковый потребительский набор рискованному.

Проиллюстрируем введенные понятия с помощью графического примера.

   Пример 1 На Рис. а изображена элементарная функция полезности потребителя с неприятием риска (функция вогнута). Потребитель предполагает, что могут произойти два события (A и B) с некоторыми вероятностями (m^A и m^B). Его потребительский набор равен x = (x^A,x^B), где x^A и x^B - доход, который получит потребитель, если произойдут события A и B соответственно.

Нетрудно догадаться, что точка (E(x),U(x)) лежит на отрезке, соединяющей точки (x^A, u(x^A)) и (x^B, u(x^B)) и делит его в отношении m^B к m^A. Здесь E(x) - ожидаемая доходность набора, а U(x) - его полезность. Поскольку потребитель не любит риск, то график функции полезности лежит выше указанного отрезка, и ожидаемая полезность U(x) больше полезности ожидаемого дохода u(E(x)). Гарантированный эквивалент

~ x

выбирается так, чтобы

u(

~ x

) = U(x) .

Плата за риск Dx равна разности между ожидаемой доходностью и доходностью гарантированного эквивалента.

1.2  Индивидуальное равновесие условиях неопределенности

В экономике с неопределенностью естественно ожидать заключения контрактов, условных по событиям. Соответственно, цены благ должны различаться в зависимости от события. Такие цены называют условно - случайными. Бюджетное ограничение потребителя в экономике обмена тогда принимает вид

p xi = е q О Q  е k О K  pkqxkqi £ е q О Q  е k О K  pkqwkqi = p wi. (5)

Задачу потребителя можно записать следующим образом:

Ui(xi)® max xi О Bi(p)    . (6)

По сути задача потребителя имеет тот же вид, что и раньше, только индекс блага становится двойным. Дифференциальная характеристика равновесия потребителя тоже совершенно аналогична.

   Пример 2 (Страхование имущества). Пусть есть одно благо (деньги), страхуемый имеет капитал w¹, который в случае состояния 1 (непожара) сохранится, а в случае пожара - состояния мира 2 - окажется равным w² < w¹. Страховая фирма предлагает контракт страхования по цене g О [0,1] за единицу страховой суммы, то есть если участник застрахуется на сумму y, то он должен в любом случае заплатить gy, и вправе получить y в случае пожара.

Таким образом, если пожара не будет, то доход потребителя будет равен x¹ = w¹- gy, если же пожар произойдет, то он будет иметь x² = w² -gy+ y. Бюджетное ограничение вида (5) можем получить, исключив y:
           (1- g) x¹ + gx² £ (1- g) w¹ + gw².
Покупая страховой контракт, потребитель тем самым меняет благо "деньги в состоянии 1" на благо "деньги в состоянии 2" в отношении p¹/p² = (1-g) /g.

Предположим далее, что потребитель имеет функцию полезности типа Неймана - Моргенштерна U = (1-m) u(x¹) +mu(x²), такую что функция u(.) дифференцируема и вогнута (т. е. он характеризуется строгим неприятием риска), где m - вероятность пожара. Дифференциальная характеристика равновесия потребителя как обычно имеет вид

¶U /¶x1 ¶U /¶x2 = 1-g g . (7)

Отсюда в равновесии

(

1 m

-1)

. u

(

_ x

1

) = (

1 g

-1)

. u

(

_ x

2

).

Учитывая, что

. u

(.)

- возрастающая функция, можно сделать следующие выводы.

При g = m (актуарно справедливая цена страховки) он всегда застрахуется на такую сумму, чтобы

_ x

1

=

_ x

2 ,

то есть на всю сумму потенциального ущерба w¹-w². Если цена будет высокой (g > m), то он застрахуется на такую сумму, чтобы

_ x

1

>

_ x

2  ,

то есть на сумму меньшую величины ущерба. Наоборот, при g < m он застрахуется на сумму, превосходящую ущерб.

Рис. 1: а) Вознаграждение за риск.  б) Модель инвестора с квадратичной целевой функцией.

1.3  Задача инвестирования (выбора портфеля)

Рассмотрим задачу распределения одного блага - капитала между несколькими активами (k = 0,1,...,l). Каждый актив характеризуется своей доходностью (отношением чистого дохода от единицы актива к цене) при различных состояниях мира q О Q - r_k^q с соответствующими вероятностями этих состояний m_q. Возможно, первоначально капитал размером w _S имеется в виде (безрискового) актива номер k = 0 (деньги в банке), который имеет гарантированную доходность r₀ независимо от состояния мира. Может быть, начальный запас имеет более общий вид

w = (w0,...,wl):

е k

wk = w S

. Инвестор должен выбрать размеры вложений в каждый вид активов z_k при ограничениях z_k ³ 0,

е k

zk £ w S

. (Если возможен кредит под процент r₀, то ограничение положительности z_k ³ 0 отсутствует). Доход от портфеля активов при состоянии мира q равен

xq =

е k

zkrkq

.

Предпочтения инвестора описывается функцией типа Неймана -  Моргенштерна

U(x) =

е q

mq u(xq) =

е q

mq u(

е k

zk rkq)

. Поскольку общая величина вложений w _S постоянна (выбор между накоплением и потреблением остается за рамками модели), то полезность определяется структурой портфеля и можно без ограничения общности заменить величину вложений в k-й актив на его долю в портфеле a_k = z_k /w _S. Получим следующую задачу:

U(x) ® max       xq = е k  ak rkq,    ak ³ 0,    е k  ak £ 1

(8)

Для упрощения задачи заменим функцию u(.) ее квадратичной аппроксимацией, то есть разложением в ряд Тейлора вплоть до членов только второго порядка в некоторой точке (например, x = r₀). Тогда функция U(.) примет вид

U = c0+c1 r-c2s2,

(9)

где c_i > 0 - некоторые константы, r = E(x) - ожидаемая доходность портфеля, s² = var(x) - дисперсия доходности (рискованность портфеля). Эти величины вычисляются по формулам:

r =

е k

ak rk

, где r_k - ожидаемая доходность k-го актива

(rk =

е q

mq rkq),

s2 =

е k1

е k2

sk1 sk2 rk1 k2 ,

где s_k - корень из дисперсии (среднеквадратическое отклонение) k-го актива

(sk2 =

е q

mq(rkq-rk)2),

r_{k1 k2} - коэффициент корреляции

(rk1 k2 =

1 sk1 sk2

е q

mq(rk1q-rk) (rk2q-rk) ).

В такой упрощенной модели выбора каждый вид акций (актив) характеризуется для инвестора всего двумя параметрами, поэтому задачу инвестирования можно и удобно рассматривать на плоской диаграмме с осями s,r. На этой диаграмме каждый актив или портфель p активов можно изобразить точкой s_p,r_p, а кривые безразличия представляют собой параболы с минимумом доходности при нулевом риске (s = 0). Рассмотрим ряд легко доказываемых утверждений о характеристиках составных портфелей активов, верных для этой модели. (Для более общей модели верны их аналоги.)

Рассмотрим произвольный портфель p = (a₀,...,a_k), состоящий из k+ 1 активов.

1) Ожидаемая доходность портфеля есть средневзвешенная с весами a_k доходность всех составляющих его активов:

rp =

е k

ak rk.

2) Если портфель p = (a₀,a₁), составлен из безрискового актива (k = 0) и некоторого другого (первого) актива, (возможно, составленного из других активов), то среднеквадратическое отклонение есть s_p = a₁s₁. Таким образом, различные выпуклые комбинации этих активов лежат на отрезке с концами в точках (0,r₀) и (s₁,r₁). Если можно взять кредит, то возможные комбинации лежат на луче, выходящем из (0,r₀). Этот отрезок/луч - аналог бюджетной прямой. Отсюда следует, что инвестор с неприятием риска при наличии безрискового актива всегда выберет свой портфель на луче выходящем из (0,r₀), имеющем максимальный наклон. Имеется в виду максимум из всех таких лучей, содержащих какие-либо точки - рисковые активы, или точки - комбинации рисковых активов. ) Пусть доходность всех активов жестко коррелирована: r_{k1 k2} = 1  ("k₁, k₂ № 0). Тогда

a =

е k

aksk

(риски складываются с весами a, как и доходности) ³, поэтому множество возможных комбинаций активов есть их выпуклая комбинация, то есть представляет собой выпуклый многоугольник с вершинами в точках (s_k,r_k), k = 0,...,l. В этих условиях можно утверждать, что (а) Без кредита (неважно, при наличии или отсутствии нерискового актива) нестрого предпочитаемым всегда (и строго предпочитаемым "почти всегда") является портфель с не более чем двумя активами, сколько бы ни было предприятий (активов).
(б) При наличии нерискового актива и возможности кредита это также верно, причем один из двух активов всегда - гарантированный, а второй - актив с максимальным тангенсом наклона d_k = (r_k- r₀)/s_k  (k № 0).

3) В случае некоррелированности доходностей активов, (то есть при r_{k1 k2} = 0 для k₁ № k₂) следует, что

s =

ж Ц

е k  ak2 sk2

.

В отличие от предыдущего случая, риски при некоррелированности не складываются, поэтому риск при комбинировании активов будет снижен. Тогда все активы с доходностью выше гарантированной должны войти в оптимальный портфель (эффект диверсификации). (Точная формулировка этого утверждения приводится ниже.)

4) Если доходности двух активов жестко отрицательно коррелированы, то из них можно составить безрисковый портфель. Пусть, например, r₁₂. Тогда

s =

Ц

a12s12 -a1a2 s1s2 +a22s22

= |a1s1 -a2s2| .

Чтобы s = 0, нужно взять

a1 =

s2 s1+s2

,  a2 =

s1 s1+s2

. )

В общем случае коррелированности, графически различные комбинации доходности и риска достижимые комбинированием любых двух точек (активов) окажутся выпуклым множеством лежащим ниже- правее некоторой кривой соединяющей эти точки и выступающей, при не полной коррелированности, влево. Допустимое множество P всех возможных комбинаций (портфелей), состоящих из рисковых активов для участника будет некоторой выпуклой фигурой. Комбинируя наилучшую по наклону d точку из P с безрисковым активом как и ранее, получаем наилучший по соотношению риска и доходности (лучший для любого участника!) так называемый "рыночный" портфель. Этими рассуждениями доказывается следующее

     Утверждение 1 ("Mutual Fund Theorem") В описанных условиях, если есть безрисковый актив, если возможен кредит и активы в равной мере доступны каждому инвестору, то все участники выберут портфели с одинаковым соотношением риска и доходности (составного из элементарных) рискового портфеля. Среди их оптимальных решений есть решение всем выбрать одинаковый по структуре рисковых активов портфель (но, возможно, с разными долями безрискового актива). Каждый выберет портфель, для которого наклон d = (r-r₀)/s максимален.

Теперь из этой модели отдельных инвесторов с неизменными ценами и доходностями активов сделаем вывод о целом инвестиционном рынке, состоящем из многих таких инвесторов. Из сказанного выше следует, что в первый момент на таком "неравновесном" рынке с кредитом и с жесткой коррелированностью покупались бы, возможно, только активы с одинаковым наклоном d_k, а остальные пользовались бы нулевым спросом несмотря на различие в предпочтениях риска участников. Вероятно, тогда цены стали бы понижаться, тем самым доходность возрастать, и в общем равновесии доля бы уравнялась у всех активов.

Аналогично и при нежесткой коррелированности активов, поскольку велика вероятность одинаковой структуры рисковых активов, вовсе не обязательно совпадающая со структурой предложения активов, то цены избыточных активов должны падать до тех пор, пока все "рыночные" составные портфели рисковых активов окажутся на одной прямой с равновесным наклоном d^*.

Теперь рассмотрим эффект диверсификации о котором говорилось выше для функций более общего вида (не обязательно квадратичных).

     Утверждение 2 Пусть инвестор характеризуется целевой функцией типа Неймана - Моргенштерна с возрастающей вогнутой элементарной функцией полезности u(.), пусть доходности статистически независимы ⁴ и ограничение a₀ ³ 0 несущественно (например, из-за возможности взять кредит). Тогда любой актив, доходность которого выше доходности безрискового актива (r_k > r₀) войдет в портфель, т.е. a_k > 0.

Док-во. Функция Лагранжа для задачи инвестора:

L =

е q

mq u(

е k

ak rkq)+l(1-

е k

ak)+

е k № 0

nkak,

где l ³ 0 множитель Лагранжа для ограничения

е k

ak £ 1 ,

n_k ³ 0 - для a_k ³ 0. Из dL /da₀ = 0 имеем

r0

е q

mq uў(xq) = l ,

а из dL /da_k = 0 имеем

е q

mq rkq uў(xq) = l-nk.

Воспользуемся тем, что мат. ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их мат. ожиданий. При a_k = 0 r_k^q и x^q, а следовательно и r_k^q и uў(x^q) независимы. Поэтому получим

е q

mq rkq

е q

mq uў(xq) = rk

е q

mq uў(xq) = l-nk £ r0

е q

mquў(xq) .

Так как m_q uў(x^q) > 0, то не может быть, чтобы r_k > r₀ .        _[[]]

1.4  Рынки с неопределенностью и риском

Термин рынок с неопределенностью⁵ закрепился за такими ситуациями, где у каждого участника имеются собственные (возможно неверные) представления о вероятностях возможных событий. Частным случаем этой ситуации является рынок, где представления всех участников о вероятностях совпадают, тогда говорят о рынке с риском⁶. Вероятности при этом называют объективными, хотя модели подходят и в том случае, когда все участники одинаково ошибаются.

Рассмотрим общее равновесие в экономике обмена с неопределенностью, учитывая материал предыдущего раздела. Как и прежде, имеется m потребителей и l товаров.

Q = {1, ...,

^ q

}

- множество всех возможных состояний мира. Условно можно представить, что рассматриваются два момента времени - "сегодня" и "завтра". Предполагается, что сегодня заключаются сделки и уравновешиваются рынки, а выполняться сделки будут завтра, когда выяснится, какое из состояний мира реализуется.

Элементарным товаром является обязательство (мы будем называть его "билет"), гарантирующее поставку единицы товара k О K завтра в случае состояния q О Q. Цену такого билета обозначим p^kq, а количество билетов, которое решит иметь участник i - x_i^kq. Цена платится сегодня, когда неизвестно, какое состояние мира реализуется.

У участника i в каждом из состояний мира q есть потенциальные начальные запасы w^q_i О R^l, которыми он может располагать, иными словами w_i О R^{l[^q]}₊ - это его начальные запасы всех билетов. Сегодня участники обмениваются между собой только имеющимися у них билетами, поэтому заключают сделки в рамках бюджетного ограничения (5). Каждый из участников максимизирует в рамках такого ограничения свою целевую функцию U_i(x_i). Наличие общей для всех гипотезы о вероятностях не нужно для понимания торговли случайными благами.

Определение Вальрасовского равновесия остается прежним, сбалансированность () требуется для каждого из состояний мира q О Q отдельно: распределение благ всегда должно быть физически допустимым.

Несложно понять, что такая модель рынка ничем не отличается от классической, с точностью до способа нумерации индексов (k,q). Поэтому можно сразу сформулировать следующее утверждение.

     Утверждение 3 Первая и вторая Теоремы благосостояния применимы к введенной здесь модели обмена с неопределенностью; то есть совершенный рынок случайных благ дает оптимальные равновесия, и любое Парето - оптимальное состояние реализуемо как рыночное равновесие.

   Пример 3 Есть одно благо - деньги, и два участника встречаются, имея запасы w₁ = (1,3), w₂ = (3,1) билетов двух типов: 1 тип гарантирует получение 1$ в состоянии мира R (дождь), и ничего при S (солнце), а второй - наоборот, гарантирует единицу только при солнце. Итак, первый, если не обмениваться, может рассчитывать на 1$ при дожде и на 3$ при солнце, а второй - (3,1). Пусть оба одинаково ценят деньги в любую погоду и считают вероятности состояний 1 и 2 одинаковыми, имея одинаковые целевые функции U_i(x_i) = 0.5 ln(x^R_i) +0.5 ln(x^S_i).

Описанная экономика представляет собой типичный пример "ящика Эджворта", только интерпретация переменных специфическая. Здесь речь идет не об обмене обычными ("физическими") благами, а об обмене рисками.

Гипотезы m_i^q (q О Q) разных участников i торговли о вероятностях событий q не обязаны совпадать. Это не мешает торговле, а иногда и создает ее.

Пример этого получим изменив параметры экономики: U₁(x₁) = 0.25ln(x¹₁) +0.75 ln(x²₁), U₂(x₂) = 0.75 ln(x¹₂) +0.25ln(x²₂). Здесь первый считает второе событие в три раза вероятнее первого; второй - наоборот. Начальные запасы можно взять одинаковые для обоих: w_i = (2,2).

Отыскание равновесий оставляем читателю в качестве упражнения. Потребление участников не совпадает с начальными запасами, что и является доказательством утверждения о наличии торговли между ними. Как и предсказывает Утверждение 1.4, равновесия Парето - оптимальны.

Известно, что неполнота информации все же представляет проблемы для рынков в реальной жизни. Что-то в сформулированной модели должно быть не так. Очевидно, что модель нереалистична. Нереалистична она не потому, что в ней фигурируют понятия "сегодня", "завтра" и "билеты". Ту же самую модель можно интерпретировать достаточно широко, в зависимости от конкретной ситуации.

Основное нереалистичное предположение данной модели - это наличие полной системы рынков. Это заранее заложено в формулировке модели в виде единого бюджетного ограничения. Содержательно полнота рынков означает, что каждый потребитель может поменять любой товар при любом состоянии мира на любой другой товар в любом другом состоянии мира, неважно, непосредственно или с помощью цепочки обменов.

Рынок с неопределенностью может стать несовершенным, если невозможно обменять ни одно благо в каком-либо состоянии q₁ ни на одно благо в другом состоянии q₂. Такое может быть, если по каким-либо причинам не заключаются соответствующие сделки условные по состояниям мира. При этом бюджеты потребителей уже не будут едиными. Потребители тогда имеют отдельные бюджеты в зависимости от состояния мира.

Покажем на примере, что такого рода неполнота рынков действительно может привести к неоптимальности.

   Пример 4 Экономика состоит из двух потребителей (1 и 2) и двух благ (x и y). Два события - "неурожайный год" (B) и "урожайный год" (G) имеют равные объективные вероятности (m^G = m^B = 1/2). Элементарные функции полезности имеют вид u₁ = x₁+y₁ и u₂ = lnx₂ +lny₂. Таким образом, первый участник нейтрален по отношению к риску, а второй не любит рисковать. На участке первого участника растет благо x, а на участке второго участника растет благо y. В урожайный год участники собирают по 6 единиц, а в неурожайный - по 2 единицы соответствующих благ.

Сначала найдем равновесие в ситуации, когда участники обмениваются после сбора урожая. Экономика распадается тогда на две (это будут обычные "ящики Эджворта"), отличающиеся только начальными запасами. Задачи участников имеют следующий вид. Первый максимизирует u₁ = x₁+y₁ при ограничении p^x x₁ +p^y y₁ £ p^x w^x, а второй максимизирует u₂ = lnx₂ +lny₂ при ограничении p^xx₂ +p^y y₂ £ p^y w^y, где (w^x,w^y) = (2,2) при неурожае и (w^x,w^y) = (6,6) при урожае. Равновесие равно

(

_ x

1

,

_ y

1

,

_ x

2

,

_ y

2

) = (1,1,1,1)

и

(

_ x

1

,

_ y

1

,

_ x

2

,

_ y

2

) = (3,3,3,3)

в неурожайный и в урожайный год соответственно.

Нетрудно найти и Парето - оптимум, воспользовавшись его диф. характеристикой (равенство предельных норм замещения). Целевые функции участников равны
           U₁ = 1/2 u₁(x₁^B, y₁^B)+ 1/2 u₁(x₁^G, y₁^G) = 1/2 (x₁^B+ y₁^B+ x₁^G+ y₁^G) и
              U₂ = 1/2 u₂(x₂^B, y₂^B)+ 1/2 u₂(x₂^G, y₂^G) = 1/2 (ln(x₂^B)+ ln(y₂^B)+ ln(x₂^G)+ ln(y₂^G)).
Во всех Парето - оптимумах

(

^ x

,

^ y

)

второй участник должен потреблять поровну каждого блага независимо от состояния мира:

^ x

B 2

=

^ y

B 2

=

^ x

G 2

=

^ y

G 2

.

Таким образом, рассмотренное равновесие неоптимально.

Неоптимальность возникает потому, что участники не заключают между собой сделки, условные по событиям. Первый участник, будучи нейтральным к риску мог бы страховать второго участника от неурожая. Бюджетные функции в таком случае станут едиными и примут вид p^xB x₁^B +p^yB y₁^B+ p^xG x₁^G +p^yG y₁^G £ p^xB w^xB + p^xG w^xG у первого и p^xB x₂^B +p^yB y₂^B+ p^xG x₂^G +p^yG y₂^G £ p^yB w^yB + p^yG w^yG у второго. Поскольку предельные полезности всех благ для первого участника равны, то цены всех благ должны быть одинаковы. Из диф. характеристики равновесия следует также, что как и во всех точках Парето - оптимума

_ x

B 2

=

_ y

B 2

=

_ x

G 2

=

_ y

G 2.

Отсюда находим равновесие. При неурожае первый имеет набор (0,0), а второй - (2,2). В урожайный год первый имеет набор (4,4), а второй - (2,2).

Почему могут отсутствовать рынки? Основная причина - отсутствие информации или большие издержки ее получения. Если невозможно отличить, какое именно событие произошло, то невозможно записать в контракте условие вида: "Если произошло такое-то событие, то продавец должен отдать покупателю такое-то количество товара, а покупатель должен заплатить за него по такой-то цене".

---

Сноски:

¹ Определение эквивалентно данному ранее. Эквивалентность доказывается от противного.

² Англ. certainty equivalent.

³Такое может происходить, если доходности зависят от фазы экономического цикла или другого общего параметра.

⁴Для квадратичной функции достаточно некоррелированности. Утверждение доказывается аналогично.

⁵ Пособие - Маленво, Гл. XI "Неопределенность".

⁶ Такое различие между риском и неопределенностью предложил Ф. Найт: Knight F. Risk, Uncertainty and Profit, 1921.

---

File translated from T_EX by T_TH, version 2.73.
On 23 Jan 2001, 22:25.