Материалы по единичным корням и коинтеграции

Содержание.

Ведение *

Глава 1. Введение в теорию коинтеграции. *

§1.1. Экономическая интерпретация. *

§1.2. Эволюция коинтеграции. *

Глава 2. Коинтеграционный анализ. *

§2.1. Стационарные и нестационарные процессы. *

§2.2. Единичные корни и “ложная” регрессия. *

§2.3. Коинтеграция. *

§2.3.1 Введение. *

§2.3.2. Коинтеграция между двумя переменными. *

§2.3.3. Коинтеграция нескольких переменных. *

§2.3.4. Модель исправления ошибки. *

§2.4. Метод Йохансена. *

§2.4.1. Теорема Грэнджера о представлении. *

§2.4.2. Теоретические выкладки метода. *

§2.4.3. Асимптотическая теория. *

§2.4.4. Алгоритмическое описание метода. *

Глава 3. — *

Глава 4. Практическое использование метода Йохансена. *

§1. Описание данных. *

§2. Расчеты коинтеграционного анализа. *

Заключение. *

Список литературы. *

Ведение

В течение последних 30 лет теория и практика финансов во все большей степени стала опираться на количественные методы математики, статистики и эконометрии. Это привело к более частому использованию количественного анализа при изучении поведения финансовых рынков. Расширенное применение количественного анализа в последнее десятилетее обусловлено также распространением персональных компьютеров в среде академических и финансовых профессионалов.

Параллельно и от части по этим же причинам появился новый раздел литературы, посвященный управлению рисками и производным финансовым инструментам, таким, как опционы, фьючерсы и свопы. Это связано с развитием новых сфер в финансовой практике: работой с деривативами, управлением финансовыми рисками, количественным анализом инвестиций.

Новая литература и новые методы задействовали количественные приемы, ранее применявшиеся только в физике, в то же время развив или адаптировав технику количественного анализа к экономике.

Дальнейшие научные разработки сопровождались значительным увеличением числа людей, работающих на финансовых рынках и в сфере финансовых услуг. Этим специалистам необходимо хорошее понимание количественных методов. Лежащих в основе их деятельности. Однако лишь незначительная часть этих людей имеет соответствующую подготовку в указанной области. Таким образом, у студентов, аспирантов и финансовых профессионалов существует возрастающая потребность в развитии навыков применения количественных методов для работы на современных финансовых рынках.

Что такое финансовый рынок в условиях отказа от административно-командной системы? Это не только одна из базовых отраслей экономики. От него зависят состояние и перспективы социально-экономической ситуации в стране. На него замыкаются все ключевые вопросы собственности и состояния государственных финансов. Его основным предназначением становится обеспечение эффективного доступа к временно свободным финансовым ресурсам государства, предприятий и организаций. Финансовый рынок - это и барометр экономики. Вот почему, когда обрушиваются кризисные шторма, первый удар принимает на себя финансовая система. Ее же в первую очередь необходимо и спасать, если хочешь удержать корабль экономики на плаву. Понимает ли это наше правительство? Безусловно, понимает. Понимает и пытается предпринять необходимые меры. А для этого соответсвующие комитеты выполняют мониторинг различных важных показателей финансового рынка и анализируют полученные статистические данные. На основе сделанного ими анализа применяются те или иные инструменты и методы для управления и поддержания стабильности и экономического роста в стране.

Однако, при этом надо отметить, что анализ поведения показателей финансового рынка очень сложен. Особенно это характерно для российского рынка, потому что колебание показателей вызваны не только поведением рынка, но и той политической обстановкой, которая сложилась в стране.

В данной работе был рассмотрен один из подходов к анализу показателей финансового рынка. Не секрет, что за последнее десятилетие статистические данные индикаторов экономики России – есть в основном временные ряды, которые носят нестационарный характер. Отсюда, следует, что для многих показателей нехарактерна какая-либо краткосрочная связь. Но при этом можно предположить, что между данными может существовать долгосрочная тенденция равновесия. Для того, чтобы ее установить применяются различные методы. В данной работе нас интересовали процессы, которые могут быть описаны при помощи векторной авторегрессионной модели. А за основу для анализа показателей финансового рынка был взят подход Сорена Йохансена (Soren Johansen).

Глава 1. Введение в теорию коинтеграции.

§1.1. Экономическая интерпретация.

В основе понятия коинтеграции лежит идея о том, что в некоторых случаях отсутствие стационарности у многомерного процесса вызывается общим стохастическим трендом, который может быть устранен путем взятия определенной линейной комбинации компонент процесса, в результате чего эта линейная комбинация будет стационарной.

В экономике и других приложениях статистики авторегрессионные процессы давно применяются для описания стационарных явлений, и идея описывать процесс, исходя из предшествующих значений, оказалась плодотворной для составления прогнозов. Если же мы хотим выявить связи между значениями переменных, относящихся к одному и тому же моменту времени, с целью понять взаимодействие экономических факторов, то мы получим гораздо больше информации, если будем сопоставлять значения той или иной переменной с одновременными ей значениями других переменны, а не с ее же прошлыми значениями. Можно сказать так: если нас интересуют соотношения между разными переменными, то следует рассматривать линейные комбинации значений, относящихся к одному моменту времени; если же нас интересует динамика эволюции переменных, то мы должны исследовать зависимости от прошлых значений.

Причина популярности понятия коинтеграции в эконометрике заключается в том, что, следуя традиции Комиссии Коулса, классические макроэкономические модели часто формулируются в виде линейных соотношений между одновременными значениями переменных. Несмотря на то, что многие (может быть, даже большинство) экономические переменные нестационарны, теория таких уравнений была разработана для стационарных процессов. Если мы считаем классические соотношения в экономике устойчивыми, то легко представить себе, что эти соотношения могут быть стационарными, даже если сами переменные нестационарны. Коинтеграция представляет собой математическую формулировку этого явления.

§1.2. Эволюция коинтеграции.

Концепция коинтеграции впервые была представлена Гренджером (Granger, 1981) и разработана дальше Энглом и Гренджером (Engle and Granger, 1987), Энглом и Ю (Engle and Yoo, 1987, 1991), Филлипсом и Ольюрисом (Philips and Ouliaris, 1990), Стоком и Ватсоном (Stock and Watson, 1988), Филлипсом и Йохансеном (Phillips and Johansen, 1988, 1991, 1994) и другими.

Работая в рамках двумерной модели, с по крайней мере одним вектором коинтеграции, Энгл и Гренджер (1987) предложили оценивать коинтеграционный вектор путем регрессии первой компоненты рассматриваемого процесса на вторую компоненту , используя OLS (так называемую коинтеграционную регрессию), а затем проверить будут ли остатки этой регрессии содержать единичные корни, используя расширенный тест Дики-Фуллера (ADF-тест). Детали смотрите Фуллер (Fuller, 1976), Дики и Фуллер (Dicky and Fuller, 1979, 1981) и Сэйд и Дики (Said and Dicky, 1984). Правда, так как тест применяется к оценкам остатков, то таблицы критических значений этого теста (Fuller, 1976) неприменимы. Корректные критические значения могут быть найдены у Энгла и Ю (Engle and Yoo, 1987). Филлипс и Ольюрис (Phillips and Ouliaris, 1990), проводили свои ислледования на этой же основе, но только применяли вместо ADF-теста на наличие единичного корня свой разработанный тест (Phillips, 1987; Phillips-Perron, 1988). Оба типа тестов подразумевали наличие интеграции в качестве нулевой гипотезы. Парк (Park, 1990) предложил тест для единичных корней и коинтеграции, используя подход дополнительных переменных, при помощи регрессии OLS остатков регрессии коинтеграции на множество времени, и тестируя будут ли коэффициенты незначимо отличаться от нуля. Подобная идея была использована Биренсем и Гуо (Bierens and Guo, 1993), для тестирования тренд-стационарности, подразумевающую опять же гипотезу единичного корня. Однако, подобно подходу Парка требуется последовательность оценок долговременного изменения ошибок истинной модели коинтеграционной регрессии при помощи оценок Невью-Веста (Newey-West, 1987), который требует существенных жертв асимптотической мощьности. Для больших подробностей смотрите Биренса и Гуо (Bierens and Guo, 1993). Также проводились тесты Хансена (Hansen, 1992) на простой коинтеграционной регрессии. В обоих тестах работают варианты оценок инструментальных переменных методом Филлипса и Хансена (Phillips and Hansen, 1990). И наконец, Босвьюик (Boswijk, 1994, 1995) рассматривал подходы к одномерным уравнениям и системам, используя структурные одиночные уравнения как основу для коинтеграционного анализа.

Во всех подходах выше тестируется нулевая или альтернативная гипотезы о коинтеграции, но если тест указывает на наличие коинтеграции в системе с тремя или более переменными, мы все еще не знаем как много линейно независимых коинтеграционных векторов существует в этой системе. В этом случае мы можем использовать подход Стока и Ватсона (Stock and Watson, 1988), который есть многомерное представление тестов Энгла-Гренджер и Филлипса-Ольюриса (Engle-Granger and Phillips-Ouliaris). Основная идея в линейном преобразовании -мерного вектора процесса , с предполагаемыми линейно независимыми коинтеграционными векторами, к виду, где первые компонент преобразованного вектора стационарны, а оставшиеся компонент, собираются в вектор называемый интегрированным. Матрица рассмотренного преобразования может быть оценена, используя основные компоненты . Затем тестируется будет ли процессом, содержащим единичные корни. Для этого используется многомерная версия ADF-теста или тест Филлипса (Phillips, 1987). Критические значения этого теста различаются согласно тому, будт ли начальное значение равняться нулю или нет и будет ли процесc с единичным корнем иметь изменение или нет.

В публикациях Йохансена (Johansen, 1988) и Йохансена и Йюзелис (Johansen and Juselius, 1990) предлагается умное решение и применяется полная оценка максимального правдоподобия и подход теста основывается на так называемой модели исправления ошибки (error correction model), для краткости ECM.

ECM базируется на представительной теореме исправления ошибок Энгла-Гренджера (Engle-Granger, 1987) для коинтегрированной системы. Путем сбора всех матричных параметров в функции правдоподобия, исключая матрицу , Йохансен показал, что оценка может быть найдена, как решение проблемы собственных значений. Тест отношения правдоподобия для гипотезы размерности коинтеграционного пространства может также основываться на собственных значениях. Кроме этого, Йохансен (Johansen, 1988) также предложил тест отношения правдоподобия для линейных ограничений на коинтеграционные вектора.

Первоначально Йохансен (Johansen, 1988) рассматривал модель, где присутствует. Позже Йохансен (Johansen, 1991) расширил эту модель добавив сезонную компоненту, а в 1994 также рассмотрел временной тренд, включив его в (но уже без сезонной компоненты). Эти три случая ведут к различным нестандартным распределениям для теста отношения правдоподобия относительно числа коинтеграционных векторов (размерности коинтеграционного пространства). Кроме того, возможные ограничения на составляющие могут привести к различным нестандартным распределениям. Таким образом приложения для теста Йохансена реально требуют некоторых начальных знаний об истинных параметрах модели ECM.

Продуктивный подход для модели исправления ошибки Филлипса (Phillips, 1991) отличается от подхода Йохансена (Johansen, 1988) тем, что у Филлипса ECM специфицируется на базе коинтеграционной связи , где гауссовский процесс с нулевым средним. Подходы Стока и Ватсона (Stock and Watson, 1988), Филлипса (Phillips, 1991) и Йохансена (Johansen, 1988, 1991, 1994) требуют последовательного оценивания помех и/или структурных параметров.

В данной работе мы рассматривали метод Йохансена для нахождения коинтеграционного пространства. Этот метод имеет преимущество в том, что в нем решена проблема собственных значений и кроме того, выводы данного метода как раз основаны на найденных собственных векторах и собственных значениях. Так тесты на размерность коинтеграционного пространства базируются на собственных значениях. А для любой найденной размерности пространства оценка векторов коинтеграции - есть подпространство соответствующих собственных векторов. И кроме того оставшиеся собственные значения содержат информацию об ошибках дисперсии.

Кроме того данный метод является очень хорошей основой для изучения интегрирванных порядка 2, I(2) процессов. Но для такого случая необходимо рассматривать другую технологию, так как он более труден и имеет еще множество нерешенных проблем. Некоторые результаты вы можете найти в последних статьях С. Йохансена.

Глава 2. Коинтеграционный анализ.

§2.1. Стационарные и нестационарные процессы.

Когда мы говорим об устойчивости (стабильности) временного ряда, мы подразумеваем его стационарность. Дадим теперь более точное понятие стационарности.

Ряд называется строго стационарным (strictly stationary) или стационарным в узком смысле, если совместное распределение m наблюдений не зависит от сдвига по времени, то есть совпадает с распределением для любых .

Обычно нас интересуют средние значения и ковариации, а не все распределение. Поэтому часто используют понятие слабой стационарности (weak stationarity) или стационарности в широком смысле, которое состоит в том, что среднее, дисперсия и ковариация не зависят от момента времени t:

, , .

Конечно, из строгой стационарности следует слабая стационарность (при условии конечности первого и второго моментов распределения).

Введем понятие автокорреляционной функции (autocorrelation function), ACF:

.

Заметим, что , а . ACF играет важную роль в задаче идентификации моделей временных рядов.

Рассмотрим примеры временных рядов. Самым простым является ряд с независимыми одинаково распределенными наблюдениями:

, , .

Этот порцесс называется “белым шумом” (white noise), у него

, , , .

Другим примером является AR(1) процесс:

, , .

Предполагается, что . Используя оператор сдвига, этот процесс можно записать в виде:

,

или

Поскольку мы предполагаем, что , то из (1) получаем

,

т.е. среднее не зависит от времени. При таком же условии на получаем

.

Аналогично можно показать, что

.

Таким образом, AR(1) процесс является стационарным при условии и его автокорреляционная функция равна

, .

Важным примером является процесс

, , ,

называемый случайным блужданием (random walk). Этот процесс по виду похож на AR(1) с , однако существенно отличается от стационарного процесса AR(1) (c ) по своим свойствам. Из его определения, учитывая, что ошибка некоррелированна с , можно получить:

; .

Отсюда ясно, что случайное блуждание нестационарно, так как . Если положить, что процесс начинается с момента и , , то , , при , т.е. дисперсия неограниченно возрастает со временем.

Процесс случайного блуждания отличается от стационарного AR(1) процесса тем, что в нем влияние возмущений не затухает: , в то время как в AR(1) влияние возмущений затухает со временем: (при ).

Легко показать, что процесс AR(1) с тем более не является стационарным (и не встречается в реальных экономических примерах).

§2.2. Единичные корни и “ложная” регрессия.

Проблема единичных корней при анализе динамики макроэкономических показателей очень важна. Если структурная переменная -, как например, реальный выпуск, - действительно I(1), то ее возмущение будет иметь перманентные последствия. Поэтому, например, утверждение о том, что изменения в монетарной политике могут иметь временное влияние на реальный выпуск, теряет свою силу. Но эта проблема вместе с тем и очень сложна.

Рассмотрим AR(1) процесс в форме разностного оператора с нулевым средним

, .

Выше мы показали, что для того чтобы данный процесс был стационарным, необходимо условие , т.е. существование обратного оператора .

Возьмем другой пример – AR(2) процесс:

, .

Как и всякий многочлен, может быть разложен на множители над полем комплексных чисел:

.

Нетрудно понять, что для существования обратного оператора необходима обратимость каждого сомножителя в выражении выше, а это означает, что все по модулю меньше единицы. Часто это условие формулируется следующим образом: все корни многочлена должны лежать вне единичного круга.

Ранее мы видели, что наличие единичного корня в процессе существенно влияет на его свойства. Как определить по имеющимся наблюдениям верно ли, что в процессе есть единичные корни? Мы знаем, как тестировать гипотезу подобного рода (для AR(1) процесса это гипотеза, что ) с помощью t-статистики , которая имеет распределение Стьюдента и асимптотически стандартное нормальное распределение. Однако, как показали Дики и Фуллер, в случае, если истинное значение , то t-статистика не распределена по закону Стьюдента и ее распределение не стремится к стандартному нормальному при увеличении количества наблюдений.

Таким образом, используя стандартную процедуру, мы часто (ошибочно) отвергаем верную гипотезу наличия единичного корня. В силу этого используют процедуру Дики-Фуллера, при проверке гипотезы наличия единичных корней. Заметим, что тест Дикки-Фуллера включен во все современные эконометрические пакеты.

Использование стандартных регрессионных методов при нестационарных данных приводит к проблеме ложной регрессии, связанной с ложными выводами, основанными на t- и F-тестах. Выше мы рассмотрели проблемы, возникающие в авторегрессионных процессах с единичными корнями. Рассмотрим еще один пример регрессии, в которой участвуют нестационарные временные ряды. Возьмем два независимых случайных блуждания:

, ,

(2)

, , .

Так как и независимы, то между и нет ничего общего. Предположим, что исследователь не знает механизмов, порождающих и , и оценивает регрессию:

.

В работе (Granger, Newbold, 1974) методами имитационного моделирования показано, что если тестировать значимость зависимости выше при помощи t-статистики, то очень вероятно, что будет получен ложный вывод о наличии значимой связи.

Причиной этого является то, что ошибка является нестационарным процессом и поэтому не удовлетворяет условиям классической регрессионной модели (постоянство дисперсии ошибок). В работе (Philips, 1986) показано, что асимптотическая теория для МНК-оценок уравнения для в этом случае совершенно другая. Например, t-статистика не имеет предельного распределения и расходится при . Поэтому, чем больше выборка, тем больше шансов прийти к ложному заключению. Такая ситуация называется “мнимая (ложная) регрессия” (spurious regression). На практике признаками мнимой регрессии являются высокое значение и малое значение статистики Дарбина-Уотсона DW.

Пример. Ложная регрессия.

Сгенерируем два ряда наблюдений в соответствии с (2), где и . Ниже приведены результаты регрессии для 300 наблюдений.

;

В скобках указаны t-статистики.

§2.3. Коинтеграция.

§2.3.1 Введение.

Понятие коинтеграции стало одним из важнейших в эконометрике временных рядов.

Анализ макроэкономических эмпирических данных почти всегда сталкивается с проблемой наличия нестационарных рядов и/или рядов имеющих тренд. Примером таких рядов являются доход, потребление, спрос на денежную массу, уровень цен, торговые потоки и биржевые показатели. Опыт подсказывает, что для работы с такими данными необходимо использовать разности и другие преобразования (как например, поправка на сезонные колебания), для того чтобы добиться их стационарности и анализировать результаты методом Бокса-Дженкинса. Но последние исследования показали, что существует более интересный и адекватный способ анализа рядов с трендами.

Таким образом, предметом нашего дальнейшего исследования будут основанные на првдоподобии статистические выводы для некоторого класса нестационарных временных рядов. Чтобы оправдать интерес к этой теме, мы рассмотрим несколько простых экономических приложений и покажем, как анализ статистической модели помогает лучше понять суть явления в экономике. В этом разделе вводятся основные понятия для коинтеграционного анализа и на материале примеров обсуждаются определения моделей и процессов в терминах общих трендов.

Определения, которые будут и уже были введены порождают ряд интересных вопросов математического, статистического и вероятностного свойства, а также вопросы, связанные с интерпретацией коинтеграциии применительно к различным приложениям.

Математические вопросы:

• К какому типу нестационарных процессов относятся I(1)-процессы?
• Какие модели порождают коинтеграционные процессы?

Вопросы интерпретации:

• Как в терминах коинтеграционных соотношений сформулировать привлекающие интерес экономические гипотезы?
• Какова интерпретация коинтеграционных соотношений и как можно успешно применять модели коррекции ошибок?

Вопросы статистики:

• Как определить число коинтеграционных соотношений и общих трендов?
• Как проверять гипотезы, относящиеся к рангу коинтеграции?
• Как на коинтеграционных соотношениях проверять экономические гипотезы?

Вероятностные вопросы:

• Как выглядит (асимптотическая) теория статистических критериев и оценок и можно ли получить более хорошее приближение для точных распределений?

Далее мы рассмотрим некоторые из этих вопросов и постораемся ответить на них.

Рассмотрим ряд определений.

Авторегрессионный процесс и процесс скользящего среднего предполагают, что анализируемые данные являются стационарными. Интегрирование означает, какого порядка разности должны быть расчитаны для того, чтобы получить стационарный временной ряд. Здесь нахождение разности – это всего лишь нахождение изменений значения переменной в последующий период, т. е. величины . Ряд значений - это ряд разностей.

Если во временном ряду должны быть рассчитаны первые разности, чтобы получить стационарный ряд, то первоначальный ряд называется интегрированным рядом первого порядка, или I(1). Если же требуется рассчитать вторые разности для получения стационарного ряда, то это интегрированный ряд второго порядка, или I(2). Подобный принцип разностных преобразований применяется для любого числа единичных корней. Если для сведения нестационарного временного ряда к стационарному необходимо произвести d разностных преобразований (ряд имеет d единичных корней), то ряд называется интегрированным порядка d, или I(d). Если же в ряду вообще не требуется вычислять разности, то он называется интегрированным рядом нулевого порядка, или I(0). Таким образом цель понятия интегрированности состоит в том, чтобы определить класс нестационарных процессов, которые становятся стационарными после перехода к разностям. А кроме этого данное понятие также определяет класс стационарных процессов I(0), которые становятся нестационарными после суммирования. Тем самым имитируется взаимосвязь между случайным блужданием и его приращением.

Определение. Линейный p-мерный процесс

называется интегрируемым порядка 0, или класса I(0), если .

Примером для данного определния будет стационарный одномерный авторегрессионный процесс с . Процесс очевидно является линейным, так как , а из следует, что он принадлежит классу I(0). Смысл последнего условия в определении в том, что накопленные имеют вид

,

и условие гарантирует нестационарность накопленного процесса.

При этом, однако, процесс оказывается стационарным, но не принадлежит классу I(0), поскольку сумма коэффициентов равна нулю. Просуммировав этот процесс, получим

,

т.е. нестационарный, но асимптотически стационарный процесс. Требуя выполнения условия, чтобы сумма коэффициентов линейного процесса была отлична от нуля, мы гарантируем, что его накопленные значения имеют интересующий нас тип нестационарности.

Заметим, что определение I(1)-процесса инвариантно относительно неособых линейных преобразований в том смысле , что если есть I(1)-процесс и А – матрица полного ранга, то также принадлежит I(1).

Корреляцию можно рассматривать как меру линейной зависимости между парами переменных. Теперь когда уже введено понятие стационарности, ясно, что для того чтобы коэффициент корреляции являлся статистически значимым показателем связи между двумя временными рядами, необходимо выполнение условия их стационарности. Мы говорим, что два временных ряда должны быть совместно ковариационно стационарными. Отдельная переменная является ковариационно стационарной, если и и - конечные константы для всех значений t, и, таким образом, ковариация двух наблюдений зависит только от времени между наблюдениями. Чтобы две переменные были совместно ковариационно стационарными, индивидуальные ряды должны быть ковариационно устойчивыми, а ковариация и должна быть неизменной при всех значениях t, т.е. чтобы не зависела от t.

Проблема использования коэффициента корреляции в финансах заключается в том, что нет особых причин считать финансовые временные ряды ковариационно стационарными. Например, валюты или фондовые биржевые индексы в странах со слабыми экономическими связями вряд ли будут иметь устойчивую взаимосвязь друг с другом. Хотя здесь может присутствовать долгосрочная взаимосвязь, которую требуется определить. Следовательно, нужна иная мера взаимосвязи между переменными, которая может использоваться в свете практических реалий того, что ряды, не будучи совместно ковариационно стационарными на коротком промежутке времени, демонстрируют долгосрочное равновесие. Это понятие соответствует коинтеграции.

Коинтеграция описывает долгосрочную линейную связь между несколькими переменными, которые демонстрируют равновесное отношение друг с другом. Рассмотрим пример с двумя переменными, например, уровень индекса FTSE 1001 и курс фючерсов FTSE 100, которые обозначим соответственно как и . Есть экономические причины полагать, что в долглсрочном плане они будут иметь равновесную связь друг с другом. Чтобы понять это, рассмотрим модель арбитража наличного и фондового рынков. Что произойдет, если цена фьючерса будет намного выше или ниже теоритического уровня? Если цена фьючерса выше справедливой, то арбитражеры будут продавать фьючерсы и покупать индексы, тем самым опуская цену на фьючерсы до равновесного уровня. И наоборот, если цена фьючерса ниже справедливой, то арбитражеры будут продавать индексы и покупать фьючерсы.

Предположим, что равновесное отношение уровня цены на фьючерс к уровню индекса равно 1.1. Это можно выразить так:

,

но можно представить и так:

.

Это соотношение верно только для равновесия, на краткосрочных интервалах каждая из этих переменных будет изменяться по-своему и, возможно, будет являться рядом I(1). Но даже если оба ряда относятся к I(1), если существует долгосрочное равновесие между ними, то третья переменная , заданная как

,

будет стационарной и будет измерять, в какой степени переменные и выведены из равновесия. Переменную называют ошибкой равновесия, потому что под действием тех сил, что устанавливают равновесие, она устремится к своему среднему значению.

Таким образом, если существует равновесное отношение, то возможно найти такую комбинацию данных двух переменных, т.е. , при которой будет стационарной. Как выше уже говорили, если в самом деле стационарна, то ее значение колеблется вокруг постоянной средней, и если отклоняется от своего среднего значения, то имеет тенденцию возвращаться к нему. Однако на краткосрочных интервалах переменные могут и не изменяться вместе и, таким образом, может не быть краткосрочного равновесия, но все краткосрочные отклонения будут сводиться рыночными силами в долгосрочном плане к нулю.

Если существуют такие a и b, что является I(0), то будет стационарно. Если мы имеем функцию , где стационарна и и являются I(1), то имеется коинтеграция между и . часто называется коэффициентом коинтеграции.

Определние. Если процесс - интегрированный порядка 1 и линейная комбинация , при некотором будет стационарной, то называется коинтегрированным процессом, а - коинтегрирующим вектором. Максимальное число линейно независимых коинтегрирующих векторов называется рангом коинтеграции, а подпространство, ими порожденное, - пространством коинтеграции.

Таким образом, коинтеграция описывает долгосрочное соотношение двух или более переменных и проистекает из того, что эти переменные демонстрируют общий стахостический тренд во времени.

Одна из задач анализа коинтеграции состоит в анализе преимуществ от диверсификации портфеля в дополнение к корреляционному анализу структуры портфеля с точки зрения его математического ожидания и дисперсии. В частности, анализ коинтеграции позволяет выявить существование долгосрочной зависимости между переменными и скорость, с которой краткосрочные отклонения от долгосрочного равновесия сводятся назад к равновесию.

Вторая задача анализа коинтеграции была связана с выявлением структурного несовершенства рынков. Третья функция состояла в обеспечении возможности прогнозирования путем применения так называемой “модели исправления ошибок”.

§2.3.2. Коинтеграция между двумя переменными.

Коинтеграция двух переменных имеет место, когда порядок интеграции каждого ряда равен b, но некая линейная комбинация которых дает ряд с порядком интеграции, равным a, где a<b. В таком случае говорят, что два ряда I(b) коинтегрированы. Для практических целей в финансах принимают b=1 и a=0. Таким образом, коинтегрированные ряды будут I(1) и их линейная комбинация будет рядом I(0).

Для примера рассмотрим обменные курсы ₤/DM, и ₤/FFR. Предположим, что каждый из курсов является коинтегрированным рядом первого порядка I(1), но если из двух рядов мы можем вывести переменную , , которая является рядом I(0), т.е. колеблется вокруг постоянной средней, то говорят, что и коинтегрированы. Параметр называют константой коинтеграции.

Коинтеграция характеризует равновесное отношение двух переменных, так как чтобы было устойчиво, при и , отклоняющихся от их равновесного отношения, они должны будут вернуться к нему, так что колеблется вокруг определенного (постоянного) среднего значения. Эта тенденция возвращения к равновесию известна как исправление ошибки. Модель этого процесса соответственно называется моделью исправления ошибки и соответствует интересному свойству стационарности – возвращению стационарных рядов к средней величине.

Чтобы понять идентичность стационарности и возвращения к средней, рассмотрим уравнение (1), используемое для проверки на стационарность, пренебрегая эффектами автокорреляции

. (1)

Предположим, что постоянное среднее значение равно 0, и произошло внезапное отклонение от этой средней, так что значение было равно 2. Если пренебречь случайными эффектами, т.е. величинами , то и будут равны:

С другой стороны, если бы значение было равно –3, то и были бы равны соответственно:

Таким образом, мы видим, что после положительного отклонения от постоянной средней величины следуют отрицательные изменения, и величина этих изменений является функцией размера положительного отклонения. Анологично отрицательное отклонение вызывает положительные изменения. Таким образом, независимо от изменения и его знака последующие изменения будут приводить значение переменной к ее средней величине.

Можно обобщить это, сказав, что при ряд будет иметь тенденцию возвращаться к среднему значению. Теперь в случае коинтегрированной регрессии в рядах динамики, ошибки равновесия возвращаются к их среднему значению и две интегрированные переменные возвращаются к равновесию.

Первая ступень анализа коинтеграции – это оценка константы коинтеграции (при условии, что она существует). В случае с двумя переменными может быть использован МНК. Кроме того, далее будет рассмотрен другой, более сложный метод, использующий методы оценки наибольшего правдоподобия для определения вектора коинтеграции временных рядов. Последний метод сложнее, преимущество его в том, что он имеет общий вид для многофакторных моделей. Здесь мы будем применять МНК. Далее проследим разработку модели исправления ошибок. Затем последует метод, разработанный Йохансеном (Johansen, 1988) и Йохансеном и Йезулиусом (Johansen and Jesulius, 1990), который использует метод наибольшего правдоподобия.

Признаки коинтеграции двух переменных:

Их индивидуальные временные ряды должны быть I(1);

Их линейная комбинация должна быть I(0).

Обратите внимание на то, что не все переменные с рядами I(1) обладают коинтеграцией, а только те, линейная комбинация которых является рядом I(0). Таким образом, проверка коинтеграции рядов динамики происходит в два этапа.

Первый этап. Определить, что переменные являются рядом I(1), можно при помощи расширенного критерия Дики-Фуллера. Исследователь должен произвольно ввести достаточно предшествующих значений и , чтобы превратить остатки в следующих регрессияхв белый шум

(2).

Поскольку мы применяем расширенный критерий Дики-Фуллера, то надо проверить на значимость и с помощью t-критерия для и соответственно. Если любой из этих параметров не будет значимо отличаться от нуля, то соответствующий ряд ( или ) будет I(1). Исследователь может ввести в уравнение (2) среднее значение или тренд, как это уже осуждалось выше при рассмотрении интеграции.

Второй этап. Выяснив, что данные ряды являются рядами I(1), мы принимаем МНК в виде, известном как регрессия коинтеграции

. (3)

Эта форма выделяет остатки , так что можно проверить, являются ли они стационарными. Если мы сложим и , чтобы получить , то получим и нужно будет проверить стационарность . Если в самом деле стационарна, то будет вектором коинтеграции, что уже обсуждалось ранее.

Замечание: обычно регрессия по отличается от регрессии по , но в случае коинтеграции временных рядов “долгосрочная” коинтеграция между переменными равна 1, и обе регресси по сути одинаковы.

Третий этап. Определим, являются ли остатки рядом I(0). Это достигается использованием следующей регрессии

. (4)

Проверяется нулевая гипотеза, что не существует коинтеграции во временных рядах, т.е. . Причина в том, что при , незначимо отличном от нуля, является рядом I(1), и отсюда нет коинтеграции между рядами и . Мы не можем использовать тот же критерий значимости для , что и для в уравнении (7.23), потому что сами остатки уже являются результатом оценки. Поэтому мы должны использовать таблицы Мак Киннона (1991).

Этот критерий имеет ряд недостатков. Во-первых, он так же страдает от смещения малых выборок, как и регресии. Во-вторых , он скорее основан на минимизации дисперсии остатков, чем на максимизации стационарности. Однако смещение малой выборки не должно быть роблемой в случае с финансовыми временными рядами, так как размер выборок там обычно достаточно велик.

§2.3.3. Коинтеграция нескольких переменных.

Теперь мы можем применить анализ коинтеграции к нескольким переменным, например, и . Существуют четыре возможные линейные комбинации этих переменных, например и , и , и , , и . Однако мы заинтересованы только в независимых комбинациях , так как только они могут быть коинтегрированы. Любая комбинация комбинация векторов коинтеграции сама по себе будет вектором коинтеграции. Таким образом, мы можем иметь не более векторов коинтеграции. Поскольку у нас три переменные, то мы имеем две независимые комбинации.

Теперь рассмотрим упомянутые выше четыре комбинации.

Мы можем доказать, что если коинтегрированы и и коинтегрированы, то должна существовать коинтеграция в рядах и и в рядах и .

Так как и коинтегрированы, то существуют такие и , что является I(0).

Поскольку коинтегрированы и , то существуют такие и , что является I(0).

Сложение дает , что является I(0), отсюда существует коинтеграция и .

Умножение на и соответственно и вычитание дают ряд , который также является I(0), а значит между и существует коинтеграция.

Таким образом, существует не больше двух независимых векторов коинтеграции.

Для определения векторов коинтеграции в случае многих переменных и для построения модели исправления ошибок воспользуемся методом наибольшего правдоподобия Йохансена. Модель исправления ошибок для многоих переменных – это всего лишь общий вид модели для двух переменных. Опять мы начнем с построения модели VAR и приведем ее к разностям. Однако на этот раз векторы будут , а не 2x1, и матрицы будут , а не .

Можно записать это в матричной форме:

,

здесь подчеркнутые переменные – это векторы.

В нашем случае мы допускаем три элемента AR, так что конечное уравнение включает лишь два временных лага, точно так же, как и в упомянутом выше примере. Однако матрица - это матрица .

Число отдельных векторов коинтеграции переменных определяется рангом матрицы . Если ранг равен (), то существует векторов коинтеграции.

В случае существования векторов коинтеграции может быть разложена на две матрицы - и . Назовем эти матрицы и , и будет их произведением, т.е. . Ряды таковы, что для каждого ряда , будет I(0). Ряды матрицы и формируют векторы коинтеграции. Таким образом, получаем:

.

будет I(0)-вектором порядка , если существует векторов коинтеграции. Опять-таки матрица представляет скорость приведения к равновесию.

МНК не подходит для определения векторов коинтеграции в условиях многих переменных. Более подходящий тест составляющих векторов коинтеграции – это вероятностное соотношение Йохансена, или тест “следа” - (“trace” test) (Йохансен, 1988; Йохансен и Кэтрин Йезулиус, 1990), который привлекает модель исправления ошибок для определения независимых векторов коинтеграции и для проверки их стационарности в пределах матрицы .

Процедура Йохансена имеет две функции. Первая – определение числа векторов коинтеграции в группе временных рядов, вторая – обеспечение оценок максимального правдоподобия векторов коинтеграции и векторов скорости приведения.

Для иллюстрации использования теста коинтеграции в рядах многих переменных и оценки модели исправления ошибок мы выбрали ежедневные курсы фунта стерлингов и гонконгского доллара (HK$), малайского доллара (MD), тайского бхата (TB) и филиппинского песо (FP) за 1991-1995 годы включительно.

Первая стадия – это проверка интегрирования рядов обменных курсов, являются ли они рядами I(1). Здесь мы применим расширенный критерий Дики-Фуллера, где допускается тренд.

Мы должны отбросить нулевую гипотезу о нестационарности, если статистический критерий будет иметь большее отрицательное значение, чем критическое. Поскольку критическое значение равно –3,4168, то мы можем заключить, что данные ряды I(1).

Вторая стадия – это проверка ранга матрицы . Так как у нас четыре валюты, то может быть не более трех векторов коинтеграции. Процедура тестирования заключается в следующем. Сначала проверяется нулевая гипотеза о том, что существует один вектор, затем гипотеза о двух векторах и т.д. Мы отвергаем нулевую гипотезу, что - число векторов коинтеграции – меньше чем , если значение статистического критерия больше указанного критического значения . Детали по использованию критерия “следа” по данным четырем валютам приведены в таблице.

Для определения количества векторов коинтеграции в рядах динамики мы сначало проверяем нулевую гипотезу, что не существует векторов коинтеграции, т.е. , против альтернативной гипотезы, что существует один такой вектор. Мы должны отвергнуть нулевую гипотезу, так как рассчитанное значение критерия равно 62,1827 против критического значения 47,2100, откуда делаем выводы о том, что существует один вектор коинтеграции. Затем проверяем гипотезу, что существует один вектор против альтернативной гипотезы о том, что существуют два вектора коинтеграции. Здесь рассчитанный критерий меньше критического значения, и мы принимаем нулевую гипотезу. То же самое и в случае с альтернативной гипотезой о трех и четырех векторах. Таким образом, мы заключаем, что существует один вектор коинтеграции.

Затем приводим матрицу в таблице ниже.

Это матрица может быть разложена на матрицу оценок векторов коинтеграции, заданную вектором 1x4 в табл. ниже и на вектор параметров приведения, заданных вектором 4x1 в табл. ниже.

Произведение стандартизованных переменных в векторе 4x1 и стандартизованных переменных в векторе 1x4 дает матрицу 4x4 как показано в табл. выше.

Умножая члены вектора соответствующих прошлых изменений 1x4 на нестандартизованные члены вектора 4x1, получаем следующее выражение :

.

§2.3.4. Модель исправления ошибки.

Грейнджер (Granger, 1986) и Ингл и Грейнджер (Engle and Granger, 1987) показали, что если переменные коинтегрированы, то в них включается модель исправления ошибки. Эта модель описывает процесс, в ходе которого переменные I(1) в случае отклонения возвращаются к равновесию. Например, рассмотрим отношение между курсами двух валют. В течение короткого промежутка времени предпочтения инвесторов могут заставить одну валюту возрасти относительно другой. В другой момент времени другая валюта может быть более привлекательной. В обоих случаях валютные курсы отходят от равновесного положения. Однако рыночные силы заставят их вернуться к долгосрочному равновесию. В нашем примере если валюта становится слишком сильной, то политическое и экономическое давление может привести к понижению уровня процентных ставок в соответствующей стране. Если же валюта чрезмерно ослаблена, то процентные ставки в соответствующей стране могут возрасти или экспорт из этой страны возрастет, а импорт сократится до того уровня, пока долгосрочное равновесие снова установится. Модель процесса возврата называется моделью исправления ошибки.

Теперь должно быть ясно, почему коинтеграция в рядах динамики подразумевает модель исправления ошибок. Переменная должна быть стационарной, если переменные I(1) коинтегрированы. Для того чтобы быть стационарной, должна колебаться вокруг постоянного среднего значения с постоянной дисперсией. Это подразумевает, что в случае отклонения и от равновесного соотношения должны существовать силы (процесс исправления ошибки), приводящий и к равновесию. Отсюда мы видим, что модели исправления ошибки моделируют коинтегрированный процесс и по сути включены в формальный результат, известный как представительная теорема Грейнджера (которая будет рассмотрена ниже).

Регрессия полезна, когда анализируются только два ряда, потому что в этом случае может быть не более одного коэффициента коинтеграции. Ингл и Грейнджер (1987) разработали двухстадийный процесс оценки модели исправления ошибки.

Первая стадия – оценка регрессии коинтеграции временных рядов, как описано выше.

Вторая стадия – построение следующей модели исправления ошибки

;

,

где и .

Таким образом, мы можем использовать МНК для оценки текущих и от прошлых наблюдений и , а также значение коинтегрированной переменной.

В случае многих переменных может быть больше одного вектора коинтеграции. Следовательно, нужна методология, которая бы определила структуру всех векторов коинтеграции. Как говорилось выше, такой процесс был разработан Йохансеном (1988) и Йохансеном и Кэтрин Йезулиус (1990). Он определяет множество временных рядов в качестве векторного авторегрессионого (VAR) процесса. Модель исправления ошибок разрабатывается следующим образом.

Для рассмотрения этой разновидности модели исправления ошибки возьмем в качестве примера двухфакторный векторный процесс (AR3) (т.е. такой, в котором значения переменных представляют собой линейную комбинацию последних трех наблюдений). Это может быть записано таким образом

Это достаточно сложное уравнение может быть выражено в матричной форме

,

где - это матрицы 2x2. Например, - это матрица следующего вида:

.

Для анализа мы должны преобразовать

,

в первые разности, т.е.

.

Далее мы должны преобразовать модель через разности. Это можно сделать следующим образом.

Во-первых, мы вычитаем

из обеих частей уравнения, преобразуя левую сторону уравнения в разности, учитывая, что

.

При этом получаем:

.

Учитывая, что - это матрицы 2x2, мы можем преобразовать это выражение следующим образом:

,

Открывая скобки, получаем:

,

и группируем члены с общими множителями, например

.

В результате получим выражение

.

Схожая процедура применяется по отношению к матрице . В результате получаем

.

Как мы уже говорили выше, полученная матрица - это матрица 2x2, обозначим ее . Матрицу обозначим и матрицу - . В результате имеем

.

Мы видим, что VAR – процесс уровней рядов – может быть записан как VAR – процесс разностей за исключением одного члена

.

Ранг матрицы дает число векторов коинтеграции в рядах динамики (ранг матрицы – это число линейно независимых рядов). Таким образом, ранг матрицы говорит о том, что следует делать. Если имеет нулевой ранг, то матрица - нулевая, и мы по сути имеем VAR – процесс в ряде разностей. Это показывае, что коинтеграции в рядах данных нет, и для достижения стационарности требуется нахождение разностей.

Если матрица - полная, то ряды уже стационарны (матрица имеет обратную, и, таким образом, выражение может быть решено для уровней, выраженных в разностях. Это будет верным только, если ряды уровней I(0)).

Если ранг лежит между 0 и (, в нашем случае ), то существует векторов коинтеграции. Эти векторы описывают долгосрочные равновесные соотношения переменных. Модель исправления ошибки включает в себя краткосрочные изменения, которые поддерживают долгосрочное равновесие.

Чтобы лучше понять это, разложим матрицу на матрицы и :

.

Так что

.

Если

,

стационарно, то существует коинтеграция, и интерпретируются как скорость приведения процесса к равновесию.

Таким образом, модель исправления ошибок будет

,

где является I(0).

Наиболее точное образование матрицы получается при методе наибольшего правдоподобия Йохансена (1988) и Йохансена и Кэтрин Йезулеус (1990), который применяется к коинтеграции нескольких временных рядов.

§2.4. Метод Йохансена.

§2.4.1. Теорема Грэнджера о представлении.

В этом разделе с математической точки зрения будут изучены свойства авторегрессионных процессов, в особенности, модели исправления ошибок, в связи с вопросами интеграции, коинтеграции и общих трендов. Результаты собраны в теореме.

Будут рассматриваться только авторегрессионные процессы, поскольку они представляют естественную область для статистического анализа. В гауссовском случае такие процессы легко оцениваются, и их свойства хорошо изучены.

И так, рассмотрим авторегрессионую модель общего вида для p-мерного процесса , определенного уравнениями

, , (1)

где , () – независимые p-мерные переменные с нулевым средним и матрицей ковариаций . Значения фиксированы.

Есть множество примеров, которые показывают, что даже простой авторегрессионный процесс с лагом 1 может порождать процесс, который становится стационарным только после взятия вторых разностей. Поэтому есть необходимость в теореме, которая давала бы точное условие принадлежности авторегрессионого процесса классу I(1).

Как обычно, свойства прцесса описываются характеристиками матричного многочлена . Обозначим через детерминант и введем матрицы и . Всюду далее мы будем предполагать, что выполнено следующее предположение:

Предположение 1. Произвольный корень уравнения

лежит вне круга или равен единице.

Нашим первым результатом будет классическое условие стационарности процесса.

Теорема. Если процесс задан посредством (1) и выполнено предположение 1, то будет I(0)-процессом при некотором начальном распределении тогда и только тогда, когда матрица имеет полный ранг, т.е. когда все корни отличны от 1. В этом случае имеет представление

,

где коэффициенты определяются соотношением , для некоторого .

Из этого утверждения следует, что если все корни лежат вне единичного круга, то процесс, порожденный (1), будет стационарным или, точнее, может быть сделан стационарным путем подходящего выбора начального распределения. Поэтому для нестационарности нужно, чтобы корни были расположены иначе.

В случае, когда некоторые из корней могут быть равны единице, можно получить представление другого вида; соответствующий результат известен как теорема Грэнджера о представлении. Предварительно введем следующее обозначение: для произвольной () матрицы ранга через будет обозначаться такая ()-матрица полного ранга, что . Теперь мы в состоянии сформулировать теорему.

Теорема. Если процесс задан посредством (1) и выполнено предположение 1, то будет класса I(1) в том и только том случае, если

, (2)

где ()-матрицы имеют полный ранг и матрица

имеет полный ранг. (3)

В этом случае процессам и может быть дано такое начальное распределение, что они будут принадлежать классу I(0).

Процесс имеет представление

, , (4)

и удовлетворяет уравнениям коррекции ошибки в усеченном виде:

, . (5)

Следовательно, коинтегрирующие векторы суть , а общие тренды .

§2.4.2. Теоретические выкладки метода.

Если модель (1) описывает I(1)-процесс, обладающий коинтеграцией, то параметры должны подчиняться условиям (2), (3) и предположению 1. Это предположение, состоящее в том, что корни должны лежать вне единичного круга или равняться единице, очень трудно проверять аналитически. К счастью, редко бывает так, что корни попадают внутрь круга, и даже, если так получилось, то важнее знать, где именно они находятся, чем отодвигать их за границу круга. Мы не будем связывать параметры модели условиями предположения 1, а будем проверять его выполнение с помощью оценок. Условию (3) удовлетворить легко, так как матрицы полного ранга плотны в пространстве всех матриц, и даже без предположения о том, что имеет полный ранг, полученная оценка будет иметь полный ранг с вероятностью 1. Таким образом, в описание модели включено только условие (2) .

Определение. Усеченная модель коррекции ошибок описывается уравнениями

, , (6)

где и есть ()-матрицы, независимы и имеют нормальное распределение , а переменные - детерминированные члены. Параметры () могут выбираться произвольно.

Заметьте, что параметры модели не определены, так как для любой ()-матрицы полного ранга будет , однако можно получить оценки для подпространств, порожденных и соответственно.

Таким образом, задача коинтеграционного анализа формулируется как задача построения статистического вывода для коинтеграционного пространства и регулирующего пространства . Если мы желаем оценить отдельные коэффициенты, то нужно пронормировать или наложить другие ограничения, чтобы параметры определялись однозначно.

Заметьте, что мы добавили условие, что ошибки имеют нормальное распределение, с тем, чтобы иметь дело с функцией правдоподобия. В этом варианте модели мы допускаем также постоянные слагаемые – сезонные компоненты и другие. Для асимптотического анализа потребуется несколько большая аккуратность (смотрите раздел асимптотическая теория). Процесс, определяемый уравнением (6), содержит детерминированные компоненты. Определения свойств I(0) и I(1) относятся только к стохастическим составляющим процесса. В общем случае мы говорим, что есть I(0), если удовлетворяет определению выше. В частности, тренд-стационарный процесс с нулевой С-матрицей будет I(0)-процессом. Аналогично, I(1)-процесс будет называться коинтеграционным, если может быть сделан тренд-стационарным за счет подходящего выбора .

Условие иногда понимают как условие существования ()-кратного единичного корня, но мы будем представлять его себе как условие существования (по меньшей мере) коинтегрирующих соотношений. Таким образом, наша модель является подмоделью авторегрессионой модели общего вида, получающейся в предположении неполного ранга коэффициентной матрицы уровней .

Теперь мы можем рассмотреть вложенную последовательность гипотез

,

где проверка в предположении будет проверкой того, что имеется (самое большое) коинтеграционных соотношений. Таким образом, - это просто векторная авторегрессионая модель для в разностях, - авторегрессионая модель без ограничений для в уровнях, а промежуточные модели позволяют использовать информацию из матрицы неполного ранга . Стандартный способ исследования нестационарных процессов состоит в том, чтобы последовательно брать разности с помощью авторегрессионной модели. Заметьте, что такая модель будет как раз удовлетворять гипотезе , адекватность которой может быть проверена, если исходить из общей модели .

После того, как ранг коинтеграции найден, мы в состоянии проверять гипотезы относительно коэффициентов и , и сейчас мы рассмотрим примеры таких гипотез. При работе с моделями такого типа очень важно найти достаточно большое множество моделей, которые можноисследовать аналитически и которые удовлетворительным образом описывали бы данные. Все модели определяются заданием тех или иных ограничений на параметры модели .

Предположение о том, что в коинтеграционные соотношения могут входить только определенные данные, соответствует гипотезе с ограничениями, которое может быть выражено через непосредственную параметризацию

, (7)

где известно, а неизвестно. Эта гипотеза относительно не зависит от того, определяется ли однозначно, так как одно и то же ограничение налагается на все соотношения. Если оно удовлетворяет (7), то ему так же будет удовлетворять для любой ()-матрицы . Следовательно (7) является проверяемой гипотезой на коинтеграционном пространстве, и ее можно сформулировать как

.

Гипотезу о том, что некоторые из коинтегрирующих векторов известны (и равны, например, и ) можно сформулировать так:

, (8)

где известно, неизвестно и . В частности, это означает, что условие стационарности некоторой компоненты может быть записано в виде (8) с единичным вектором . Следовательно, стационарность одной из компонент есть специальный случай коинтеграции. Заметьте, что (8) может быть записано в виде

.

Линейная гипотеза более общего вида может, например, при , сформулирована так:

, (9)

где известны, неизвестны и .

При постановке задачи, и следовательно, при выборе переменных вида ожидаемых экономических связей используются понятия экономики. Затем применяется статистическая модель для описания нестационарной статистической вариации данных. Коинтеграционные соотношения используются как инструмент для выявления долговременных экономических соотношений, после чего проверяются различные гипотезы с учетом статистической вариации данных. Для интерпретации интеграционных соотношений необходимо глубокое понимание соответствующих вопросов экономики.

Далее мы кратко опишем регрессионный метод нахождения коинтеграционной связи, а затем покажем, как с помощью анализа гауссовской функции правдоподобия можно решать задачи оценки для различных гипотез, рассмотренных выше.

Проверенный временем метод нахождения линейных соотношений между двумя переменными и состоит в том, чтобы взять регрессию на , а затем исследовать свойства оценки в различных предположениях относительно процесса. Трудность здесь заключается в том, что, коль скоро регрессор является, вообще говоря, нестационарным процессом, для оценки не выполнено обычное свойство асимптотической нормальности.

Оказалось, однако, что предельное распределение оценки регрессии, равно как и оценок главных компонент и канонических корреляций уровней, устроено очень сложно, и это затрудняет статистические выводы и проверку гипотез. Есть способы исключения параметра помех за счет видоизменения метода регрессии. Еще один способ модифицировать обычный метод наименьших квадратов – анализировать гауссовскую функцию правдоподобия и использовать ее в качестве инструмента для получения оценок при различных гипотезах, рассмотренных выше. Можно ожидать, что если оценка имеет простое предельное распределение, то она будет оценкой максимума правдоподобия. Аналогично, следует ожидать, что статистика критерия отношения правдоподобия будет иметь простое предельное распределение, даже при том, что мы получаем - распределение только в части случаев. Таким образом, выше проведено достаточно подробное обсуждение модели и гипотез, и мы переходим к статистическим выводам, основанным на гауссовском правдоподобии для модели коинтеграции.

Модель (6) порождает задачу регрессии с неполным рангом, и ее можно решить, сведя к задаче на собственные значения. Решение было получено в регрессионном контексте и выглядело следующим образом.

Сначала мы исключаем параметры , взяв регрессию и на . Пусть остатки есть, соответственно, и . Затем образуем суммы квадратов и произведений

, .

Тогда функция правдоподобия, максимизированная по параметрам и имеет вид

.

Ее минимум по находится решением задачи на собственные значения

. (10)

Решая это уравнение, получаем собственные значения и собственные векторы , удовлетворяющие соотношениям

,

и

.

Тогда оценка максимума правдоподобия для есть

. (11)

Оценка для есть

,

а максимизированная функция правдоподобия есть

. (12)

Величину можно интерпретировать как квадрат условной канонической корреляции между и при условии . Следовательно, оценки “наиболее устойчивых” соотношений между уровнями выделяются тем, что они более всего коррелируют со стационарным процессом , в который внесены поправки на запаздывающие разности и детерминированные члены.

Поскольку без дополнительных предположений можно определить только , реально в качестве оценки для пространства коинтеграции получается линейная оболочка первых собственных векторов. Это можно заметить из того, что если задается (11), то для любой ()-матрицы полного ранга также будет максимизировать функцию правдоподобия.

Изложенная конструкция дает решение для задачи оценки моделей . Сравнивая правдоподобия (12), можно проверить гипотезу относительно , т.е. проверить коинтеграционных соотношений с помощью статистики отношения правдоподобия

.

И так, мы видим, что многие интересные гипотезы могут быть проверены, если в нашем распоряжении есть программа решения задачи на собственные значения, и если мы умеем проделывать основные действия с матрицей ковариаций, а именно: маржинализацию (трансформацию) и обуславливание. Программы, позволяющие все это делать, есть в пакетах RATS и GAUSS; кроме того, соответствующие процедуры реализованы в пакетах PC-GIVE и MICROFIT.

§2.4.3. Асимптотическая теория.

В этом разделе дадим краткое описание асимптотической теории статистических критериев и оценок и обсудим вопрос, как полученные результаты можно применить для получения статистических выводов относительно ранга коинтеграции и коинтегрирующих векторов.

Причина того, что статистические выводы для стационарных процессов привлекают в настоящее время интерес большого числа исследователей, состоит в том, что эти задачи нестандартны в том отношении, что оценки не являются асимптотически нормальными, а статистические критерии – асимптотически не .

Рассмотрим в качестве примера простую модель авторегрессионного процесса порядка 1

,

где - независимые нормально распределенные переменные с нулевым средним и дисперсией . В качестве нулевой гипотезы берется предположение , из которого следовало бы, что есть случайное блуждание, т.е. нестационарный процесс. В числе прочих результатов Дики и Фулер установили, что при получается нестандартное предельное распределение, которое можно записать как

,

где - броуновское движение на , а стохастический интеграл может быть вычислен так: . Подразумевается, что статистика критерия отношения правдоподобия асимптотически распределена как

.

Это распределение часто называют “распределением единичного корня” Дики-Фуллера, а его многомерный вариант играет важную роль в асимптотическом статистическом выводе для коинтеграции. Далее мы изложили основные результаты, касающиеся статистических выводов правдоподобия.

Теорема. В модели с и коинтеграционными соотношениями статистика отношения правдоподобия (17) удовлетворяет соотношению

.

Процесс есть -мерное броуновское движение с единичной матрицей ковариаций. Поэтому предельное распределение определяется только числом общих трендов задачи. Ясно, что оно является обобщением на многомерный случай распределения единичного корня. Это неудивительно, так как можно считать, что проверка гипотезы в одномерной модели – это проверка на отсутствие коинтеграции, т.е. того, что при и .

Хотя предельное распределение в теореме зависит только от числа степеней свободы, или размерности броуновского движения, оказывается, что если в модели допускается постоянный или линейный член, то предельное распределение меняется. В связи с этим возникают дополнительные трудности.

При этом, однако, для всех других статистических критериев для и , которые были описаны ранее, вполне достаточно иметь асимптотически -распределение. Следовательно, критерием ранга коинтеграции будет только нестандартный критерий. Причина этого в том, что асимптотическое распределение для оценки будет смешанным нормальным распределением

§2.4.4. Алгоритмическое описание метода.

В интересах доступности изложения в общей модели, приведенной в главе, отсутствует стохастический элемент. Уравнение, например, должно выглядеть так:

(13)

в этом уравнении является вектором.

Предполагается, что компоненты независимы и подчиняются нормальному распределению с неизвестными дисперсиями. Таким образом, функция правдоподобия будет функцией от этих неизвестных дисперсий вместе с элементами матриц и .

Теоретически мы должны раскрыть уравнение (13) для получения точного выражения компонентов , выраженных в тех же параметрах, и отсюда построить и максимизировать функцию правдоподобия. На практике это было бы довольно сложно и эффективнее будет использовать для достижения этого матричную алгебру. Для этого был разработан порядок Йохансена.

В регрессионном анализе мы стараемся смоделировать зависимую переменную как линейную комбинацию совокупности независимых переменных. Наша задача состоит в том, чтобы выбрать “лучшую” линейную комбинацию, которая достигнет наилучшего соответствия моделируемых значений наблюдаемым. Когда же сами независимые переменные являются неизвестными линейными комбинациями других переменных, тогда нам нужно воспользоваться каноническим анализом.

В нашем анализе многофакторной коинтеграции мы показали, что при помощи простых алгебраических действий можно выразить векторный авторегрессионный процесс в следующем виде

. (14)

Мы сказали, что если имеет полный ранг, мы можем найти решение для . Это будет значить, что составляющие являются I(0), поскольку будут выражены в виде разностей. Но это противоречит первоначальному предположению, что они I(1). Это значит, что составляющие в действительности являются стационарными, что для найдены изменения разности и что правильная модель – это VAR-модель в уровнях.

Мы сказали, что если ранг равен нулю, то мы имеем VAR в разностях – стандартный подход к моделированию нестационарного процесса.

Отсюда мы заинтересованы в рассмотрении возможности того, что ранг не является ни полным, ни нулевым. Это говорит о существовании коинтеграции. Проблема заключается в том, что в условиях белого шума мы не будем знать точного ранга . Таким образом, мы должны построить статистическую процедуру оценки матрицы и ее компонентов ( и ) и ассоциированный критерий ее ранга.

Одна из таких процедур была разработана Йохансеном (1988). Согласно этому методу уравнение (14) запишется следующим образом:

. (15)

В этой форме, при том что члены белого шума для удобства опущены, мы видим, что надо выразить линейную комбинацию и через линейную комбинацию предыдущих разностей.

Если бы мы знали , то мы могли бы регрессировать по и для того, чтобы найти , чтобы найти (это подразумевает отдельные регрессии для каждого компонента). Мы, таким образом, могли бы проверить несколько предполагаемых матриц и выбрать те, к которым конечные регрессии подходят лучше всего. Это получается, когда линейные комбинации, представляющие правую и левую стороны уравнения (15), имеют наивысшую корреляцию, так что анализ называется канонической корреляцией, а регрессии – каноническими.

Как видим, философия этого метода схожа с философией метода максимального правдоподобия. В этом контексте параметры (элементы матрицы ) выбираются таким образом, что максимизируют не функцию правдоподобия, а функцию корреляции.

Конечно, мы не обязаны делать повторные предположения относительно . Мы можем использовать оценки максимального правдоподобия для регрессий. Подробности алгебраических действий были бы совершенны излишни в этом тексте, но общий план рассуждений таков:

1. Регрессируйте по предыдущим разностям и запишите остатки ;
2. Регрессируйте по предыдущим разностям и запишите остатки (в нашем примере );
3. Постройте четыре матрицы

 



 

4. оцените , заданную
5. собственные векторы матрицы являются решениями уравнения , где вертикальная черта значит “определяющий”;
6. квадраты канонических коэффициентов корреляции, которые незначимо отличаются от нуля, показывают сниженный ранг Р. Таким образом, критерий ранга Р основывается на проверке наименьших коэффициентов из ранжированного ряда, или на сумме наименьших;
7. оценками векторов коинтеграции являются соответствующие собственные векторы ;
8. как только известна оценка матрицы , при помощи МНК можно получить оценки

.

Глава 3. —

------------------------------------------------------------------------------------

Пропущено.

Глава отражает специфические требования НГТУ [НЭТИ], и не содержит информации собственно по теме работы.

------------------------------------------------------------------------------------

Глава 4. Практическое использование метода Йохансена.

Целью данной главы является иллюстрация использования теста коинтеграции в рядах многих переменных.

Для оценки отношений коинтеграции нами были выбраны индикаторы “Росийской торговой системы” и показатели валютных курсов. Кроме того, выбранный для анализа временной период для анализа в первом случае, соответствует 1апреля 1997 года по 1 сентября 1998 года. Данный момент времени приходится на период кабинета министров Кириенко С., который был отправлен в отставку в полном составе после событий 23 августа 1998 года.

К началу 1997 года стало ясно, что время для обобщающего исследования финансового рынка, наконец, пришло. Денежная стабилизация, наконец, состоялась. Президентские выборы 1996 года способствовали продвижению России к стабильности политической. Сформировались и стали неотъемлемой частью российской хозяйственной жизни финансовые рынки - важнейший атрибут современной рыночной экономики. В силу всего выше сказанного нас заинтересовал для анализа именно данный этап развития экономики России.

§1. Описание данных.

Одним из показателей для анализа был взят индекс РТС — официальный индикатор Российской торговой системы.

Для того чтобы исключить возможные зависимости между значениями переменной, произведен переход от их абсолютных значений к натуральным логарифмам.

Расчет индекса ведется с 1 сентября 1995 года ежедневно. В разработке методики расчета индекса РТС, основанной на информации о сделках по наиболее ликвидным акциям, принимают участие ведущие аналитики компаний — профессиональных участников рынка ценных бумаг. С января 1998 года Индекс РТС рассчитывается каждые полчаса торговой сессии, начиная с 12:00 и заканчивая в 18:10 (в 18:00 индекс не рассчитывается). Значение индекса на 18:10 является значением закрытия. Соответственно значение индекса на 12:00 — это значение открытия.

Индекс рассчитывается в двух значениях — валютном и рублевом. Рублевые значения являются вспомогательными и определяются на основе валютных значений. Индекс (валютное значение) на расчетное время () рассчитывается как отношение суммарной рыночной капитализации акций ( - стоимость чистых активов), включенных в список для расчета индекса, к суммарной рыночной капитализации этих же акций на начальную дату (), умноженное на значение индекса на начальную дату ():

,

где - сумма рыночных капитализаций акций на текущее время в долларах США:

,

где - количество акций соответствующего наименования, выпущенных эмитентом на текущую дату, - цена i-той акции в долларах США на расчетное время t, - число наименований акций в списке, по которому рассчитывается индекс.

Рублевое значение индекса РТС () определяется как произведение валютного значения индекса на коэффициент, рассчитанный как отношение текущего значения курса рубля () к начальному значению ():

.

Начальное значение индекса: 100 на 1 сентября 1995 года, . С 5 января 2000 года используются следующие начальные параметры: , . Цена i-той акции на момент времени T рассчитывается одним из следующих способов:

1. Если за расчетный период времени в торговой системе было заключено n сделок с i-той акцией, то

,

где - цена k-той сделки по i-той акции, - объем k-той сделки по i-той акции.

2. Если за расчетный период времени в торговой системе не было заключено ни одной сделки с i-той акцией, но за последние десять торговых дней сделки заключались и рассчитывалась цена согласно п.1, то в качестве цены i-той акции используется последнее рассчитанное значение (на момент времени t-1):

.

3. Если в торговой системе не было заключено ни одной сделки в течение последних десяти торговых дней, то в качестве цены используется цена лучшего предложения на покупку:

.

4. Если в торговой системе не было заключено ни одной сделки в течение последних десяти торговых дней, а также нет и котировок на покупку, то в качестве цены используется последняя зафиксированная цена лучшего предложения на покупку:

.

Список акций для расчета индекса (Приложение 1) состоит из акций, входящих в котировочные листы первого и второго уровней, а также акций, отобранных Информационным комитетом на основе экспертной оценки.

Список для расчета индексов РТС может пересматриваться не чаще, чем один раз в три месяца. При принятии решения о составе списка исследуются характеристики акций за три календарных месяца. В список для расчета индексов включаются акции, входящие на конец исследуемого периода в котировочные листы первого и второго уровней и акции, отобранные на основе экспертной оценки. Изменения в списке вступают в силу через месяц после окончания исследуемого периода.

При изменении списка акций на n-дату индекс рассчитывается с использованием капитализации () по новому списку. Для предотвращения скачка, обусловленного расчетами по новому списку, производится расчет капитализации () по новому списку на (n-1)-дату. Значение используется в дальнейшем в качестве капитализации начального дня (), а в качестве значения индекса на начальную дату () — значение индекса предыдущей даты ().

.

При анализе рассматриваются валютные значения индекса на момент закрытия (Приложение 2).

Также в работе применяется индекс американского фондового рынка Dow Jones, предложенный в 1896 г. американскими учеными Ч.Ч. Доу и Э.Д. Джонсом. Сначала он вычислялся как среднее арифметическое котировок 12 крупнейших компаний (складывались цены акций 12 компаний, и затем просто делились на 12). В результате значение индекса выражается не долларами, а пунктами. Формула расчета индекса Доу Джонса оставалась прежней до 1916 года, когда редакторы журнала "The Wall Street Journal", создавшие и рассчитывающие данный показатель, расширили его исходные значения, и индекс стал рассчитываться на основе котировок акций 20 компаний.

В 1928 году, индекс начал рассчитываться на основе котировок 30 компаний, а в качестве делителя, для того, чтобы придать индексу большую стабильность, использовалось не число компаний, а коэффициент, учитывающий многократное дробление акций (сплит) эмитентами, много раз происходившее с 1928 г. Дробление акций происходит, когда компания аннулирует свои старые акции, и эмитирует большее количество новых акций по более низким ценам. К примеру, при дроблении одной акции на две, цена сокращается на половину, а количество акций увеличивается вдвое. Дробление создает впечатление, что акции можно купить дешевле, за счет чего на них повышается спрос. Спустя годы в результате многочисленных дроблений акций в 1986 году делитель упал ниже единицы, а сейчас он составляет всего 0,225. Итак, если значение индекса Доу Джонса составляет 10`000, это означает, что цены акций всех 30 компаний достигли 2,250 долл. Делим 2,250 долл. на 0,225, получаем 10`000. Используя подобную математику, каждый раз, когда акции одной из 30 компаний перемещаются вверх или вниз на 1 долл., Доу Джонс перемещается на 4,5 пункта в том же направлении. Несмотря на название "промышленный", в состав этого индекса сейчас входят три компании сферы услуг и три банка. Изменения в списке акций, входящих в расчет Dow Jones происходят нечасто. С 1 ноября 1999 года индекс претерпел существенные изменения. В него вошли акции четырех новых компаний, среди которых компьютерные гиганты Microsoft и Intel. В свою очередь, акции четырех компаний, включенные в индекс еще в 1920 году, выбыли из списка. Предпоследнее изменение произошло в 1997 году, когда вместо четырех старых компаний в список были включены Hatwlett-Packard, Johnson& Johnson, Wal-Mart и Citigroup. Поскольку акции новых компаний являются гораздо более динамичными, то, как и предсказывали аналитики, это вполне может привести к увеличению колебаний индекса, что собственно и происходит в последнее время. Кстати, новички индекса нарушили два неписаных правила. С одной стороны, акции Microsoft и Intel, в отличие от всех других включенных в индекс бумаг, торгуются в NASDAQ и не представлены на Нью-Йоркской фондовой бирже NYSE. С другой стороны, возраст компаний Microsoft и Home Depot составляет всего 24 и 20 лет, поэтому для индекса Dow Jones они очень "молоды".

§2. Расчеты коинтеграционного анализа.

Формирование мирового рынка капитала и втягивание emerging capital markets в его орбиту неизбежно порождают сходные черты в движении биржевых индексов. Поэтому вызывает интерес вопрос о тесноте связи между движением российских биржевых индексов. При оценке указанных зависимостей, неизбежно возникает проблема нестационарности соответствующих динамических рядов. Для анализа соотношений, складывающихся между тенденциями движения фондовых индексов используем методы коинтеграционного анализа.

Ниже рассматриваются, в частности, взаимосвязи российского индекса РТС с итогами торгов в РТС следующих компаний:

• ЛУКойл
• Татнефть

Все расчеты приводятся в графиках и таблицах.

Процедура анализа будет предполагать следующие шаги. Сначала все данные исследуются на наличие единичных корней при помощи расширенного теста Дики-Фуллера. Затем, в случае если все исследуемые временные ряды будут являться интегрированными одного порядка, будем пытаться установить коинтеграционную связь. Однако, хотелось бы отметить, что интегрированность данных не влечет за собой коинтегрированности.

Приведем график, изображающий динамику развития исследуемых показателей российского финансового рынка.

По результатам теста Дики-Фуллера на интегрированность (где в качестве нулевой гипотезы выступает гипотеза о наличии единичного корня), для всех рядов наблюдается интегрированность первого порядка I (1) при уровне значимости 95%. В таблице 1 приведены результаты теста, которые мы должны интерпретировать также как это было сделано в примере параграфа 2.3.3.

Таблица 1.

Ниже дана таблица, содержащая результаты применения метода Йохансена (без линейных ограничений) проверки на коинтеграцию (Таблица 2). Кроме того приводятся вычисленные собственные значения и соответствующие собственные вектора. Приведенные данные говорят о том, что нельзя отвергнуть гипотезу об отсутствии коинтеграции между рядами на всем интервале на уровне значимости 95%. Другими словами, тенденции движения рассматриваемых индексов существенно различаются между собой.

Таблица 2.

Результаты теста Йохансена на
коинтеграцию рядов индексов РТС, LKOH и TATN
(в логарифмах; период 01.04.1997-01.09.1998; 357 наблюдений).

Matrix Skk:

17.26235E-002 88.83958E-002 18.17618E-002

88.83958E-002 59.26236E-001 96.54973E-002

18.17618E-002 96.54973E-002 20.21230E-002

Matrix SkoSooInvSok:

35.83681E-004 26.43438E-003 38.10551E-004

26.43438E-003 21.64225E-002 29.72691E-003

38.10551E-004 29.72691E-003 42.25511E-004

Generalized Eigenvalues of Sko[Soo^-1]Sok w.r.t. Skk:

42.33264E-003 16.75347E-003 23.65907E-004

Corresponding Eigenvectors:

10.00000E-001 10.00000E-001 -32.55209E-002

-20.43219E-002 -79.51543E-004 -96.45129E-003

-37.09885E-002 -78.36226E-002 10.00000E-001

Индексы, построенные для одного и того же рынка, всегда сильно коррелированны - независимо от выборок или способов усреднения рост рынка вызовет рост любого индекса. Однако скорость изменения разных индексов может существенно отличаться, на коротких периодах могут возникать дивергенции и т.п. Расхождения индексов часто используются для предсказаний, например если новый максимум индекса "голубых фишек" не подтверждается новым максимумом более широкого индекса, на рынке вероятно падение. Глобализация инвестиционных процессов привела к корреляции индексов в разных странах, так что по поведению индексов США можно делать прогноз на изменение индексов, например, Германии, России и т.д.

Фондовый рынок вообще очень остро реагирует на любые экономико-финансовые новости как внутри, так и вне страны. А российский фондовый рынок в силу своей узости (80% оборота на российском рынке делают 2% участников, а в торгах в основном задействован все лишь, в лучшем случае, десяток наиболее ликвидных акций) и малых объемов (10-30 млн. долл.) находится в значительной зависимости от настроений западных инвесторов - даже заказ от нерезидентов на торгах в Российской торговой системе на сумму 10 млн. долл. способен встряхнуть рынок. Настроения же нерезидентов зависят в первую очередь от состояния мировых фондовых рынков.

Поэтому падение или стабилизация мировых фондовых индексов, а, в первую очередь, имеются ввиду американские фондовые индексы, оказывают достаточно сильное воздействие на динамику российского рынка и учитываются при оценке перспектив развития последнего. Например, в случае падения ценных бумаг high tech компаний, эксперты полагают, что даже если западные инвесторы не станут вкладывать в "старую экономику" изъятые из ценных бумаг "новой экономики" средства, начнется поиск новых высокодоходных рынков для вложения этих средств. И таким рынком может стать Россия.

Если посмотреть динамику самого популярного российского фондового индекса РТС, то видно, что он в определенной степени коррелирует с американскими фондовыми индексами. И практика это подтверждает - в наибольшей степени индекс РТС соотносится с индексами Standard&Poor's500 и Dow Jones. Для дальнейшего анализа были рассмотрены показатели индекса РТС и Dow Jones (DJI).

Результаты проверки на наличие единичных корней (таблица 3).

Таблица 3.

Таким образом оба временных ряда, используемых в исследовании являются интегрированными I(1) процессами. И мы можем перейти к анализу коинтеграции.

При анализе данных на всем временном участке были получены результаты, которые позволили сделать вывод об отсутствии коинтеграции (см. таблица 4). Однако, если рассматривать ряды в промежутке, где тенденция приближения к данным, характеризующим ситуацию 23 августа 1998 года, еще не проявилась достаточно четко, то можно увидеть, что ряды будут коинтегрированны (см. таблица 5).

Таблица 4.

Результаты теста Йохансена на
коинтеграцию рядов индексов РТС и DJI
(в логарифмах; период 01.04.1997-01.09.1998; 347 наблюдений).

Matrix Skk:

72.92493E-004 -15.73353E-003

-15.73353E-003 20.48128E-002

Matrix SkoSooInvSok:

15.75727E-005 -69.37406E-005

-69.37406E-005 42.71904E-004

Generalized Eigenvalues of Sko[Soo^-1]Sok w.r.t. Skk:

27.85419E-003 55.27855E-004

Corresponding Eigenvectors:

10.00000E-001 10.00000E-001

-17.82956E-002 19.32549E-002

Таблица 5.

Результаты теста Йохансена на
коинтеграцию рядов индексов РТС и DJI
(в логарифмах; период 01.04.1997-01.01.1998; 180 наблюдений).

Matrix Skk:

39.41006E-004 11.00538E-003

11.00538E-003 44.75042E-003

Matrix SkoSooInvSok:

12.12837E-005 26.46303E-005

26.46303E-005 20.07142E-004

Generalized Eigenvalues of Sko[Soo^-1]Sok w.r.t. Skk:

10.65331E-002 29.46431E-003

Corresponding Eigenvectors:

10.00000E-001 10.00000E-001

-32.88847E-002 86.60394E-003

Кроме этого рассмотрим обменные курсы валют USD, EURO и DM за период с 1 января 2000 года по 1 января 2001 года. В силу сложившейся экономической ситуации в нашей стране, где курс доллара играет важную роль, естественно сделать предположение, что между вбранными курсами существует коинтеграционная связь. Проверим это.

Таблица 6.

Таблица 7.

Результаты теста Йохансена на
коинтеграцию рядов USD, EURO и DM
(период 01.01.2000-01.01.2001; 251 наблюдение).

Matrix Skk:

13.97040E-002 45.53678E-002 23.27493E-002

45.53678E-002 27.09031E-001 13.84694E-001

23.27493E-002 13.84694E-001 70.77838E-002

Matrix SkoSooInvSok:

60.02665E-004 -46.38154E-004 -23.90011E-004

-46.38154E-004 53.69620E-003 27.47972E-003

-23.90011E-004 27.47972E-003 14.06859E-003

Generalized Eigenvalues of Sko[Soo^-1]Sok w.r.t. Skk:

48.47469E-002 14.95449E-002 11.56256E-003

Corresponding Eigenvectors:

-10.13411E-004 15.19009E-002 10.00000E-001

-51.09320E-002 -54.24843E-002 22.16548E-003

10.00000E-001 10.00000E-001 82.02441E-002

Ниже приводятся результаты проверки данных временных рядов на интегрированность. Согласно расширенному тесту Дики-Фуллера все данные интегрированны. Применение теста Йохансена дает заключение, что гипотезу о том, что размерность коинтеграционного пространства равна нулю, отвергается. Таким образом ряды коинтегрированны и наше предположение, сделанное выше подтверждается.

Заключение.

В последнее время вопросы долгосрочного равновесного отношения различных экономических показателей оказались в центре общественного внимания. Сложившаяся политическая и экономическая ситуация в стране за последнее десятилетие позволили разработать различные методы их изучения. Вот почему для нормального функционирования эконмики становится важным поиск новых методологий, которые можно применить к анализу российских показателей.

В работе рассмотрены основные аспекты анализа нестационарных данных. Приводится концепция коинтеграционного анализа, которая рассмотрена на базе метода Йохансена. Для достижения этоих целей были решены следующие задачи.

Во-первых, была изучена теоретическая сторона вопроса, касающегося коинтеграционного анализа, что включало просмотр и анализ имеющейся зарубежной и отечественной литературы по данной проблематике. Причем можно отметить, что достаточно полных работ по освещению метода Йохансена на русском языке практически нет. В данной работе была произведена попытка восполнить этот пробел.

Во-вторых, в работе были исследованы возможные схемы и подходы к анализу реальных экономических показателей российского финансового рынка, дано свое представление о сути и методике анализа.

В заключение отметим, что вне сомнения метод нахождения размерности коинтеграционного пространство, а также самих коинтеграционных векторв, в силу своей универсальности своей структуры , найдет достаточно широкое применение в практике статистических исследований для анализа динамики развития экономических показателей России.

Список литературы.

1. Кремер Н. Ш. " Теория вероятностей и математическая статистика ". Юнити Москва 2000
2. Магнус Я. Р., Катышев П. К., Пересецкий А. А. " Эконометрика начальный курс ". Дело Москва 2000
3. Холстед М. Х. " Начала науки о программах ". Финансы и статистика Москва 1981
4. Кайгородцев Г. И. " Программометрика. Конспект лекций. ". НГТУ Новосибирск 1998
5. Цыплаков А. А. " Некоторые эконометрические методы. Метод максимального правдоподобия в эконометрии. ". НГУ Новосибирск 1997
6. Уотшем Т. Дж., Паррамоу К. " Количественные методы в финансах ". Юнити Москва 1999
7. Каракин А. Е. " Макроэкономический анализ российской инфляции ". НГУ Новосибирск 1997
8. Johansen S. " Liklehood-based inference for cointegration of some nonstationary time series ".
9. Johansen S. " Statistical analysis of some nonstationary time series ". European University Institute Italy 1997
10. Johansen S. " Cointegration in the VAR model ". European University Institute Italy 1997
11. Johansen S. " Statistical analysis of cointegration vectors ". J. Economic Dynamics and Control, 1988
12. Engle R. F., Granger C. W. J. " Cointegration and correction representation, estimation and testing ". Econometrica, 1987
13. www.rts.ru
14. www.iet.ru
15. www.yahoo.com