Модели с авторегрессионной условной гетероскедастичностью

Текст представляет собой вольный перевод странички
http://faculty.washington.edu/rons/garch.html.

Происхождение аббревиатуры GARCH:
Generalized AutoRegressive Conditional Heteroskedasticity

Те, кто более детально хочет познакомится с GARCH процессами, может обратиться к

Time Series Analysis, Chapter 21, Section 2, by James D. Hamilton (ISBN 0-691-04289-6, Princeton U Press, 1994).

GARCH

Процесс GARCH(p,q) моделирует остатки в регрессии с временными рядами. Пусть регрессия имеет вид:

.

Остатки моделируются как

,

где

и где в стандартной модели GARCH

имеет плотность стандартного нормального распределения:

Кроме того, чтобы обеспечить стационарность, на коэффициенты налагают следующие ограничения:

Возможны и другие ограничения. Например, заменяя последнее ограничение на

получим модель IGARCH (интегрированный GARCH).

TGARCH

Пусть опять регрессия имеет вид:

.

Как и в случае процесса GARCH(p,q), в случае TGARCH(p,q) остатки моделируютс как

.

Вместо того, чтобы исходить из нормального распределения

, TGARCH исходит из t-распределения:

Дополнительный параметр, n, определяет платикуртозис, т.е. толщину хвостов распределения

SGARCH

Пусть опять регрессия имеет вид:

.

В случае процесса SGARCH(p,q) остатки моделируются как

где

и где пердполагается, что

имеет плотность стабильного распределения. Плотность стабильного распределени не поддается простому математическому описанию, поэтому вместо нее используют логарифм характеристической функции:

См.

W.H. DuMouchel, 1973, "Stable Distributions in Statistical Inference: 2. Information from Stably Distributed Samples," Journal of the American Statistical Association, 70:386-393.

Для GARCH

= 2. В модели SGARCH, однако, параметр

следует оценить.

В случае GARCH и TGARCH процессов значение дисперсии для нескольких первых (или довыборочных) наблюдений можно установить на уровне эмпирической дисперсии временного ряда, как предложил Тим Боллерслев:

Bollerslev, T., 1986, "Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity", Journal of Econometrics, 31:307-327.

Однако, в случае SGARCH эта процедура не подходит. Вместо этого по R начальным наблюдениям подбирают стабильное распределение, и полученный в результате масштабирующий параметр используют для того, чтобы задать начальные значени GARCH процесса.

GARCH-M

В модели GARCH-M непосредственно в уравнение регресии добавляется гетероскедастичность:

Эта новая компонента вводится для того, чтобы отразить влияние "волатильности" (изменчивости) временного ряда на зависимую прерменную. Предполагают, что

имеет нормальное распределение, хотя можно использовать стабильное или же t-распределение.

Материалы по GARCH-моделям
На начальную страницу