Роберт Ф. Энгл
Robert F. Engle
University of California, San Diego and N.B.E.R.
Дэниел Б. Нельсон
Daniel B. Nelson
University of Chicago and N.B.E.R.
Эта глава оценивает наиболее важные теоретические достижения в ARCH-моделировании изменяющихся во времени условных дисперсий. Она посвящена обсуждению спецификации одномерных параметрических моделей ARCH, общим процедурам вывода [проверки гипотез], условиям стационарности и эргодичности, методам моделировани в непрерывном времени, агрегированию и прогнозированию в ARCH-моделях, формулировкам многомерной условной ковариации и использованию критериев выбора в контексте ARCH. Кроме того, глава содержит обсуждение эмпирических закономерностей, относящихся к динамике волатильности [изменчивости] финансовых рынков. Представлена также новая модель условной дисперсии, которая лучше характеризует волатильность доходности акций. Модель в какой-то степени мотивирована последними результатами в области оптимальной фильтрации.
1. Введение
Еще десять лет назад моделирование макроэконометрических и финансовых временных рядов, сосредотачивалось по большей части на условных первых моментах, а любые временные зависимости в моментах более высокого порядка рассматривались как помеха. Усиление роли риска и соображений неопределенности в современной экономической теории требовало, однако, развития новых эконометрических методов для временных рядов, которые учитывали бы при моделировании изменение дисперсий и ковариаций во времени. Учитывая явное отсутствие какой бы то ни было структурной динамической экономической теории, объясняющей динамику моментов более высокого порядка, особенно помог этому развитию класс моделей с условной авторегрессионной гетероскедастичностью (ARCH), введенный Энглом (Engle (1982)). Так же как успеху обычных линейных моделей временных рядов содействовало использование условных мат. ожиданий вместо безусловных, ключевой момент, предлагаемый моделью ARCH, состоит в различении условных и безусловных моментов второго порядка. В то время как безусловная матрица ковариаций для представляющих интерес переменных может быть неизменной во времени, условные дисперсии и ковариации часто зависят нетривиальным образом от состояний мира в прошлом. Понимание точного характера этой временной зависимости крайне важно для многих проблем в макроэкономике и финансах, таких как необратимые инвестиции, цены на опционы, структура процентных ставок по срокам и общие динамические соотношения для цен активов. Кроме того, с точки зрения получения эконометрических выводов потеря в асимптотической эффективности из-за неучета гетероскедастичности может быть сколь угодно большой, и при составлении экономических прогнозов как правило можно использовать намного более точную оценку неопределенности ошибки прогноза, если получать ее как условную по текущему информационному множеству.
1.1. Определения
Обозначим через {
t(
)}
стохастический процесс с дискретным временем, функции условного мат. ожидания
и дисперсии которого зависят от конечномерного вектора 
Rm, причем 0
-- его истинное значение. Для упрощения обозначений мы будем предполагать сначала,
что t()
является скаляром (очевидные обобщения на многомерный случай рассматриваютс
в Разделе 6). Кроме того, обозначим через Et - 1(·)
оператор мат. ожидания, условного по прошлым значениям процесса, а также по
любой другой информации, имеющейся в момент t - 1.
По определению, процесс {t(0)}
задается ARCH моделью, если условное мат. ожидание равно нулю,
но условная дисперсия,
нетривиальным образом зависит от сигма-поля, порожденного прошлыми наблюдениями; т.е. {
t - 1(0), t
- 2(0),...}.
Когда это понятно из контекста, зависимость от параметров
мы будем опускать для упрощения обозначений. Кроме того, в многомерном
случае соответствующая меняющаяся во времени условная матрица ковариаций
будет обозначаться через 
t.
Как правило, в дальнейшем мы сосредоточим внимание непосредственно на
процессе {t}, но
те же идеи можно очевидным образом обобщить на ситуацию, в которой {t}
соответствует инновациям некоторой более сложной эконометрической модели.
В частности, пусть {yt(0)}
интересующий нас стохастический процесс с условным мат. ожиданием
Заметьте, что в соответствии с соглашениями о временной структуре, как
t(0),
так и 
t2(0)
являются измеримыми по информационному множеству, соответствующему моменту
t
- 1.
t(0)}
задан уравнением
Условная дисперсия {
t}
в таком случае равна условной дисперсии процесса {yt}.
Поскольку очень немногие экономические и финансовые временные ряды имеют
постоянное условное мат. ожидание, равное нулю, фактически большинство
эмпирических приложений методологии ARCH попадают в эту категорию.
Возвращаясь к определениям, данным в уравнениях (1.1) и (1.2), можно вывести, что нормированный процесс
будет иметь нулевое условное мат. ожидание и независящую от времени единичную условную дисперсию. Это наблюдение лежит в основе процедур вывода, которые используются в приложениях моделей типа ARCH.
Если предположить дополнительно, что условное распределение zt не зависит от времени и имеет конечный четвертый момент, то из неравенства Йенсена следует, что
где равенство достигается только в случае постоянной условной дисперсии. В предположении о нормальном распределении нормированных инноваций из уравнения(1.5), безусловное распределение
t
является, таким образом, лептокуртическим [имеет положительный эксцесс].
Вид уравнений (1.1) - (1.4) является очень общим, что не позволяет непосредственно применить их в эмпирических исследованиях без наложения дополнительных ограничений на временные зависимости в функциях условных мат. ожиданий и дисперсий. Ниже мы обсудим некоторые наиболее удобные и популярные из таких ARCH-формулировок для условной дисперсии. Первые эмпирические приложени моделей класса ARCH относились к моделированию инфляционной неопределенности, но в дальнейшем особенно широкое использование эта методология нашла себе в обнаружении временны'х зависимостей в доходностях активов. Современный обзор этой обширной эмпирической литературы можно найти в Bollerslev et al. (1992).
1.2. Эмпирические закономерности в доходностях активов
Даже в одномерном случае массив функциональных форм, задаваемый уравнением (1.2) слишком обширен и бесконечно превосходит то, что может вместить любое параметрическое семейство ARCH-моделей. Ясно, что для того, чтобы можно было надеяться выбрать подходящую ARCH-модель, нужно иметь хорошее представление об эмпирических закономерностях, которые эта модель должна уловить. Поэтому далее мы кратко обсудим некоторые важные закономерности для волатильностей доходностей активов.
1.2.1. Толстые хвосты
Доходности активов как правило являются лептокуртическими. Эта эмпирическа закономерность была отмечена Мандельбротом (Mandelbrot (1963)), Фамой (Fama (1965)) и другими исследователями, что породило большое количество литературы по моделированию доходностей ценных бумаг как реализаций i.i.d. [независимых и одинаково распределенных] случайных величин из распределений с толстыми хвостами. См. напр. Mandelbrot (1963), Fama (1963, 1965), Clark (1973) и Blattberg and Gonedes (1974).
1.2.2. Кучкование волатильности [volatility clustering]
Как пишет Мандельброт (Mandelbrot (1963)),
То же самое можно наблюдать на Рисунке 2, где показаны процентные приросты курса немецкой марки к доллару США по дням. Ясно видны спокойные и неспокойные периоды на валютном рынке. Мы вернемся к формальному анализу этих рядов ниже в Разделе 9.
Существует непосредственная связь между кучкованием волатильности и
толстыми хвостами. Как отмечалось выше в Разделе 1.1, если безусловный
куртозис t
конечен, то E(t4)/[E(t2)]2
E(zt4),
причем последнее неравенство будет строгим, если только t
не является константой. Положительный эксцесс t
может поэтому быть результатом случайного характера t,
результатом положительного эксцесса в условном распределении t
(т.е. положительного эксцесса zt) или и того, и другого
одновременно.
1.2.3. Эффекты левереджа
Так называемый "эффект левереджа" [leverage effect], впервые отмеченный
Блэком (Black (1976)), состоит в том, что изменения в курсах ценных бумаг
обычно отрицательно коррелированы с изменениями в волатильности курсов.
Фиксированные издержки, например такие показатели левереджа как показатель
использования заемных средств [financial leverage] и доля постоянных издержек
[operating leverage], частично объясняют это явление. Обычно фирма с большими
обязательствами и большой чистой стоимостью капитала [debt and equity outstanding]
в большей степени подвержена воздействиям [more highly leveraged], когда
стоимость фирмы падает. Блэк (Black (1976)), однако, утверждает, что реакци
волатильности курсов на направление динамики доходности слишком сильна,
чтобы ее можно было объяснить только с помощью левереджа. Этот вывод подтверждаетс
эмпирическими работами Christie (1982) и Schwert (1989b).
1.2.4. Неоперационные периоды
Информация, накапливающаяся после закрытия финансовых рынков, отражаетс на курсах на момент открытия рынков. Если, например, информация накапливаетс с постоянной скоростью по календарному времени, то дисперсия доходности за период с момента закрытия в пятницу до момента закрытия в понедельник должна быть в три раза больше, чем дисперсия за период с момента закрыти в понедельник до момента закрытия во вторник. Фама (Fama (1965)) и French and Roll (1986) обнаружили, однако, что информация накапливается более медленно, когда рынки закрыты, чем когда они открыты. Дисперсии выше вслед за выходными и праздниками, но вовсе не настолько сильно, как можно было бы ожидать при постоянной скорости поступления новостей. Например, использу ежедневные данные о доходностях всех ценных бумаг на NYSE и AMEX в 1963-1982гг., Френч и Ролл (French and Roll (1986)) обнаружили, что волатильность в расчете на час в среднем в 70 раз выше, когда рынок открыт, чем когда он закрыт. Бейли и Боллерслев (Baillie and Bollerslev (1989)) сообщают о качественно похожих результатах для валютных курсов.
1.2.5. Предсказуемые события
Не удивительно, что предсказуемые публикации важной информации связаны с высокой ex ante волатильностью. Например, Cornell (1978), и Patell and Wolfson (1979, 1981) показали что волатильность доходностей по акциям отдельных фирм высока в период, близкий к объявлению дивидендов. Точно так же Harvey and Huang (1991, 1992) обнаружили, что фиксированный доход и волатильность курса иностранной валюты выше в периоды, когда центральные банки ведут интенсивную торговлю или когда публикуются макроэкономические новости.
Наблюдаются также существенные предсказуемые изменения в волатильности в течении операционного дня [trading day]. Например, как правило, волатильность намного выше при открытии или закрытии торгов на фондовых и валютных биржах, чем в середине дня. Такое поведение было отмечено среди прочего в Harris (1986), Gerity and Mulherin (1992) и Baillie and Bollerslev (1991). Увеличение волатильности при открытии по крайней мере частично отражает накопление информации за то время, в течении которого рынок не работает. Не столь просто, однако, объяснить волну волатильности при закрытии.
1.2.6. Изменчивость(волатильность) и последовательная корреляция
LeBaron (1992) обнаружил сильную обратную зависимость между волатильностью и сериальной корреляцией для американских фондовых индексов. Эта закономерность, по-видимому, является необыкновенно устойчивой к выбору выборочного периода, рыночного индекса, интервала измерения и меры волатильности. Kim (1989) отмечает подобную зависимость в данных о валютном курсе.
1.2.7. Совместная динамика волатильностей
По наблюдениям Блэка (Black (1976)),
То, что волатильности двигаются параллельно, должно стимулировать создателей моделей, так как это указывает на то, что несколько общих факторов могут объяснить значительную часть колебаний условных дисперсий и ковариаций доходностей активов. Этим подводится основание под факторные ARCH модели, обсуждаемых ниже в Разделе 6.2.
1.2.8. Макроэкономические переменные и волатильность
Так как стоимости акций близко связаны со здоровьем экономики, естественно ожидать, что измерители макроэкономической неопределенности, такие как условные дисперсии промышленного производства, процентных ставок, темпов роста денег и т.д., должны помочь в объяснении изменений волатильности фондового рынка. Schwert (1989a, b) обнаружил, что, хотя фондовая волатильность резко повышается в течение спадов и финансовых кризисов и падает в течение подъемов, однако, связи между макроэкономической неопределенностью и фондовой волатильностью удивительно слабы. Glosten et al. (1993), с другой стороны, нашли сильные положительные связи между волатильностью доходности акций и процентными ставками.
1.3. Одномерные параметрические модели
1.3.1. GARCH
В литературе предложено множество разных параметрических спецификаций для меняющейся во времени условной дисперсии. В линейной ARCH(q) модели введенной Энглом (Engle (1982)) принимается, что условная дисперси является линейной функцией от квадратов q прошлых инноваций:
где L обозначает лаговый оператор или оператор сдвига назад, Liyt
yt
- i. Конечно, чтобы эта модель была корректно определена и условна
дисперсия была положительной, параметры должны удовлетворять соотношениям 
> 0 и 
1
0,..., q
0 почти наверное.
Если ввести обозначение 
tt2
- t2,
то модель ARCH(q) можно переписать в виде
Поскольку Et - 1(
t)
= 0, то модель непосредственно соответствует модели AR(q) для квадратов
инноваций, t2.
Этот процесс является слабо стационарным [covariance stationary] тогда
и только тогда, когда сумма положительных параметров авторегрессии меньше
единицы. В таком случае безусловная дисперсия равняется 
.
Хотя t
сериально некоррелированы, очевидно, что они не являются независимыми по
времени. В согласии со стилизованными фактами для доходностей активов,
о которых говорилось выше, имеется тенденция, что большие (малые) по абсолютной
величине значения процесса сопровождаются другими большими (малыми) значениями
с непредсказуемым знаком. Кроме того, как мы отмечали выше, если предполагается,
что распределение нормированных инноваций в уравнении (1.5) не меняетс
во времени, то безусловное распределение t
будет иметь более толстые хвосты, чем распределение zt.
Например, для модели ARCH(1) с условно нормально распределенными ошибками 
в
противном случае; в обоих случаях это больше, чем величина 3, соответствующа
нормальному распределению.
Модель ARCH(q) также можно представить как модель MA(q)
для t с меняющимис
во времени параметрами
где {
t}
обозначает скалярный i.i.d. стохастический процесс с нулевым мат. ожиданием
и единичной дисперсией. Модели с меняющимися во времени параметрами имеют
долгую историю в эконометрике и статистике. Привлекательность эквивалентной
с точки зрения наблюдений [observational equivalent] формулировки, представленной
уравнением (1.6) проистекает из того, что она непосредственно сосредотачиваетс
на меняющейся во времени условной дисперсии процесса. Обсуждение этой интерпретации
ARCH моделей см., напр., в Tsay (1987), Bera et al. (1993) и Bera and Lee
(1993).
В эмпирических приложениях ARCH(q)-моделей часто возникают трудности из-за длинных лагов и большого числа параметров. Чтобы обойти эту проблему, Боллерслев (Bollerslev (1986)) предложил обобщенную ARCH, или GARCH(p, q), модель,
Чтобы условная дисперсия в модели GARCH(p, q) была определена, все коэффициенты в соответствующей линейной ARCH-модели бесконечного порядка должны быть положительными. В предположении, что
(L)
и 
(L)
не имеют одинаковых корней и что корни уравнения (x)
= 1 лежат за пределами единичного круга, это ограничение на положительность
выполнено тогда и только тогда, когда все коэффициенты в представлении (x)/(1
- (x))
бесконечным степенным рядом неотрицательны. Необходимые и достаточные услови
этого даны в Nelson and Cao (1992). Для простой GARCH(1, 1)-модели дл
положительности t2
почти наверное требуется, чтобы
0, 1
0 и1
0.
Преобразовав GARCH(p, q)-модель, представленную в уравнении (1.7), получим, что
что задает ARMA[max(p, q), p]-модель для
t2.
Используя стандартные рассуждения, получаем, что эта модель слабо стационарна
[covariance stationary], если и только если все корни уравнения (x)
+ (x)
= 1 лежат за пределами единичного круга; формальное доказательство см.
в Bollerslev (1986). Во многих приложениях с "высокочастотными" финансовыми
данными оказывается, что оценка величины(1)
+ (1) очень
близка к единице. Это являлется эмпирической мотивировкой для так называемой
интегрированной GARCH (p, q), или IGARCH(p, q), модели, предложенной
Энглом и Боллерслевым (Engle and Bollerslev (1986)). В классе моделей IGARCH
авторегрессионный многочлен в уравнении (1.10) имеет единичный корень,
и, следовательно, имеет место инерционность шоков условной дисперсии в
том смысле, что шок остается важным для предсказаний будущего на всех временных
горизонтах. Дальнейшее обсуждение условий стационарности и проблем инерционности
[persistence] содержится в Разделе 3.
Так же как использование ARMA-модели часто позволяет более просто представить
временные зависимости в условном мат. ожидании по сравнению с AR-моделью,
GARCH (p, q), представленная уравнением (1.9), является более гибкой
с точки зрения параметризации условной дисперсии по сравнению с ARCH(q)-моделью.
Как установлено в работе Bollerslev (1988), эта аналогия с классом моделей
ARMA относится также к использованию стандартных методов теории временных
рядов при определении порядков p и q. Однако из-за зависимостей
более высоких порядков в процессе t
стандартные процедуры вывода Бокса-Дженкинса (Box and Jenkins (1976)) как
правило будут очень неэффективными. Кроме того, как отмечено выше, в большинстве
эмпирических приложений с данными, собранными с малыми промежутками, оказывается,
что простая GARCH(1,1)-модель с величиной 
близкой к единице хорошо описывает данные. Возможные причины этого феномена
обсуждаются в Разделах 4 и 5.
1.3.2. EGARCH
Модель GARCH успешно "улавливает" доходности с толстыми хвостами и кучкование волатильности, и ее можно легко модифицировать, чтобы учесть некоторые другие стилизованные факты, такие как неоперационные периоды и предсказуемые публикации информации. Однако, она мало подходит для того, чтобы "улавливать" "эффект левереджа", поскольку условная дисперсия в уравнении (1.9) являетс функцией только абсолютных величин лагов остатков, но не их знаков.
В экспоненциальной GARCH-модели (EGARCH), предложенной Нельсоном (Nelson
(1991)), t2
зависит как от абсолютного размера, так и от знака лагов остатков. А именно,
Таким образом, {ln(
t2)}
следует ARMA(p, q)-процессу с обычными для ARMA условиями стационарности.
Формулы для моментов t
более высоких порядков даны в работе Nelson (1991). Так же как и в случае
GARCH, можно легко сделать
функцией времени, чтобы учесть эффект любых неоперационных периодов и предсказуемых
событий.
1.3.3. Другие одномерные параметризации
Хотя наш список стилизованных фактов относительно волатильности активов
несколько сужает область подходящих ARCH-моделей, количество возможных
формулировок остается огромным. Например, чтобы учесть кучкование волатильности,
GARCH предполагает, что условная дисперсия, t2,
равняется распределенному лагу квадратов остатков. Не менее естественное
предположение, используемое в Taylor (1986) и Schwert (1989a, b), состоит
в том, что условное среднеквадратическое отклонение, t,
является распределенным лагом модулей остатков, как в уравнении
Хиггинс и Бера (Higgins and Bera (1992)) помещают как модель GARCH,
так и (1.12) в класс нелинейных ARCH (NARCH) моделей:
Если модифицировать (1.13) дальше, положив
для некоторого ненулевого
,
то инновации в t
будут зависеть как от размера, так и от знака лагов остатков, учитывая,
таким образом, эффект левереджа в волатильности доходности акций. Формулировка
в уравнении (1.14) с = 2 также
является специальным случаем квадратичной ARCH (QARCH) модели Сентаны (Sentana's
(1991)), в которой t2
смоделирована как квадратная форма от лагов остатков. Была также
предложена простая версия этой модели, названная асимметричной моделью
ARCH, или AARCH (Engle (1990)). Модель AARCH первого порядка имеет вид
где отрицательное значение
означает,
что положительные доходности увеличивают волатильность меньше, чем отрицательные.
Другой способ учесть асимметрию заключается в том, чтобы положить
где I(·) обозначает индикаторную функцию. Например, пороговая ARCH (TARCH) модель Закояна (Zakoian (1990)) соответствует уравнению (1.16) с
= 1. Glosten, Jagannathan and Runkle (1993) оценили разновидность уравнени
(1.16) с = 2. Эта так называема
GJR-модель подразумевает квадратичную реакцию волатильности на новости,
с различными коэффициентами для хороших и плохих новостей, но то свойство,
что волатильность минимальна, когда нет новостей, остается в силе.1
Недавно были предложены еще два класса моделей. Эти модели имеют несколько различное происхождение, но подразумевают, что условная гетероскедастичность имеет некоторый конкретный вид. Первая -- это структурная ARCH (STARCH) модель с ненаблюдаемыми компонентами предложенная в работе Harvey et al. (1992). Это модели в пространстве состояний [state space models] или факторные модели, в которых инновации формируются из нескольких источников ошибок, причем каждый источник ошибок имеет гетероскедастичность в виде ARCH-процесса. Так как из прошлых наблюдений нельзя выделить отдельные компоненты ошибки, то независимые переменные в уравнениях дисперсии не измеримы относительно множества имеющейся информации, что усложняет процедуры вывода.2 Отталкиваясь от более ранней работы Diebold и Nerlove (1989), Harvey et al. (1992) предложили стратегию оценивания, основанную на фильтре Кальмана.
Чтобы проиллюстрировать эту идею, рассмотрим следующую факторную структуру:
где yt -- это вектор доходностей активов размерности n
1, ft -- скалярный фактор с не изменяющимися во времени
факторными нагрузками B, а t
-- это вектор специфических доходностей [idiosyncratic returns] размерности
n
1. Если фактор подчиняется ARCH(1)-процессу,
то возникают новые проблемы с оцениванием, так как ft - 1 не наблюдаются, а
2f,t
не является условной дисперсией. Фильтр Кальмана дает как Et
- 1 (ft - 1), так и Vt
- 1(ft - 1), поэтому Harvey et al. (1992)
предложили задавать условную дисперсию фактора, которая является переменной
состояния в фильтре Кальмана, в виде
Другой важный класс моделей -- это ARCH модель с переключениями [switching ARCH], или SWARCH, которая была независимо предложена Cai (1994) и Hamilton and Susmel (1992). Этот класс моделей постулирует, что имеются несколько различных ARCH-моделей, и что экономика переключает с одной модели на другую в соответствии с марковской цепью. В этой модели может иметься процесс с чрезвычайно высокой волатильностью, который вызывает такие события, как крах рынка акции в октябре 1987. Так как переключение на такой процесс может произойти в любое время, хотя и с очень низкой вероятностью, то агенты, не любящие риска, будут учитывать это в своем поведении. SWARCH-модель тоже приходится оценивать, используя методы фильтрации Кальмана.
Богатство семейства параметрических ARCH-моделей является одновременно и благом и бедствием. Оно конечно, усложняет поиск "истинной" модели, и вносит значительную долю произвольности в стадию выбора модели. С другой стороны, гибкость класса ARCH-моделей означает, что при анализе структурных экономических моделей, в которых волатильность меняется во времени, весьма вероятно, что подходящую параметрическую ARCH-модель удастся сформулировать, и эта модель будет поддаваться простому анализу. Например, Campbell and Hentschell (1992) попытались объяснять снижение курса акций, связанное с увеличением волатильности, в рамках экономической модели. В их модели экзогенное повышение волатильности акций приводит к увеличению учетных ставок, понижая курс акций. При использовании модели EGARCH формальный анализ стал бы слишком сложным, но если исходить из QARCH формулировки, то выкладки упрощаются.
1.4. Модели типа "ARCH в среднем"
Многие финансовые теории непосредственно требуют, чтобы доходности и дисперсии находились в обратном отношении или чтобы доходности были коррелированы. Например, в межвременной CAPM модели Мертона (Merton (1973)) ожидаема избыточная доходность рыночного портфеля линейна по условной дисперсии, если предположить существование репрезентативного агента с логарифмической полезностью. В более общей постановке, условная ковариация с соответствующим образом определенным базовым [benchmark] портфелем часто служит для установлени цен активов. Например, согласно традиционной модели установления цен на капитальные активы (CAPM), избыточные доходности всех рискованных активов пропорциональны недиверсифицируемому риску, измеряемому ковариациями с рыночным портфелем (???) [as measured by the covariances with the market portfolio]. Конечно, это подразумевает, что ожидаемая избыточная доходность рыночного портфеля пропорциональна просто его собственной условной дисперсии как в одномерной модели Мертона (Merton (1973)).
Модель "ARCH в среднем", или ARCH-M, предложенная Engle et al. (1987) предназначалась для моделирования такого рода зависимостей. В модели ARCH-M условное мат. ожидание [conditional mean] представляет собой явную функцию условной дисперсии:
где производная функции g (·, ·) по первому элементу отлична от нуля. Многомерное расширение модели ARCH-M, которое явным образом учитывает влияние условных ковариаций в уравнениях условных мат. ожиданий, сначала рассматривалось в Bollerslev et al. (1988) в контексте многомерной модели CAPM. Точна формулировка таких многомерных ARCH моделей более детально обсуждаетс ниже в Разделе 6.
Наиболее часто используемые одномерные спецификации модели ARCH-M постулируют
линейное по t
илиt2
соотношение; например, g[t2(), ]
= + t2.
При
0 премия за риск [risk premium] меняется во времени и может изменить знак,
если < 0 < .
Обратите внимание, что изменение во времени в t
любого вида приведет к сериальной корреляции в процессе {yt}.3
Из-за явной зависимости условного мат. ожидания от условной дисперсии и/или ковариации возникает несколько специфических проблем при оценивании и проверке гипотез в контексте моделей типа ARCH-M. Мы возвратим обсуждению этих проблем ниже в Разделе 2.2.
1.5. Непараметрические и полупараметрические методы
В качестве естественного ответа на огромное разнообразие параметрических одномерных моделей ARCH, следует рассматривать непараметрические модели. Одной из первых попыток в этой области была работа Пейгана и Шверта (Pagan and Schwert (1990)), которые использовали ряд стандартных непараметрических методов оценивания, включая ядерную регрессию, регрессию с использованием ряда Фурье и метод наименьших квадратов, для того, чтобы подобрать [fit] модели зависимости между yt2 и прошлыми значениями yt, а затем сравнить точность подбора [fits] с несколькими параметрическими формулировками. Фактически эти модели оценивают функцию f(·) в уравнении
При оценивании f(·), однако, сразу же возникает несколько проблем. Из-за проблемы высокой размерности, параметр p обычно приходитс выбирать довольно маленьким, так что прямо из (1.20) фактически можно достичь лишь не очень сильного сглаживания по времени. Во-вторых, если использовать только квадраты прошлых yt, то нельзя смоделировать асимметричные эффекты. В-третьих, минимизация расстояния между yt2 и ft
f(yt
- 1, yt - 2,..., yt
- p, )
наиболее эффективна, если процесс 
t
гомоскедастичен, однако, в данном случае он сильно гетероскедастичен. Фактически,
если бы ft была точной условной гетероскедастичностью,
то yt2ft-1 и tft-1,
были бы гомоскедастичны. Таким образом, t
имеет условную дисперсию ft2, так что фактически
здесь имеется более сильная гетероскедастичность, чем в yt.
Не только оценка параметра становится неэффективной, но и нельзя использовать
простой показатель R2 в качестве критерия выбора модели.
Критерий R2 оштрафует оценки обобщенного метода наименьших
квадратов или оценки максимального правдоподобия, и соответствует функции
потерь, которая не оштрафует даже нулевые или отрицательные предсказанные
дисперсии. Эту проблему мы обсудим более подробно в Разделе 7. Действительно,
эмпирический анализ доходностей американских акций, проведенный в работе
Pagan and Schwert (1990) свидетельствует, что непараметрические модели
опередили GARCH и EGARCH модели по точности предсказаний в пределах выборки,
но что вне выборки, точность предсказаний ухудшилась. При использовании
пропорциональной функции потерь превосходство непараметрических моделей
в пределах выборки также исчезло.
Любой непараметрический метод оценивания должен быть подвержен вышеупомянутым проблемам. Гуриру и Монфор (Gourieroux and Monfort (1992)) ввели качественную пороговую ARCH модель [qualitative threshold ARCH], или QTARCH, котора имеет условную дисперсию, которая является постоянной по различным многомерным интервалам наблюдения. Например, пусть пространство переменных yt разбито на J интервалов, и пусть Ij(yt) равняется 1, если yt находится в j-том интервале. QTARCH модель тогда можно записать как
где предполагается, что ut является i.i.d процессом. Параметры
ij
определяют мат. ожидание, а параметры ij
определяют дисперсию процесса {yt}. По мере увеличени
размера выборки J можно увеличивать, а размеры ячеек -- уменьшать,
и таким образом аппроксимировать любой процесс.
В наиболее успешном применении, Gourieroux and Monfort (1992) добавили GARCH-член, получив в результате модель G-QTARCH(1), в которой условна дисперсия, задается уравнением
Интересно, что оценки, полученные на основе ежедневных наблюдений за доходностью французского фондового индекса (CAC) за четыре года, свидетельствуют о наличии значимого эффекта левереджа.
В этом же ключе Engle and Ng (1993) предложили и оценили частично непараметрическую, или PNP, модель с использованием линейных сплайнов, чтобы оценить форму отклика на самые последние новости. Название модели отражает тот факт, что составляющую, относящуюся к долговременной памяти, моделируют параметрически, а связь между новостями и волатильностью моделируют непараметрически.
Полунепараметрический метод разложения в ряд, разработанный в серии статей Gallant and Tauchen (1989) и Gallant et al. (1991, 1992, 1993) также применялся для описания временны'х зависимостей во вторых моментах доходностей активов. Формальное описание этой оригинальной непараметрической процедуры выходит, однако, за рамки данной главы.
2 Эти модели иногда называют также моделями стохастической волатильности; более формальное определение можно найти в Andersen (1992a).
3 Точная форма этой сериальной зависимости
была формально проанализирована для нескольких простых моделей в Hong (1991).
Материалы по GARCH-моделям
На начальную страницу
