Построение моделей авторегрессионной условной гетероскедастичности (ARCH) некоторых индикаторов российского финансового рынка

2.3 ОБОБЩЕННЫЙ МЕТОД МОМЕНТОВ

Обобщенный метод моментов (ОMM) обладает следующими достоинствами:

  1. не требует явных предположений относительно плотности условного распределения и допускает присутствие ненулевых куртозиса и асимметрии;
  2. использует лишь производные первого порядка функций и и позволяет избежать тем самым применения методов численного дифференцирования;

  3. асимптотически более эффективен, чем МКМП. Проверка метода на выборочных данных, демонстрирующих экстремально высокие коэффициенты асимметрии и куртозиса, свидетельствует о значительном выигрыше в эффективности.

Дополним модель (М.1)-(М.4) предположениями относительно третьего и четвертого моментов распределения :

(М.5)

(М.6) ,

где - постоянные коэффициенты асимметрии и куртозиса. Стандартизованные остатки в точке тогда имеют первые четыре момента, равные соответственно 0, 1, . Гипотеза нормальности формулируется как .

Спецификация (М) обеспечивает две группы уравнений, идентифицирующих истинные значения параметров. Пусть

– строка из двух элементов, которую далее будем обозначать, опуская аргументы и . Мат. ожидания существуют для всех q Î Q и обращаются в ноль единственным . В этом смысле система уравнений

(3.19)

идентифицирует истинный вектор параметров. Определим условные матрицу ковариации и якобиан в точке как

(3.20)

(3.21) .

Класс оценок ОММ порождается различными наборами инструментальных переменных, выбор которых ограничен последовательностью . Асимптотическая ковариационная матрица ОММ оценок ограничена снизу, причем существует набор оптимальных инструментов, приводящий к эффективным оценкам.

Пусть l инструментов могут быть организованы в матрицу размерности l´ 2n, где - часть матрицы размерности l´ 2, относящаяся к наблюдению t (вклад данного наблюдения в матрицу инструментов). Требуется, чтобы число инструментов было не меньше числа оцениваемых параметров, т.е. l ³ m, и чтобы к моменту t значения были известны: ; можно указать бесконечное число инструментальных переменных. Эмпирические моменты, соответствующие данному набору инструментов могут быть выражены как

(3.21) .

Матрица условной ковариации эмпирических моментов в точке равна

(3.22) .

Если l=m, то оценки находятся решением системы m уравнений

(3.23) ,

если l>m, то минимизацией критериальной функции – квадратичной формы, построенной из (3.21) и (3.22):

(3.24) .

При любом выборе инструментов оценки, определяемые (3.23) или (3.24), состоятельны и асимптотически нормальны с асимптотической матрицей ковариации

(3.25)

.

Инструменты W, такие что , приводят к оценкам, эффективным в классе ОММ. Существует ровно m оптимальных инструментов, поэтому эффективные оценки находятся решением системы

(3.26) .

Асимптотическая матрица ковариации таких оценок меньше, чем при любом ином выборе инструментов:

(3.27) .

Воспользуемся матрицами размерности l´ 2n, размерности m´ 2n, блочно-диагональной матрицей L размерности 2n´ 2n с диагональными блоками . Тогда участвующие в (3.25) и (3.27) суммы записываются как , , . Опустим знаки plim, множители и рассмотрим разность

между обращенными матрицами ковариации, относящимися к оптимальному и произвольному наборам инструментов, соответственно. Если симметричная 2n´ 2n матрица Y такова, что , то разность данная равна

.

Эта матрица положительно полуопределена, поскольку матрица в больших скобках идемпотентна. Отсюда немедленно следует положительная полуопределенность

.

Оптимальные в классе ОMM оценки асимптотически более эффективны, чем оценки МКМП. Достаточно показать, что асимптотическая матрица ковариации последних приводима к виду (3.25) с помощью какого-либо набора неоптимальных инструментов. Вклад наблюдения t в этот набор инструментов представляет собой матрицу , вычисленную при :

(3.28) .

Если коэффициенты асимметрии и куртозиса действительно равны нулю, то такой набор инструментов является оптимальным. Следовательно, при верной гипотезе (N) методы моментов и максимального правдоподобия асимптотически эквивалентны.

Выбор инструментов (3.28) приводит к следующим совпадениям:

.

Следовательно, совпадают и вероятностные пределы, участвующие в (3.15) и (3.25). Итак, (3.25) при соответствующем выборе инструментальных переменных характеризует асимптотическую ковариационную матрицу МКМП -оценок.

Davidson и MacKinnon предлагают двухшаговую или итеративную процедуры вычисления оценок ОMM. Требуется построить состоятельные, но, возможно, неэффективные оценки, используя их, определить приблизительно оптимальные инструменты; с помощью найденных инструментов вычислить оценки параметров. Если исходные оценки не очень точны, желательно повторить процедуру несколько раз.

Пусть имеются , с помощью которых можно состоятельно оценить коэффициенты асимметрии и куртозиса выборочными моментами стандартизованных остатков:

(3.29) .

Для всех q Î Q определим выражения и , причем для вычисления первого из них вместо истинных значений будем использовать оценки (3.29). Новые оценки параметров q предлагается вычислять как решение системы

,

где t-е слагаемое равно

(3.31)

.

При этом оценки оптимальных инструментов и оценки параметров определяются одновременно. Такое вычисление эквивалентно реализации итеративной процедуры, в которой оценки на i-м шаге определяются с помощью инструментов, оцененных на (i-1)-м шаге как решение

.

Полученные оценки приводят к новым значениям коэффициентов асимметрии и куртозиса, и процедура может быть повторена. На практике уже после третьей итерации достигается вполне удовлетворительная сходимость.

В качестве исходных оценок приемлемы оценки максимального правдоподобия. При вклад t-го наблюдения в эмпирический момент (3.31) совпадает со вкладом в градиент логарифмической функции правдоподобия. Следовательно, оценки максимального правдоподобия могут быть получены на первом шаге решением (3.30) при .

Оценкой ковариационной матрицы для служит

,

где =

.

Продолжение:

ГЛАВА 3. ЭМПИРИЧЕСКИЕ РЕЗУЛЬТАТЫ