Премия Банка Швеции в области экономических наук имени Альфреда Нобеля за 2003 г.

Шведская королевская академия наук решила, что премию Банка Швеции в области экономических наук имени Альфреда Нобеля за 2003 г. должны поделить между собой

Роберт Ф. Энгл
Нью-йоркский университет, США

“за методы анализа экономических временных рядов с меняющейся во времени волатильностью (ARCH)

и

Клайв У. Дж. Грейнджер
Калифорнийский университет в Сан-Диего, США

“за методы анализа экономических времнных рядов с общими трендами (коинтеграция)

Статистические методы для экономических временных рядов

При изучении макроэкономических переменных — оценивании соотношений, построении прогнозов и проверке гипотез экономической теории — исследователи часто используют данные в форме временных рядов (наблюдений в хронологической последовательности). Потребление в экономике может зависеть от полного трудового дохода и богатства, реальных ставок процента, распределения населения по возрасту, и т.д. Простейший “школьный” пример такой связи — это статическое, линейное выражение, которое содержит только две переменные:

Согласно этому уравнению, переменная y_t (например, потребление в квартале t) зависит от переменной x_t (например, дохода за тот же период). Последний член, случайная ошибка e_t, соответствует колебаниям y_t, которые нельзя объяснить моделью. По временным рядам переменных y_t и x_t можно оценить параметры a и b, используя статистические методы (известные как регрессионный анализ). Чтобы получать верные заключения, требуется, чтобы используемые методы были хорошо приспособлены к специфическим особенностям временных рядов. Лауреаты этого года разработали методы, которые улавливают два ключевых свойства многих экономических временных рядов: нестационарность и изменяющаяся во времени волатильность.

Нестационарность, общие тренды и коинтеграция

Многие макроэкономические временные ряды нестационарны: т.е. переменная, например ВВП, движется в соответствии с долгосрочной тенденцией (трендом), а временные возмущения влияют на ее долгосрочный уровень. В отличие от стационарного временного ряда, нестационарный ряд не характеризуется тенденцией возвращаться к своему стационарному значению или некоторому тренду. Рис. 1 показывает два примера таких временных рядов. Неровная кривая с заметными краткосрочными флуктуациями соответствует обменному курсу между японской йеной и долларом США помесячно начиная с 1970 г. Более гладкая кривая показывает уровень потребительских цен для Японии по отношению к тому же показателю для США за тот же самый период.

Рисунок 1: Логарифм курса японской йены в долларах США и логарифм отношения между индексами потребительских цен Японии и США; помесячные наблюдения, январь 1970 г. — май 2003 г.

Статистические ловушки

Довольно долго, несмотря на то, что макроэкономические временные ряды зачастую являются нестационарными, исследователям были доступны только стандартные методы, разработанные для стационарных данных. В 1974 г., Клайв Грейнджер (и его коллега Пол Ньюболд) продемонстрировали, что оценки соотношений между нестационарными переменными могут порождать бессмысленные результаты, ошибочно указывая на значимые связи между совершенно не связанными переменными. (В вышеупомянутом уравнении проблема возникает, если случайная ошибка e_t нестационарна. При этом стандартный критерий может показывать, что b отличается от 0 даже тогда, когда истинное значение b равно 0).

Статистические ловушки могут приводить к обманчивым результатам также и в ситуациях, когда связь на самом деле имеет место. В частности, трудность может представлять различение временных и постоянных связей между нестационарными временными рядами. Например, экономическая теория постулирует, что в долгосрочном аспекте более сильный валютный курс должен быть связан с относительно более медленным ростом цен, потому что цены, выраженные в общей валюте, не могут слишком сильно отклоняться друг от друга. Такая тенденция, например, видна на Рис. 1, где за рассматриваемый период йена стала более сильной по сравнению с долларом, а уровень цен в США повысился относительно японского уровня цен. В краткосрочном аспекте, однако, ожидания и движения капитала имеют настолько сильное влияние на валютный курс, что стандартные методы могут быть неадекватными для точного оценивания долгосрочных соотношений.

Обычный подход к проблеме нестационарных данных состоял в том, чтобы формулировать статистические модели в виде соотношений между первыми разностями, то есть темпами прироста. Вместо использования валютного курса и относительного уровня цен, можно было бы оценить отношение между темпом обесценения валюты и относительной инфляцией. Если темпы прироста действительно стационарные, то традиционные методы обеспечивают корректные результаты. Но даже если статистическая модель, основанная исключительно на разностях, может улавливать краткосрочную динамику процесса, она дает мало информации относительно долгосрочной ковариации переменных. Это заслуживает сожаления, поскольку экономическая теория часто формулируется в терминах уровней, а не разностей.

Учитывая свойства нестационарных данных, встала задача найти методы, которые могли бы отслеживать потенциальные долгосрочные связи, скрытые помехами краткосрочных колебаний. Исследования Клайва Грейнджера создали такую методологию статистического анализа.

Вклад Грейнджера

В исследованиях, изданных в 1980-х годах, Грейнджер разработал концепции и аналитические методы, которые комбинируют краткосрочные и долгосрочные стороны. Основным источником этих методов, обеспечивающих корректность статистических выводов, является обнаруженный им факт, что определенная комбинация двух (или более) нестационарных рядов может быть стационарной. Экономическая теория часто делает именно такие предсказания: если имеются равновесные соотношения между двумя экономическими переменными, то они могут отклоняться от равновесия в краткосрочном аспекте, но будут стремиться к равновесию в более долгосрочном аспекте. Например, общепринятая теория предсказывает, что долгосрочный равновесный валютный курс должен быть таким, что уровни цен, выраженные в общей валюте, находятся в паритете. Грейнджер придумал термин “коинтеграция” для обозначения стационарной комбинации нестационарных переменных.

Грейнджер также продемонстрировал, что совместная динамика коинтегрированных переменных может быть выражена так называемой моделью исправления ошибок. Такая модель не только статистически корректна, но и может иметь ясную экономическую интерпретацию. Например, динамика валютных курсов и цен определяется одновременно двумя силами: тенденцией к сглаживанию отклонений от долгосрочного равновесного обменного курса, и краткосрочными колебаниями вокруг траектории установления этого долгосрочного равновесия.

Концепция коинтеграции не стала бы полезной с практической точки зрения без мощных статистических методов оценивания и проверки гипотез. Клайв Грейнджер и Роберт Энгл предложили такие методы в широко известной статье, изданной в 1987 г. В ней они предложили критерий для гипотезы о том, что набор нестационарных переменных не коинтегрирован, а также двухшаговый метод оценивания модели исправления ошибок. Более совершенные методы, которые теперь стали стандартными, были позже развиты Сёреном Йохансеном.

В последующей работе и в сотрудничестве с другими исследователями, Грейнджер расширил анализ коинтеграции в нескольких отношениях, включая способы работы с рядами с сезонными составляющими (сезонная коинтеграция) и с рядами, в которых возвращение к равновесию не происходит пока отклонение не превышает некоторого критического значения (пороговая коинтеграция).

Приложения

Исследования Клайва Грейнджера поменяли подходы, которыми экономисты исследуют временные ряды. На сегодняшний день проверки стационарности и коинтеграции являются рутинными процедурами, с которых начинается спецификация динамических эконометрических моделей. Коинтеграционный анализ оказался особенно ценным для анализа систем, в которых на краткосрочную динамику влияют большие случайные возмущения, в то время как долгосрочные колебания ограничены общими экономическими равновесными соотношениями. Пример этого — отношение между валютными курсами и уровнями цен. Другие примеры включают отношение между потреблением и богатством (которые должны соответствовать друг другу в долгосрочном аспекте, в то время как в краткосрочном аспекте потребление намного более “гладкое”, чем богатство), дивиденды и курсы акций (где курсы акций следуют за динамикой дивидендов в долгосрочном аспекте, но в краткосрочном аспекте демонстрируют существенно более сильные колебания), и процентные ставки различных сроков погашения (где долгосрочные и краткосрочные ставки взаимосвязаны через ожидания относительно будущих краткосрочных ставок, несмотря на то, что в краткосрочном аспекте они могут двигаться в разных направлениях).

Изменяющаяся во времени волатильность и ARCH

Оценка риска — это основа деятельности на финансовых рынках. Инвесторы сравнивают ожидаемые доходности актива с его рискованностью. Банки и другие финансовые учреждения хотели бы гарантировать, чтобы стоимость их активов не падала ниже некоторого минимального уровня, который привел бы банк к несостоятельности. Такие оценки нельзя получить сделаны без измерения волатильности доходностей активов. Роберт Энгл разработал более совершенные методы для получения подобных оценок.

На Рис. 2 показаны доходности инвестиций в фондовый индекс нью-йоркской фондовой биржи NYSE (Standard & Poor's 500) для всех дней с мая 1995 г. по апрель 2003 г, в которые проходили биржевые торги. Доходности составляли в среднем 5,3% в год. В то же время, имелись дни, когда колебания в курсов превышали (плюс или минус) 5 процентных пункта. Среднеквадратическое отклонение* дневных доходностей, измеренное за весь период было равно 1,2 процентных пункта. Более внимательное изучение показывает, однако, что волатильность меняется по времени: большие изменения (вверх или вниз) часто сопровождаются дальнейшими большими колебаниями, а малые изменения обычно сопровождаются малыми колебаниями. Это ясно видно на Рис. 3, который показывает как среднеквадратическое отклонение, измеренное за предшествующие четыре недели, менялось во времени. Очевидно, что среднеквадратическое отклонение, существенно менялось от примерно 0,5 процентных пунктов в спокойные периоды до почти 3 процентных пунктов в более бурных периоды. Многие финансовые временные ряды характеризуются подобным изменением волатильности во времени.

[Среднеквадратическое отклонение определяется как квадратный корень дисперсии, которая показывает средний квадрат отклонения от среднего значения ряда. Дисперсию для T наблюдений переменной x_t со средним можно, таким образом, вычислить как ]

Рисунок 2: Дневные доходности инвестиций в фондовый индекс Standard & Poor's 500 с 16 мая 1995 г. по 29 апреля 2003.

Рисунок 3: Среднеквадратическое отклонение дневных доходностей инвестиций в фондовый индекс Standard & Poor's 500 с 16 мая 1995 г. по 29 апреля 2003, вычисленный по данным за четыре предшествующих недели.

Вклад Энгла

Рис. 3 показывает ретроспективные вычисления изменяющейся во времени волатильности. Но инвесторы и финансовые учреждения нуждаются в прогнозных оценках волатильности на следующий день, неделю и год. В известной статье 1982 г. Роберт Энгл сформулировал модель, которая позволяет получать такие оценки.

Статистические модели доходностей активов могут объяснить только небольшую долю изменения со дня на день. Большая часть волатильности, таким образом, входит в случайную ошибку (e_t в первоначальном уравнении) или, другими словами, в ошибку прогноза по модели. В стандартных статистических моделях принимается, что ожидаемая дисперсия случайной ошибки не меняется во времени. Очевидно, что это не отражает большие колебания доходностей актива, показанные на Рис. 3.

Энгл предположил вместо этого, что дисперсия случайной ошибки в некоторой статистической модели в некоторый период времени систематически зависит от ранее реализовавшихся случайных ошибок, так что за большими (маленькими) ошибками, как правило, следуют большие (маленькие) ошибки. В технических терминах это означает, что случайная переменная характеризуется авторегрессионной условной гетероскедастичностью (autoregressive conditional heteroskedasticity). Поэтому его подход получил сокращенное название ARCH. Если возвратиться к нашему примеру, то модель теперь содержит не только уравнение прогноза для доходностей актива, но также несколько параметров, показывающих, как дисперсия случайной ошибки в этом уравнении зависит от ошибок прогноза в предыдущие периоды. Энгл продемонстрировал, как можно оценивать модели ARCH и предложил практический критерий для проверки гипотезы о том, что условная дисперсия случайной ошибки не меняется.

В последующей работе и в сотрудничестве со студентами и коллегами Энгл развил эту концепцию в нескольких различных направлениях. Наиболее известное обобщение — обобщенная модель ARCH (GARCH), разработанная Тимом Боллерслевом в 1986 г. В ней дисперсия случайной ошибки в некоторый период зависит не только от предыдущих ошибок, но также и от самой дисперсии в предыдущие периоды. Это обобщение оказалось очень полезным; на сегодняшний день наиболее часто применяется модель GARCH.

Приложения

В своей первой статье по ARCH Энгл использовал свою модель изменяющейся во времени волатильности для изучения инфляции. Не вскоре, однако, стало ясно, что наиболее важные приложения следует искать в финансовом секторе, где деятельность направлена на управление различными типами рисков и их оценку. Так модели ценообразования устанавливают соотношения между курсами ценных бумаг и волатильностью: ожидаемые доходности на определенные акции зависят от ковариации между доходностью акции и рыночного портфеля (согласно модели CAPM, разработанной Шарпом, лауреатом премии по экономике за 1990 г.), цены опциона зависят от дисперсии доходности лежащего в основе актива (согласно формуле Блэка—Шоулза, которая принесла премию по экономике Мертону и Шоулзу в 1997 г.), и т.д.

В совместной работе с другими исследователями Энгл смог учесть эти связи, развив модели (GARCH-M), в которых ожидаемые доходности зависят от меняющихся во времени дисперсий и ковариаций, и, тем самым, сами становятся меняющимся во времени.

Какова практическая значимость меняющейся во времени волатильности? Если модель GARCH применить к доходностям фондового рынка на Рис. 2, то окажется, что условная волатильность, измеряемая среднеквадратическим отклонением, колеблется между 0,5 и 3 процентными пунктами в рассматриваемый период. Если инвестор имеет портфель, соответствующий индексу Standard & Poor's 500, то сколько капитала он рискует потерять на следующий день? При предсказанном среднеквадратическом отклонении в 0,5 процентных пункта, ее потери с 99-процентной вероятностью не превысят 1,2% от стоимости портфеля. Если бы предсказанное среднеквадратическое отклонение было равно 3 процентным пунктам, то соответствующая потеря капитала достигнет 6,7%. Подобные вычисления стоимости, подвергающейся риску, имеют ключевую роль в современном анализе риска, когда банки и другие учреждения вычисляют рыночный риск их портфелей ценных бумаг. Начиная с 1996 г. международные соглашения (так называемые Базельские правила) предписывают использование показателей стоимости, подвергающейся риску, при контроле требуемого капитала банков. В связи с использованием в этих и других ситуациях, подход ARCH является необходимым инструментом для оценки риска в финансовом секторе.

ARCH

Engle, R.F., “GARCH101: The Use of ARCH/GARCH Models in Applied Econometrics,” Journal of Economic Perspectives, Vol. 15, No. 4, Fall 2001, pp. 157–168.

Poon, S-H., and C.W.J. Granger, “Forecasting Financial Market Volatility,” Journal of Economic Literature, Vol. 41, No. 2, June 2003, pp. 478–539.

Cointegration

Granger, C.W.J., “Developments in the Study of Cointegrated Variables”, Oxford Bulletin of Economics and Statistics, Vol. 48, 1986, pp. 213–228.

Murray, M.P., “A Drunk and her Dog: An Illustration of Cointegration and Error Correction”, The American Statistician, Vol. 48, No.1, Feb 1994, pp. 37–39.

Phillips, P.C.B., “ET Interview: Clive Granger”, Econometric Theory, Vol. 13, 1997, pp. 253–304.

Лауреаты

Роберт Ф. Энгл

Американский гражданин. Родился в 1942 в г. Сиракузы штата Нью-Йорк, США. Получил степень Ph.D. Корнельского университета в 1969 г.; профессор менеджмента финансовых услуг в Нью-йоркском университете штата Нью-Йорк, США.

Robert F. Engle
New York University
Salomon Center
44 West Fourth Street, Suite 9-62
New York, NY 10012-1126
USA

Клайв У. Дж. Грейнджер

Британский гражданин. Родился в 1934 г. в г. Суонси, Уэльс. Получил степень Ph.D. Нотингемского университета в 1959 г.; почетный профессор экономики в Калифорнийском университете в Сан-Диего, США.

Clive W. J. Granger
Department of Economics
University of California, San Diego
9500 Gilman Drive
LaJolla, CA 92093-0508
USA

Роберт Ф. Энгл:

http://pages.stern.nyu.edu/~rengle/

http://weber.ucsd.edu/~mbacci/engle/index.html

Клайв У. Дж. Грейнджер:

http://weber.ucsd.edu/~cgranger/

Другие материалы по этой теме на сервере www.nobel.se:

Начальная страница
Пресс-релиз
Более подробная специальная информация