Эконометрическая страничка

Векторные авторегрессии

Март 2001

James H. Stock
Kennedy School of Government, Harvard University and the National Bureau of Economic Research

http://ksghome.harvard.edu/~.JStock.Academic.Ksg/index.htm

and

Mark W. Watson^*
Woodrow Wilson School and Department of Economics, Princeton University and the National Bureau of Economic Research

http://www.wws.princeton.edu/~mwatson/index.html

[^*Подготовлено для симпозиума по эконометрическим инструментам журнала Journal of Economic Perspectives [Journal of Economic Perspectives Symposium on Econometric Tools].]

Макроэконометристы должны уметь решать четыре логически отличающиеся задачи: описание данных, макроэкономический прогноз, структурный вывод, и анализ политики. Описание данных означает описание свойств одного или нескольких временных рядов и сообщение этих свойств широкому кругу экономистов. Макроэкономический прогноз означает предсказание курса экономики, обычно на два-три года или меньше (главным образом потому, что прогнозировать на более длинные горизонты слишком трудно). Структурный вывод означает проверку того, соответствуют ли макроэкономические данные конкретной экономической теории. Макроэконометрический анализ политики происходит по нескольким направлениям: с одной стороны, оценивается влияние на экономику гипотетического изменения инструментов политики (например налоговой ставки или краткосрочной процентной ставки); с другой стороны, оценивается влияние изменения правил политики (например переход к новому режиму монетарной политики). Эмпирический макроэкономический исследовательский проект может включать одну или несколько из этих четырех задач. Каждая задача должна быть решена таким образом, чтобы были учтены корреляции между рядами и по времени, и, конечно, совместная эндогенность рядов.

В 1970-х годах эти задачи решались с использованием разнообразных методов, которые, если оценить их с современных позиций, были неадекватны по нескольким причинам. Чтобы описать динамику отдельного ряда, достаточно было просто использовать одномерные модели временных рядов, а чтобы описать совместную динамику двух рядов — спектральный анализ. Однако отсутствовал общепринятый язык, пригодный для систематического описания совместных динамических свойств нескольких временных рядов. Экономические прогнозы делались либо с использованием упрощенных моделей авторегрессии — скользящего среднего (ARMA), либо с использованием популярных в то время больших структурных эконометрических моделей. К сожалению, в ряде исследований (которые подробно рассмотрены в первом издании (Granger and Newbold, 1977) ) большие структурные модели часто проигрывали моделям ARMA, если только большие модели не модифицировались при помощи специфических "добавочных факторов" [“add-factors”], выбираемых на основе каких-либо соображений самим прогнозистом. Структурный вывод основывался либо на малых моделях с одним уравнением (как "Сент-Луиская модель" [“St. Louis model”], которая выражала номинальные или реальные переменные в виде распределенного лага "экзогенных" переменных, таких как предложение денег), либо на больших моделях, идентификация в которых достигалась за счет плохо обоснованных исключающих ограничений, и которые обычно не включали ожидания. Анализ политики на основе структурных моделей зависел от этих идентифицирующих предположений и, как указано Лукасом в его известном критическом анализе (Lucas, 1978), инвариантность параметров по отношению к моделируемым изменениям политики в таких моделях была довольно сомнительна. Наконец, рост цен в 1970-е годы рассматривался многими как серьезная неудача больших моделей, которые в то время использовались для выработки политических рекомендаций. То есть это было подходящее время для появления новой макроэконометрической конструкции, которая могла бы решить эти многочисленные проблемы.

Кристофер Симс (Sims, 1980) создал такую конструкцию — векторные авторегрессии (VAR). На первый взгляд, VAR — не более, чем обобщение одномерной авторегрессии на многомерный случай, и каждое уравнение в VAR — не более, чем обычная регрессия по методу наименьших квадратов одной переменной на запаздывающие значения себя и других переменных в VAR. Но этот вроде бы простой инструмент дал возможность систематически и внутренне согласованно уловить богатую динамику многомерных временных рядов, а статистический инструментарий, который сопутствует VAR, оказался удобным и, что очень важно, его было легко интерпретировать. Как Симс (Sims, 1980) и другие исследователи утверждали в ряде влиятельных ранних статей, VAR обещали дать согласованный и надежный подход к описанию данных, прогнозированию, структурным выводам, и анализу политики.

В этой статье более чем через двадцать лет после появления VAR мы хотим оценить, оправдались ли эти надежды. Наш отклик неоднозначен. В области описания данных и прогнозирования VAR оказались мощными инструментами, которые теперь являются, и вполне заслуженно, частью общеупотребительного языка макроэкономики. Нам кажется, однако, что вклад VAR в структурный вывод и анализ политики оказался не столь впечатляющим. Фундаментальная проблема, которая обесценивала большие макроэкономические модели 1970-ых, — неубедительные идентифицирующие ограничения — не исчезла с появлением VAR. Для идентификации требуется использовать убедительную теорию или уже установленные факты. Статистический инструмент, подобный VAR, не может решить проблему идентификации, так же как статистические методы оценки одновременных уравнений не могли бы решить проблему идентификации в больших моделях. Хотя есть ряд примеров глубокой трактовки идентификации в VAR, слишком часто в литературе по VAR эту центральную проблему просто игнорируют.

Взгляд вовнутрь инструментария VAR¹

[¹Читатели, которые хотят познакомиться с темой более подробно, могут обратиться к учебнику Гамильтона (Hamilton, 1994) или к обзорной статье Ватсона (Watson, 1994).]

Три взаимосвязанных VAR-модели

Полезно выделить три различных VAR-модели: приведенная форма VAR, рекурсивная VAR и структурная VAR. Все три являются динамическими линейными моделями, которые связывают текущие и прошлые значения вектора Y_t n-мерного временного ряда. Приведенная форма и рекурсивные VAR — это статистические модели, которые не используют никакие экономические соображения за исключением выбора переменных. Эти VAR используются для описания данных и прогноза. Структурная VAR включает ограничения, полученные из макроэкономической теории, и эта VAR используется для структурного вывода и анализа политики.

Приведенная форма VAR выражает Y_t в виде распределенного лага прошлых значений плюс серийно некоррелированный член ошибки, то есть обобщает одномерную авторегрессию на случай векторов. Математически приведенная форма модели VAR — это система n уравнений, которые можно записать в матричной форме следующим образом:

Приведенная форма VAR: (1.1)

где a — это n´ l вектор констант, A₁, A₂, ..., A_p — это n´ n матрицы коэффициентов, а e_t, — это n´ l вектор серийно некоррелированных ошибок, о которых предполагается, что они имеют среднее ноль и матрицу ковариаций S_e. Ошибки e_t, в (1.1) — это неожиданная динамика в Y_t [surprise movements in Y_t], остающаяся после учета линейного распределенного лага прошлых значений. Если элементы Y_t являются эндогенными — а они эндогенны в прикладных макроэкономических моделях — тогда эта эндогенность обычно приводит к тому, что ошибки в приведенной форме модели являются коррелированными между уравнениями.

Оценить параметры приведенной формы VAR легко. Каждое из уравнений содержит одни и те же регрессоры (Y_t–1, ..., Y_t–p), и нет взаимных ограничений между уравнениями. Таким образом, эффективная оценка (метод максимального правдоподобия с полной информацией) упрощается до обычного МНК, примененного к каждому из уравнений.² Матрицу ковариаций ошибок S_e можно состоятельно оценить выборочной ковариационной матрицей полученных из МНК остатков.

[²Это случай так называемых внешне не связанных регрессий [seemingly unrelated regressions], SUR, проанализированных в Zellner (1964).]

Единственная тонкость — определить длину лага p, но это можно сделать, используя информационный критерий, такой как AIC или BIC (см. Lultkepohl,1993, ch. 4).

На уровне матричных уравнений рекурсивная и структурная VAR выглядят одинаково. Эти две модели VAR учитывают в явном виде одновременные взаимодействия между элементами Y_t, что сводится к добавлению одновременного члена [contemporaneous term] к правой части уравнения (1.1). Соответственно, рекурсивная и структурная VAR обе представляются в следующем общем виде:

Рекурсивная и структурная VAR: (1.2)

где b — вектор констант, B₀,..., B_p — матрицы, а h_t — ошибки.

Наличие в уравнении матрицы B₀ означает возможность одновременного взаимодействия между n переменными; то есть B₀ позволяет сделать так, чтобы эти переменные, относящиеся к одному моменту времени, определялись совместно. Из теории идентификации одновременных уравнений известно, что для идентифицируемости элементов B₀ необходимо иметь некоторые идентифицирующие ограничения. Рекурсивная VAR и структурная VAR обеспечивают эти идентифицирующие ограничения совершенно по разному: одна — механически, а другая — на основе экономической теории.

В рекурсивных VAR, идентификация достигается за счет того, что уравнения (1.2) считаются рекурсивными, то есть считается что элементы Y_t влияют на друг друга одновременно определенным рекурсивным образом. А именно, предполагается, что на первый элемент Y_t не влияет никакая другая переменная в системе, относящаяся к тому же моменту времени, на вторую переменную оказывает одновременное влияние только первая переменная, на третью переменную оказывают одновременное влияние только первые две переменные и т.д. Это означает, что ошибка метода наименьших квадратов в каждом уравнении должна быть некоррелирована с ошибками в предшествующих уравнениях. Таким образом, в рекурсивной VAR, h_t некоррелированы и по времени и по уравнениям. Рекурсивная VAR зависит от порядка следования переменных, так как изменение этого порядка меняет уравнения VAR, коэффициенты и ошибки.

Рекурсивную VAR можно оценить двумя способами. Рекурсивная структура дает набор рекурсивных уравнений, которые можно оценить с помощью МНК. Эквивалентный способ оценивания заключается в том, что уравнения приведенной формы (1.1), рассматриваемые как система, умножаются слева на нижнюю треугольную матрицу, множитель в так называемом разложении Холецкого для матрицы S_t.

[Примечание переводчика: Любую симметричную положительно полуопределенную матрицу — а значит, и любую ковариационную матрицу — можно представить в виде L¢ L (или LL¢ ), где L — нижняя треугольная матрица. То же верно и для верхней треугольной матрицы.]

Структурный VAR, получивший развитие в работах (Bernanke,1986), (Blanchard and Watson,1986) и (Sims, 1986), использует экономическую теорию для задания порядка одновременных связей между переменными. Как и в более общем случае моделей одновременных уравнений, здесь можно использовать либо подход с частичной информацией, либо подход с полной информацией [partial or full information approach]. Подход с частичной информацией сосредотачивается на идентификации коэффициентов при значениях Y_t, относящихся к одному моменту времени, в отдельном уравнении. Подход с полной информацией сосредотачивается на идентификации коэффициентов во всех уравнениях, то есть всех параметров системы. Теория одновременных уравнений говорит нам, что если используется подход с полной информацией, то мы должны иметь (по крайней мере) n(n–l)/2 ограничений, чтобы идентифицировать все элементы.

Метод оценивания структурной VAR зависит от того, как именно идентифицирована B₀. Подход с частичной информацией влечет использование методов оценивания для отдельного уравнения, таких как двухшаговый метод наименьших квадратов. Подход с полной информацией влечет использование методов оценивания для нескольких уравнений, таких как трехшаговый метод наименьших квадратов.

Полезно не забывать о множественности различных типов VAR. Приведенная форма VAR единственна. Данному порядку переменных в Y_t соответствует единственная рекурсивная VAR, но всего имеется n! таких порядков, т.е. n! различных рекурсивных VAR. Количество структурных VAR — то есть наборов предположений, которые идентифицируют одновременные взаимосвязи между переменными, — ограничено только изобретательностью исследователя.

Статистики VAR

Поскольку матрицы оцененных коэффициентов VAR затруднительно интерпретировать непосредственно, результаты оценивания VAR обычно представляют некоторыми функциями этих матриц. К таким статистикам относятся статистика теста причинности по Грейнджеру, функции реакции на импульсы [impulse response functions], и разложения ошибки прогноза.

С помощью статистики причинности Грейнджера определяют, помогают ли лаговые значения переменной, например Y_jt, предсказывать другую переменную, Y_it, при том условии, что используются запаздывающие значений всех остальных переменных кроме Y_jt. Статистика причинности по Грейнджеру — это F-статистика для гипотезы о том что запаздывающие значения j-й переменной могут быть исключены из i-го уравнения в приведенной форме VAR. Отклонение этой гипотезы указывает на то, что эти лаги могут быть полезны для предсказания Y_it.

Функции реакции на импульсы вычисляются в основном на основе рекурсивной и структурной форм VAR (1.2). Функция реакции на импульсы — это частная производная Y_j,t+k по отдельному шоку в момент t при постоянстве всех других шоков, рассматриваемая как функция горизонта k. Все вместе эти функции реакции на импульсы связывают текущее значение ошибки с будущими значениями Y_t, или, другими словами, текущие и прошлые значения ошибки с текущими значениями Y_t.

Разложения дисперсии ошибки прогноза также вычисляются в основном для рекурсивных или структурных систем. Такое разложение дисперсии показывает, насколько ошибка в j-м уравнении важна для объяснения неожиданных изменений i-й переменной. Когда ошибки VAR некоррелированы по уравнениям, дисперсию ошибки прогноза на h периодов вперед можно записать как сумму компонентов, являющихся результатом каждой из этих ошибок.

Малая VAR, оцененная по США. Макроэкономические данные

Мы проиллюстрируем эти методы, рассмотрев приведенную форму, рекурсивную и структурную VAR для трех переменных: темпов инфляции (p_t),, безработицы (u_t), и ставки процента (R_t, а именно, федеральной ставки по краткосрочным кредитам [Federal Funds rate]) по США. Все три VAR были оценены, используя ежеквартальные данные за период 1960:I — 2000:IV³ и включают четыре лага каждой из переменных.

[³Данные по инфляции рассчитывались как p_t = 400 ln(P_t/P_t–1) где P_t — chain-weighted??? индекс цен ВВП, а u_t — уровень безработицы среди гражданского населения. Поквартальные данные по u_t и R_t получены как квартальные средние их месячных значений.]

Мы проверим возможности этих VAR, применив их к четырем макроэконометрическим задачам. Во-первых, мы используем приведенную форму VAR и рекурсивную VAR для описания совместной динамики этих трех рядов. Во-вторых, мы используем приведенную форму VAR для предсказания этих переменных, и оценим результаты сравнением с некоторыми альтернативными эталонными моделями. В-третьих, мы используем несколько различных схем идентификации, чтобы оценить, как сказывается неожиданное изменение краткосрочных ставок на будущих темпах инфляции и безработицы, то есть оценим структурную реакцию на импульсы инфляции и безработицы по отношению к неожиданным изменениям монетарной политики. Наконец, мы обсудим, как можно использовать структурный VAR для анализа политики.

Описание данных

Описательные статистики приведены в Таблице 1,⁴ статистика причинности по Грейнджеру показывает, что уровень безработицы помогает предсказывать инфляцию, при уровне значимости 5% (p-значение равно 0.02), а федеральная ставка — нет (p-значение равно 0.27). Инфляция не помогает предсказывать уровень безработицы, а федеральная ставка помогает. И инфляция и уровень безработицы помогают предсказывать федеральную ставку.

[⁴Эти вычисления были произведены, используя пакет RATS. Другие стандартные эконометрические пакеты (EViews, TSP и др.) также позволяют это сделать.]

Таблица 1
Описательные статистики VAR для (p, u, R)

A. Тест причинности по Грейнджеру

Примечания: В таблице показаны p-значения для F-тестов, что лаги переменной из строки с пометкой "Регрессор", не входят в приведенную форму уравнения для переменной из столбца с пометкой "Зависимая переменная". Вычислено по VAR с 4 лагами для выборочного периода 1960:I — 2000:IV.

B. Разложения дисперсии из рекурсивной VAR
Порядок переменных: p, u, R

B.i. Разложение дисперсии p

B.ii. Разложение дисперсии u

B.iii. Разложение дисперсии R

Примечания: Вычислено по VAR с 4 лагами для выборочного периода 1960:I — 2000:IV.

Реакция на импульсы для рекурсивной VAR в которой переменные идут в порядке p_t, u_t, R_t, изображена на Рис. 1. На рисунке также изображены полосы шириной в ± 1 стандартную ошибку, которые соответствуют приблизительно 66%-му доверительному интервалу для каждого из значений реакции на импульсы. Эти оцененные реакции на импульсы показывают наличие продолжительных совместных колебаний во всех трех рядах. Первый ряд рисунка показывает, что ошибка прогноза в уравнении инфляции ведет к продолжительному росту инфляции, уровня безработицы и федеральной процентной ставки. Разложения дисперсии (приведенные в Таблице 1) указывают на существенность взаимодействия между переменными. Например, при горизонте в 12 кварталов 75% ошибки в прогнозе федеральной процентной ставки приходится на шоки инфляции и безработицы в рекурсивной VAR.

Рисунок 1
Реакции на импульсы в рекурсивной VAR "инфляция — безработица — ставка процента"

Прогноз

Показатели для прогноза на несколько периодов, вычисленного повторением приведенной формы VAR со сдвигом вперед, приведены в Таблице 2. Поскольку самая важная проверка прогнозной модели связана с прогнозом за пределами выборки, Таблица 2 посвящена имитированным вневыборочным прогнозам [simulated out-of-sample forecasts] за период 1985:I — 2000:IV. Имитированный вневыборочный прогноз на h шагов вперед вычислен следующим образом: VAR оценивалась вплоть до данного квартала, делался прогноз на h шагов, затем VAR снова оценивалась вплоть до следующего квартала, делался следующий прогноз, и так далее до конца имитированного прогнозного периода. Для сравнения имитированные вневыборочные прогнозы были также рассчитаны по одномерной авторегрессии с четырьмя лагами и по модели случайного блуждания. Прогнозы для темпов инфляции относятся к среднему значению инфляции за прогнозный период, а прогнозы уровня безработицы и ставки процента — к заключительному кварталу прогнозного периода.

Таблица 2
Средние квадратические ошибки имитированных вневыборочных прогнозов
1985:I — 2000:IV

Примечания: В таблице показаны средние квадратические ошибки прогнозов, вычисленных рекурсивно для одномерной и векторной авторегрессий (каждая — с 4 лагами) и для модели случайного блуждания. Результаты для случайного блуждания и одномерной авторегрессии показаны в столбцах, обозначенных RW и AR соответственно. Каждая модель была оценена, используя данные с 1960:I до начала прогнозного периода. Прогнозы темпов инфляции — для среднего значения инфляции за период. Прогнозы уровня безработицы и ставки процента — для заключительного квартала прогнозного периода.

Результаты, приведенные в Таблице 2 указывают на то, что, в зависимости от переменной, VAR прогнозирует не хуже или лучше, чем одномерная авторегрессия, и обе модели прогнозируют лучше, чем модель случайного блуждания. VAR наименее успешна в случае одномерной авторегрессии для инфляции, и наиболее успешна в случае федеральной ставки процента.

Структурный вывод

В течение десятилетий один из центральных эмпирических вопросов в макроэкономике состоял в том, чтобы оценить влияние изменения инструмента монетарной политики на будущую инфляцию и экономическую активность. В контексте нашей малой модели VAR, это соответствует оценке влияния неожиданного увеличения федеральной ставки процента на темпы инфляции и безработицы, то есть функциям реакции на импульсы темпов инфляции и безработицы на данный шок монетарной политики. Это, в свою очередь, означает, что нужно оценить структурную VAR.

Мы придерживаемся подхода с частичный информацией, когда идентифицировано только одно уравнение (правило монетарной политики) и один набор реакций на импульсы (реакция Y_t на монетарный шок).⁵ Наш частичный подход к идентификации опирается на два постулата: во-первых, Федеральный резервный банк последовательно придерживается определенного правила монетарной политики, а именно, правила Тейлора (Taylor,1993), и, во-вторых, неожиданные отклонения от этого правила монетарной политики полностью зависят от действий Федеральной резервной системы, которые некоррелированы с другими шоками в экономике.

[⁵Детальное обсуждение подходов к идентификации с ограниченной и полной информацией в монетарных VAR можно найти в обзорной статье Christiano, Eichenbaum and Evans (1999).]

Первый постулат — что Федеральная резервная система использует правило Тейлора — идентифицирует коэффициенты из B₀ в уравнении для R_t в структурной VAR (1.2). Согласно исходному правилу Тейлора (Taylor, 1993), Федеральная резервная система устанавливает федеральную процентную ставку по формуле R_t = r^* + 1.5 (` p<sub>t</sub> – p<sub>t</sub><sup>*</sup>) + 0.5` x_t, где r^* — равновесная ставка процента, p^* — запланированный темп инфляции, ` x<sub>t</sub> — расхождение в объеме производства [output gap], а ` p_t, (` x<sub>t</sub>) обозначает среднее значение p<sub>t</sub>, (x<sub>t</sub>) за текущий и три предыдущих квартала. Поскольку наша модель использует уровень безработицы, а не расхождение в объеме производства, мы превращаем коэффициент 0.5 при ` x_t в коэффициент –1.25 при отклонении уровня безработицы от естественного уровня, u^*, применяя коэффициент 2.5 из закона Окуна [Okun’s law]. Соответственно, в нашей системе правило Тейлора приобретает следующий вид:

(1.3)

[Примечание переводчика: Эмпирический закон, сформулированный Окуном, постулирует связь между ростом производства и изменением уровня безработицы: рост реального ВВП на 1%, как правило, связан с уменьшением уровня безработицы на 0.4 процентных пункта. См. Okun, A. M. (1962) Potential GNP: Its measurement and significance," American Statistical Association, Proceedings of the Business and Economics Section, pp. 98-103.]

Коэффициенты правила Тейлора (разделенные на четыре из-за усреднения по кварталам) — это элементы B₀ в уравнении для ставки процента в структурном VAR.

Второй из постулатов — что ошибка в уравнении для R_t в структурном VAR является шоком монетарной политики — служит для того, чтобы идентифицировать функцию реакции на импульсы Y_t по отношению к шоку монетарной политики. Шок монетарной политики (обозначим его h_t^R) является той составной частью отклонения фактических ставок процента от правила Тейлора, которое является неожиданным с точки зрения информации о запаздывающих значениях Y_t, и этот шок можно оценить остатком МНК, ^{^}h_t^R из регрессии R_t – 1.5` p<sub>t</sub> + 1.25` u_t по константе и Y_t–1, ..., Y_t–p. Поскольку предполагается, что h_t^R некоррелированы с другими структурными шоками, коэффициенты проекции наименьших квадратов Y_t на этот шок и его лаги — это просто коэффициенты реакции на импульсы.⁶

[⁶Таким образом, функция реакции на импульсы может быть оценена МНК регрессией Y_t на ^{^}h_t^R и ее лаги, хотя на практике удобно получать оценки из рекурсивной VAR с переменными (R_t – 1.5` p<sub>t</sub> + 1.25` u_t, p_t, u_t).]

Толстая сплошная линия на Рис.2 показывает реакцию на импульсы темпов инфляции и безработицы и фактической реальной ставки процента (R_t – p_t) на увеличение номинальной федеральной ставки процента на один процентный пункт длительностью в один квартал, при расчете которой для идентификации использовалось правило Тейлора (1.3). Эти реакции на импульсы указывают на значительную инерцию в системе. Из-за динамики системы это первоначальное увеличение ставки приводит в результате к реальной ставке процента, превышающей 50 сотых процентного пункта [50 basis points] в течение шести кварталов. Хотя инфляция в конечном счете уменьшается примерно на 0.3 процентных пункта, запаздывание здесь большое, и бо¢льшая часть воздействия происходит на третий год после сокращения. Аналогично, темп безработицы повышается примерно на 0.2 процентных пункта, но бо¢льшая часть экономического замедления приходится на третий год после повышения ставки.

Рисунок 2
Реакции на импульсы шоков монетарной политики для разных идентифицирующих предположений по правилу Тейлора

Эти функции реакции на импульсы были идентифицированы в предположении, что Федеральная резервная система следует исходному правилу Тейлора. Недавно, однако, исследователи внимательнее взглянули на это правило и выдвинули предположение, что, по видимому, это не самое удачное описание поведения Федеральной резервной системы. Например, правило Тейлора утверждает, что Федеральная резервная система смотрит на средние значения инфляции и расхождения в объеме производства за последние четыре квартала, но, возможно, Федеральная резервная система вместо этого принимает во внимание два или три последних квартала. Кроме того, правило Тейлора является в чистом виде ретроспективным [backwards looking], однако ясно, что руководство Федеральной резервной системы интересует будущее направление инфляции и экономической активности; поэтому правило Тейлора, основанное на ожидаемой инфляции и экономической активности могло бы лучше описывать фактическое поведение ФРС.

Из-за этой неоднозначности мы оцениваем отклик на импульсы инфляции, выпуска и реальной ставки процента по отношению к шокам монетарной политики для трех вариантов правила Тейлора: (i) правило (1.3), где` p<sub>t</sub> и` u_t сглажены за два квартала, а не за четыре; (ii) правило (1.3), где p_t и` u<sub>t</sub> заменены ожиданиями на момент t их значений для четырех последующих кварталов, E<sub>t`</sub> p_t+4 и E_t` u_t+4; и (iii) правила (ii), основанного на сглаживании по двум, а не четырем кварталам.

Результаты также показаны на Рис 2. Фактические отклики на импульсы реальной ставки процента довольно схожи для всех схем идентификации, но, из-за различий в воздействии на инфляцию, исходное увеличение реальных ставок, связанное с одним и тем же шоком в номинальных процентных ставках, различается для разных моделей. Оцененные отклики инфляции и безработицы на шоки монетарной политики резко различаются для разных схем идентификации. Разница довольно значительна: в одном случае, согласно прогнозу, уровень безработицы повыситься на 0.7 процентных пункта в пределах двух лет; в другом случае максимальный прирост уровня безработицы — 0.1 процентных пункта. При одних идентифицирующих предположениях прогнозируемый темп инфляции должен остаться почти постоянным в течении двух лет, а потом упасть на 0.3 процентных пункта, а при других идентифицирующих предположениях — первоначально резко снизиться, затем колебаться, и в конечном счете уменьшиться на 0.7 процентных пункта.

Анализ политики

Эта монетарная модель VAR может, в принципе, использоваться для анализа двух типов политики: неожиданного монетарного вмешательства, или последовательности таких вмешательств, рассматриваемых как возмущения относительно действующего правила экономической политики; и изменения правила политики, например, переход от правила Тейлора к планированию темпов инфляции.

Если под вмешательством подразумевается неожиданная "инновация" в федеральной ставке длительностью в один квартал, то оценка влияния этой политики на будущие темпы инфляции и уровень безработицы может быть получена из функций отклика на импульсы, показанных на Рис. 2. Связанная политика — когда ФРС увеличивает федеральную ставку на, скажем, 50 сотых процентных пункта и сохраняет это увеличение в течение одного года. В контексте VAR эта политики может осуществляться [can be engineered] при помощи правильной последовательности инноваций монетарной политики которые бы удерживали R_t на этом постоянном уровне в течение четырех кварталов. Моделирование такой политики по существу сводится к вычислению соответствующих взвешенных средних текущих и прошлых значений функций отклика на импульсы на Рис. 2.⁷

[⁷Подробности вычислений обсуждаются в (Sims, 1982) и (Waggoner and Zha, 1998).]

Анализ второго типа политики более сложен. Один из способов оценить возможное новое правило политики — спросить, каково будет влияние монетарных и немонетарных шоков на экономику при новом правиле. Так как этот вопрос связан со всеми структурными возмущениями, для ответа на него требуется иметь полную макроэкономическую модель, определяющую одновременно все переменные. Для этого нужно сначала оценить структурную VAR, в которой все уравнения (все элементы B₀) идентифицированы, затем зафиксировать все коэффициенты VAR кроме тех, которые соответствуют предлагаемому правилу монетарной политики. Полученная новая структурная модель и функции отклика на импульсы характеризуют поведение переменных при данном правиле экономической политики.

Как хорошо VAR выполняют четыре задачи?

Мы теперь перейдем к оценке того, как VAR выполняет четыре макроэконометрических задачи, и подчеркнем как успехи, так и недостатки методов VAR. Некоторые из недостатков — это технические проблемы, в отношении которых активно ведутся исследования. Некоторые из недостатков, однако, порождены трудными концептуальными проблемами, связанными с идентификацией и связью структурных VAR с экономической теорией.

Описание данных

Поскольку VAR моделируют полную автоковариационную функцию векторного временного ряда Y_t, они заключают в себе всю динамическую информацию о безусловных вторых моментах. Графические методы для описания этой информации, такие как отклики на импульсы в рекурсивной системе общеприняты и широко используются. Поскольку VAR моделируют многомерный временной ряд, они улавливают тонкости совместной динамики переменных, которые нельзя обнаружить, используя одномерные или двумерные методы. Поскольку VAR не накладывают ограничения, они являются альтернативными моделями, в сравнении с которыми можно оценивать структурные экономические модели с ограничениями, такие как модели, основанные на оптимизирующем поведении в стохастическом окружении.

Однако изложенные здесь методы VAR имеют некоторые ограничения. Одно состоит в том, что построение стандартных доверительных интервалов для функций отклика на импульсы VAR опирается на стационарность Y_t. Если, однако, один или несколько характеристических корней VAR лежат вблизи единичной окружности, так что VAR содержит или почти содержит единичный корень, то стандартные доверительные интервалы могут быть весьма неудовлетворительными. Хотя некоторые бутстреп-методы могут несколько улучшить ситуацию (Kilian, 1999), способы решения этой проблемы, которые бы являлись полностью удовлетворительными теоретически, труднодостижимы (Stock, 1997, Wright, 2000).

Другое ограничение состоит в том, что без модификации VAR моделируют только первые и вторые моменты Y_t, то есть не учитывают нелинейности, условную гетероскедастичность, тренды или изломы в параметрах и более высокие моменты. Если, однако, исследователь держит в голове некую нелинейную структуру, то можно модифицировать VAR так, чтобы учесть некоторые из этих особенностей, поскольку VAR — достаточно гибкая конструкция.

Прогноз

Маленькие VAR, подобные нашей трехмерной системе, стали эталоном, в сравнении с которым оцениваются новые системы прогнозирования.

Главное различие между современными системами прогнозирования на основе VAR и нашей маленькой моделью заключается в количестве переменных, используемых для прогноза. Добавление переменных к VAR создает существенные трудности, поскольку количество параметров VAR увеличивается пропорционально квадрату количества переменных: в случае девяти переменных и четырех лагов VAR имеет 333 неизвестных коэффициента (включая константы). Очевидно, что количество степеней свободы быстро сокращается, что приводит к оценкам с высокой дисперсией и неточными прогнозами.

Один из способов контролировать количество параметров в больших VAR моделях состоит в том, чтобы наложить общую структуру на коэффициенты используя байесовские или эмпирические байесовские методы. Пионерами этого подхода были Литтерман (Litterman, 1986) (шесть переменных) и Симс (Sims, 1993) (девять переменных). Эти усилия окупились, и эти системы прогнозирования продемонстрировали хорошие результаты в построении прогнозов в режиме реального времени (McNees, 1990). По мере роста числа переменных проблемы с вычислениями и моделированием становятся очень сложными, но развиваются численные методы для работы с системами средней размерности (например, модель с восемнадцатью переменными (Leeper, Sims and Zha, 1996)).

При прогнозировании чрезвычайно важно гарантировать, чтобы модель продолжала описывать данные и в будущем, то есть чтобы она оставалась устойчивой за пределами выборки. Опыт использования малых систем показывает, что двумерные и трехмерные VAR очень часто оказываются неустойчивыми (Stock and Watson, 1996). Современные системы прогнозирования на основе VAR, такие как описанная Симсом (Sims, 1993), принимают во внимание изменение параметров во времени, чтобы уловить существенные тренды в коэффициентах.

Структурный вывод

В нашей трехмерной VAR в предыдущем параграфе, оценки влияния шока монетарной политики на темпы инфляции и уровень безработицы зависят от особенностей правила монетарной политики, которому следует ФРС. Даже небольшие изменения в предполагаемом правиле привели к существенным изменениям в оценках влияния монетарного вмешательства. Более значительные изменения в правиле, такие как учет только текущей инфляции и безработицы, а не средних прошлых значений этих переменных, приводят к откликам на импульсы, которые сильно отличаются от изображенных на Рис. 2. Другими словами, оценки структурных откликов на импульсы зависят от знания институциональных подробностей того, как ФРС устанавливает процентные ставки.

Хотя, может быть, количественные результаты, отображенные на Рис. 2, не следует распространять на другие модели VAR, но можно сделать один достаточно общий вывод: получаемые вами результаты зависят от ваших идентифицирующих предположений. Этот вывод, конечно, не нов. Он лежит в основе всей теории эконометрического вывода в системах одновременных уравнений. Поэтому более интересен вопрос о том, является ли идентификация в VAR более легкой или более сложной, чем в других эконометрических моделях. То есть являются ли идентифицирующие предположения VAR более надежными?

Надежность идентифицирующих предположений VAR — предмет горячих дебатов и подробно обсуждается в ряде работ (Leeper, Sims and Zha, 1996, Christiano, Eichenbaum and Evans, 1999, Cochrane, 1998, Rudebusch, 1998 и Sims,1998). Ниже перечислены пять важных критических замечаний, относящихся к структурному VAR-моделированию:

1. Как и в регрессионном анализе в целом, VAR подвержены смещению из-за пропущенных переменных. С точки зрения откликов на импульсы монетарной политики это означает, что решения Федеральной резервной системы основаны на многих переменных, только некоторые из которых присутствуют в VAR, так что влияние монетарной политики в VAR отличается от фактического влияния монетарной политики.
2. Предположения о времени в VAR не обязательно отражают реальный временной порядок поступления данных, что создает трудности для обычного метода получения идентифицирующих ограничений, основанного на предположениях о порядке во времени.
3. Техническая проблема, на которую указали Пэйган и Робертсон (Pagan and Robertson, 1998), возникает уже после того, как система была идентифицирована, когда производится оценивание на основе методов инструментальных переменных. Пэйган и Робертсон (1998) утверждают, что в многих случаях, эти инструменты слабо коррелированы с включенными эндогенными переменными; то есть они являются слабыми инструментами, и оцененные коэффициенты могут быть крайне смещенными. Даже если идентификация осуществлена верно, оценки и стандартные ошибки могут быть ошибочны.
4. Правила политики меняются с течением времени, и формальные статистические проверки часто указывают на наличие неустойчивости в VAR малой размерности (Stock and Watson, 1996). Структурные VAR с постоянными параметрами, которые упускают эту неустойчивость, являются ошибочно идентифицированными.
5. С первых дней VAR было признано, что стандартные функции реакции на импульсы имеют неотличимых [observationally equivalent] "близнецов", которые являются необратимыми (имеют так называемые нефундаментальные ошибки [nonfundamental errors]) (Hansen and Sargent, 1991, Lippi and Reichlin, 1993). В некоторых моделях с ожиданиями эти нефундаментальные представления фактически представляют собой истинные структурные функции реакции на импульсы, и сделать здесь правильный выбор можно только задав точно структурную модель с ожиданиями, которая ведет к конкретной схеме идентификации.

Возможно наиболее впечатляющее из критических замечаний Рудебуша (Rudebusch, 1998) — эмпирическое изучение монетарных моделей, разработанных двумя группами видных исследователей в области VAR (Christiano, Eichenbaum and Evans, 1997 и Sims and Zha, 1995). Эти две модели VAR имеют весьма похожие отклики на импульсы выпуска и инфляции по отношению к шокам монетарной политики. Но, анализируя прошлую динамику шоков монетарной политики в этих двух системах, Рудебуш обнаружил, что эти шоки по существу некоррелированы (регрессия одного поквартального ряда шоков на другой за период 1988:IV — 1995:I дала R² равный 0.00). Возможно, что оба эти совершено разные ряда являются компонентами истинного ряда шоков монетарной политики, чем можно было бы объяснять эти результаты (Sims, 1998). Однако не столь мягкая интерпретация Рудебуша (1998) состоит в том, что исследователи исходили из определенной формы откликов на импульсы — монетарное сокращение приводит к спаду и сокращает инфляцию с большой задержкой — и что только после достаточно продолжительного поиска среди различных спецификаций и идентифицирующих предположений они пришли к различным предположениям, которые дали этот (один и тот же) желаемый результат.

До сих мы тщательно различали рекурсивные и структурные VAR: рекурсивные VAR используют произвольный механический метод идентификации B₀, в то время как структурные VAR используют экономическую теорию. К сожалению, в эмпирической литературе различие часто не очевидно. Заманчиво строить экономические "теории", которые дают специфическое рекурсивное упорядочение переменных, так что их "структурная" VAR упрощается до рекурсивной VAR — структура называемая причинной цепью Вольда. Как нам кажется, исследователи уступают к этому искушению слишком уж часто. В трехмерной VAR предыдущей секции, например, мы могли бы отстаивать следующую "теорию": инфляция не реагирует на изменение уровня безработицы в пределах квартала; уровень безработицы реагирует на инфляцию в пределах квартала; инновации монетарной политики не оказывают немедленного воздействия на темпы инфляции или безработицы, они действуют с запозданием; и, наконец, ФРС ориентируется как на инфляцию, так и на безработицу, когда устанавливает ставки процента. Эта "сказка" могла бы на первый взгляд показаться правдоподобной: цены изменяются медленно [are sticky], монетарная политика, возможно, осуществляется с задержкой и ФРС должна использовать все в имеющиеся в ее распоряжении данные. Эта "сказка", доказывает, что рекурсивная VAR (в порядке p_t, u_t, R_t) фактически является структурной VAR, что весьма удобно. Но если немного поразмышлять, то станет ясно, что микрооснования у этой теории отсутствуют. Современная литература по ценообразованию подчеркивает важность ожиданий при установлении цен (см. напр. Clarida, Gali and Gertler, 1999). Текущее производство, а тем самым занятость и безработица, также определяются исходя из ожидаемого спроса и текущий или ожидаемой будущей процентной ставки (ср. Sims, 1980, section 1). Эти соображения ведут к совсем другим структурным спецификациям, чем спецификация, подсказываемая рекурсивной VAR. Редко имеет смысл сменить обертку рекурсивной VAR и продать ее как структурную.

Возможны ли правдоподобные идентифицирующие предположения в VAR? По-видимому, да. Один из подходов состоит в том, чтобы использовать детальную информацию об институтах. Пример этого — анализ Бланшаром и Перотти (Blanchard and Perotti, 1999) макроэкономических последствий финансовой политики (налогов и правительственных расходов). Они утверждают, что налоговый кодекс и правила расходования налагают жесткие ограничения на то, как налоги и расходы изменяются в пределах квартала, и они используют эти ограничения, чтобы выделить экзогенную составляющую в налогах и расходах, необходимую для причинного анализа. Другой пример — Бернанке и Михов (Bernanke and Mihov, 1998), которые использовали модель рынка резервов, для идентификации шоков монетарной политики. Другой подход к идентификации состоит в использовании долгосрочных ограничений для идентификации шоков, например Кинг, Плоссер, Сток и Ватсон (King, Plosser, Stock and Watson, 1991) идентифицируют монетарные шоки, налагая долгосрочную нейтральность денег. Однако, использование таких ограничений — дело тонкое, поскольку это ограничения на бесконечное будущее, о котором мы не можем получить информации, исходя из конечных рядов данных (ср. Faust and Leeper, 1997).

Другой подход состоит в том, чтобы в явном виде признать наличие неопределенности в отношении идентифицирующих предположений и посмотреть, какие выводы, или диапазон выводов, при этом все еще можно сделать. Например, Кинг и Ватсон (King and Watson, 1994) изучили робастность в двумерной модели кривой Филлипса, включающей инфляцию и уровень безработицы. Поскольку модель двумерная, для ее идентификации необходимо всего одно ограничение, и поэтому ясно, как исследовать чувствительность результатов к этому единственному ограничению, но, к сожалению, их подход трудно обобщить на большие VAR. Фауст (Faust, 1998) выбрал совсем другой подход: он предположил, что из теории следуют ограничения в виде неравенств непосредственно на отклики на импульсы (например, что монетарное сокращение не может вызвать подъем деловой активности). Он показал, что такие ограничения можно использовать для получения границ для разложений дисперсии ошибки прогноза. К сожалению, подход Фауста не позволяет получать оценки откликов на импульсы.

Анализ политики

Вспомним, что с помощью VAR можно анализировать два типа политики: "одноразовые" инновации, при которых правила не меняются; и изменения правил политики. Оценки результатов одноразовых инноваций — это просто функция функции реакции на импульсы по отношению к инновациям в политике, так что возможные ловушки, связанные с VAR-оценками этих результатов, такие же, как ловушки, связанные с оценками структурных функций реакции на импульсы, обсуждавшиеся выше.

Однако все гораздо сложнее, если требуется оценить влияние изменения правил политики, поскольку тогда структурный VAR должен быть, так сказать, целиком структурным; то есть коэффициенты VAR должны быть инвариантны к рассматриваемому изменению политики. Если истинные структурные уравнения содержат ожидания (скажем, кривую Филлипса с ожиданиями), то ожидания будут зависеть от правила политики, и поэтому соответствующие коэффициенты B₀ во всех уравнениях будут зависеть от этого правила. Это только один из вариантов "критики Лукаса" (Lucas, 1978). Эти критические замечания приложимы также к ситуации, когда последовательность одноразовых шоков необходима для того, чтобы поднять ставки процента на 50 сотых процентных пункта на срок в один год. Практическая значимость критики Лукаса для подобного рода VAR-анализа политики требует обсуждения.

Итоги двадцатилетия VAR

Модели VAR — это мощные инструменты описания данных и построения надежных многомерных эталонных прогнозов. Техническая работа еще остается; особенно это относится к разработке методов получения более надежных стандартных ошибок в ситуациях, когда ряды сильно инерционны, а также к распространению моделей VAR на более высокие измерения и более богатые нелинейные структуры. Но даже и без этих важных расширений модели VAR внесли серьезный вклад в инструментарий макроэконометрики с точки зрения решения этих двух задач.

Не столь очевидно, внесли ли двадцать лет VAR серьезный вклад в структурный вывод и анализ политики. Структурные VAR могут улавливать глубокие динамические свойства многомерного временного ряда, но их качество прямо зависит от качества используемых схем идентификации. Кроме того, поскольку ожидания не учитываются [are solved out], провести убедительный анализ политики, используя VAR, особенно трудно.

Слишком часто бывает, что идентифицирующие предположения в структурных VAR не более правдоподобны, чем идентифицирующие предположения в структурных макроэконометрических моделях 1970-х годов, то есть в тех моделях, которые VAR были призваны заменить. В некоторых областях экономики, таких как экономика труда и общественные финансы, можно добиться достаточно достоверной идентификации, находя естественные эксперименты, которые бы позволили вычленить некоторую часть экзогенных изменений из соотношения, которое в противном случае было бы обременено проблемами эндогенности и селективности. К сожалению, подобного рода естественные эксперименты редки в экономике. Развитие и комбинирование хорошей теории и институциональных особенностей с гибкими статистическими методами, такими как VAR, требует в новом столетии напряженной работы от макроэкономистов.

Ссылки

Bernanke, Ben S. 1986. “Alternative Explorations of the Money-Income Correlation.” Carnegie-Rochester Conference Series on Public Policy. 25, pp. 49 – 99.

Bernanke, Ben S. and Ilian Mihov. 1998. “Measuring Monetary Policy.” Quarterly Journal of Economics. 113, pp. 869-902.

Blanchard, Olivier J., and Mark W. Watson. 1986. “Are Business Cycles All Alike?” in The American Business Cycle. R.J. Gordon, editor. Chicago: University of Chicago Press.

Blanchard, Olivier J. and R. Perotti. 1999. “An Empirical Characterization of the Dynamic Effects of Changes in Government Spending and Taxes on Output,” NBER Working Paper.

Clarida, Richard, Jordi Gali, and Mark Gertler. 1999. “The Science of Monetary Policy: A New Keynesian Perspective.” Journal of Economic Literature. 37, pp. 1661-1734.

Christiano, Lawrence J., Martin Eichenbaum, and Charles L. Evans. 1997. “Sticky Price and Limited Participation Models: A Comparison.” European Economic Review. 41, pp. 1201 – 1249.

Christiano, Lawrence J., Martin Eichenbaum, and Charles L. Evans. 1999. “Monetary Policy Shocks: What Have We Learned and To What End?” in Handbook of Macroeconomics, Volume 1A. Chapter 2, 65 –148.

Cochrane, John H. 1998. “What do the VARs Mean?: Measuring the Output Effects of Monetary Policy.” Journal of Monetary Economics. 41:2, pp. 277-300.

Faust, Jon. 1998, “The Robustness of Identified VAR Conclusions About Money.” Carnegie-Rochester Conference Series on Public Policy, 49,pp. 207-244.

Faust, Jon and Eric M. Leeper. 1997. “When Do Long-Run Identifying Restrictions Give Reliable Results?” Journal of Business and Economic Statistics. 345 – 353.

Granger, Clive W. J. and Paul Newbold. 1977. Forecasting Economic Time Series, first edition. New York: Academic Press.

Hamilton, James D. 1994 Time Series Analysis. Princeton University Press: Princeton.

Hansen, Lars P. and Thomas J. Sargent. 1991. “Two problems in Interpreting Vector Autoregressions.” in Rational Expectations Econometrics. Lars P. Hansen and Thomas J. Sargent, editors. Boulder: Westview.

Kilian, Lutz. 1999. “Finite-Sample Properties of Percentile and Percentile-t Bootstrap Confidence Intervals for Impulse Responses. The Review of Economics and Statistics. 81, pp. 652 – 660.

King, Robert G. and Mark W. Watson. 1994. “The Post-War U.S. Phillips Curve: A Revisionist Econometric History.” Carnegie-Rochester Conference on Public Policy. 41, pp 157-219.

King, Robert G., Charles. I. Plosser, James H. Stock, and Mark W. Watson. 1991. "Stochastic Trends and Economic Fluctuations." American Economic Review. 81, no. 4, pp. 819-840.

Leeper, Eric M., Christopher A. Sims, and Tao Zha. 1996. “What Does Monetary Policy Do?” Brookings Papers on Economic Activity. 1996(2), pp. 1 – 63.

Lippi, Marco and Lucrezia Reichlin. 1993. “The Dynamic Effects of Supply and Demand Disturbances: Comment.” American Economic Review. 83, pp. 644-52.

Litterman, Robert B. 1986. “Forecasting With Bayesian Vector Autoregressions – Five Years of Experience.” Journal of Business and Economic Statistics. 4, 25 – 38.

Lucas, Robert E., Jr. 1978. “Macro-economic Policy Evaluation: A Critique.” Carnegi-Rochester Conference Series on Public Policy. 1, pp. 19 – 46.

Lütkepohl, Helmut. 1993. Introduction to Multiple Time Series Analysis, second edition. Berlin: Springer-Verlag.

McNees Stephen K. 1990. “The Role of Judgment in Macroeconomic Forecasting Accuracy.” International Journal of Forecasting. 6, pp. 287-299.

Pagan, Adrian R. and John C. Robertson. 1998. “Structural Models of the Liquidity Effect.” The Review of Economics and Statistics. 80, pp. 202 – 217.

Rudebusch, Glenn D. 1998. “Do Measures of Monetary Policy in a VAR Make Sense?” International Economic Review. 39, pp. 907 – 931.

Sims, Christopher A. 1980. “Macroeconomics and Reality,” Econometrica. 48, pp. 1-48.

Sims, Christopher A. 1982. “Policy Analysis With Econometric Models.” Brookings Papers on Economic Activity. pp. 107-152.

Sims, Christopher A. 1986. “Are Forecasting Models Usable for Policy Analysis?” Federal Reserve Bank of Minneapolis Quarterly Review. Winter, pp. 2 – 16.

Sims, Christopher A. 1993. “A Nine Variable Probabilistic Macroeconomic Forecasting Model.” in NBER Studies in Business Cycles Volume 28, Business Cycles, Indicators, and Forecasting. James H. Stock and Mark W. Watson, editors. Chicago: University of Chicago Press. pp. 179-214.

Sims, Christopher A. 1998. “Comment on Glenn Rudebusch’s ‘Do Measures of Monetary Policy in a VAR Make Sense?’” (with reply). International Economic Review. 39, pp. 933 – 948.

Leeper, Eric M., Christopher A. Sims, and Tao Zha. 1996. “What Does Monetary Policy Do?” Brookings Papers on Economic Activity. 1996(2), pp. 1 – 63.

Sims, Christopher A. and Tao Zha. 1995. “Does Monetary Policy Generate Recessions?” manuscript, Federal Reserve Bank of Atlanta.

Stock, James H. 1997. “Cointegration, Long-Run Comovements, and Long-Horizon Forecasting,” in Advances in Econometrics: Proceedings of the Seventh World Congress of the Econometric Society, vol. III. David Kreps and Kenneth F. Wallis, editors. Cambridge: Cambridge University Press, pp. 34-60.

Stock, James H. and Mark W. Watson. 1996. “Evidence on Structural Instability in Macroeconomic Time Series Relations.” Journal of Business and Economic Statistics. 14, pp. 11 – 29.

Taylor, John B. 1993. “Discretion Versus Policy Rules in Practice.” Carnegie-Rochester Conference Series on Public Policy. 39, pp. 195 – 214.

Watson, Mark W. 1994. “Vector Autoregressions and Cointegration.” Handbook of Econometrics, volume IV. Robert Engle and Daniel McFadden, editors. Amsterdam: Elsevier. pp. 2844 – 2915.

Waggoner, Daniel F. and Tao Zha. 1998. “Conditional Forecasts in Dynamic Multivariate Models.” The Review of Economics and Statistics. 81, pp. 639 – 651.

Wright, Jonathan H. 2000. “Confidence Intervals for Univariate Impulse Responses with a Near Unit Root.” Journal of Business and Economic Statistics. 18, 368 – 373.