8. Функции от матриц

8.1. Значение полинома от матрицы.

Теорема. Пусть f(x) -- полином с числовыми коэффициентами. Если A - матрица над числовым полем,

$$J=T^{-1}AT= \left[ \begin{array}{llll} J_1& & & \\ &J_2& & \\ & & \ddots& \\ & & &J_s \end{array} \right]$$

-- ее жорданова форма с жордановыми клетками J₁,J₂,...,J_s, то

1. $f(J)= \left[ \begin{array}{llll} f(J_1)& & & \\ &f(J_2)& & \\ & & \ddots& \\ & & &f(J_s) \end{array} \right] .$

2. $f\left( \left[ \begin{array}{lllll} a&1 &0 &0&... \\ 0 &a&1&0 &... \\ 0 &0 &a&1&... \\ ... &... &... &...&... \end{array} \right] \right) =$

$$= \left[ \begin{array}{rrrrr} f(a)&f^{\prime}(a) &f^{\prim... ...rime}(a) &... \\ ... &... &... &...&... \end{array} \right]$$

3. f(A) = Tf(J)T^-1.

Доказательство. Индукция по степени m полинома f. При m=0 утверждение очевидно. Пусть f=g+bx^m и степень g меньше m. Так как

$$bJ^m= \left[ \begin{array}{llll} bJ_1^m& & & \\ &bJ_2^m& & \\ & & \ddots& \\ & & &bJ_s^m \end{array} \right]$$

и по индукции

$$g(J)= \left[ \begin{array}{rrrr} g(J_1)& & & \\ &g(J_2)& & \\ & & \ddots& \\ & & &g(J_s) \end{array} \right] ,$$

то

f(J)=g(J)+bJ^m=

$$= \left[ \begin{array}{rrrr} g(J_1)+bJ_1^m& & & \\ &g(J... ... & & \ddots& \\ & & &g(J_s)+bJ_s^m \end{array} \right] .$$

Поскольку (g+bx^m)^(t)=g^(t)+b(x^m)^(t), чтобы доказать 2, достаточно убедиться, что

$$\left[ \begin{array}{lllll} a&1 &0 &0&... \\ 0 &a&1&0 &..... ...a&1&... \\ ... &... &... &...&... \end{array} \right] ^m =$$

$$= \left[ \begin{array}{rrrr} a^m&ma^{m-1} &m(m-1)a^{m-2}/2... ... 0 &0 &a^m&... \\ ... &... &... &... \end{array} \right]$$

Это равенство легко получается индукцией по m. Чтобы доказать 3. достаточно заметить, что TJ^mT^-1=(TJT^-1)^m Теорема доказана.

8.2. Значение функции от матрицы.

Пусть A -- матрица с числовыми элементами, a₁,...,a_r -- ее различные характеристические корни, J -- ее жорданова форма. Пусть t_i -- максимальная размерность жордановой клетки с числом a_i на диагонали в жордановой форме матрицы J=T^-1AT. Если f -- числовая функция, для которой при всех i=1,...,r существуют значения $f(a_i),f^{\prime}(a_i),...,f^{(t_i-1)}(a_i)$, то будем говорить в этом случае, что значение f(A) определено и равно матрице, вычисленной по формулам пунктов 1,2,3 теоремы 8.1.

Теорема. Пусть значение f(A) определено для матрицы A. Тогда существует полином p, для которого p(A)=f(A). В частности, значение f(A) не зависит от выбора T в равенстве J=T^-1AT.

Доказательство. По теореме Лагранжа - Сильвестра существует полином p, для которого p^(k)(a_i)=f^(k)(a_i) при всех $i=1,...,r,\ k=0,...,t_i-1$. По определению

p(A)=f(A).

Поскольку p(A) не зависит от T, то и f(A) не зависит от T.

8.3. Значение функции от линейного преобразования.

Пусть $\varphi$ - линейное преобразование пространства $V,\ {\cal E}$ -- база V и A -- матрица $\varphi$ в этой базе. Пусть f - функция, для которой значение f(A) определено. Пусть $\psi$ - линейное преобразование, матрица которого в той же базе равна f(A). Обозначим $\psi$ через $f(\varphi )$ и назовем его значением функции f от линейного преобразования $\varphi$.

Теорема. Для любой функции f и любого преобразования $\varphi$ значение $f(\varphi )$ либо не определено, либо определено единственным образом. В последнем случае оно равно значению от $\varphi$ некоторого полинома.

Доказательство. Пусть значение f(A) определено для матрицы A преобразования $\varphi$ в некоторой базе. Тогда в любой другой базе матрица $\varphi$ равна T^-1AT, где T -- матрица перехода, поэтому матрица f(T^-1AT) также определена и имеет место равенство f(T^-1AT)=T^-1f(A)T. Поэтому если в некоторой базе $[\psi]$= $f([\varphi ])$, то и в любой базе это равенство сохранится и, значит, $\psi$ определяется единственным образом. По теореме 8.2 $[\psi]=[f(\varphi )]=[p(\varphi )]$, где p -- некоторый полином, откуда $\psi=f(\varphi )$. Теорема доказана.