2. Векторные пространства

2.1. Векторное пространство строк.

2.1.1. Пусть k -- произвольное поле. Его элементы будем называть скалярами. Пусть $V = k^n = \{ (a_1 ,a_2 ,...,a_n )\mid a\in k, i = 1,2,...,n\}$ -- множество всех строк (a₁ ,a₂ ,...,a_n ) длины n, заполненных элементами из k. По определению (a₁ ,a₂ ,...,a_n ) = (b₁ ,b₂ ,...,b_n ) тогда и только тогда, когда a₁ =b₁ , a₂ =b₂ ,..., a_n =b_n. Определим операции сложения строк и умножения строки на скаляр $c\in k$ формулами (СС) (a₁ ,a₂ ,...,a_n )+(b₁ ,b₂ ,...,b_n ) = (a₁ +b₁ ,a₂ +b₂ ,...,a_n +b_n ), (УС) c(a₁ ,a₂ ,...,a_n ) = (ca₁ ,ca₂ ,...,ca_n ). Множество kⁿ с операциями (СС) и (УС) называется векторным пространством n-мерных строк или векторным пространством строк длины n над полем k.

Примеры. 1. k¹ = k, если строку $(a)\in k^1$ отождествить с элементом $a\in k$. При этом сложение и умножение на скаляр в k¹ совпадает со сложением и умножением в поле k. 2. C = R² , если рассматривать только операции сложения комплексных чисел и умножение комплексных чисел (a,b) на скаляры $c\in$R.

2.1.2. Из определения видно, что сложение строк подчинено законам ассоциативности, коммутативности, существования нулевого элемента и противоположного элемента. В частности, нулевым элементом для сложения строк служит нулевая строка

o = (0,0,...,0),

а противоположный элемент к a = (a₁ ,a₂ ,...,a_n ), то есть решение уравнения x+a = o, совпадает с

(-1)a = (-a₁ ,-a₂ ,...,-a_n ) = -a.

Кроме того, при всех $a,b\in k$ и всех $u,v\in V=k^n$ имеют место равенства (1) a(u+v) = (au)+(av), (2) ao = o, (3) (a+b)u = (au)+(bu), (4) (ab)u = a(bu), (5) 1u = u (здесь 1 -- единица поля k), (6) 0u = o (здесь 0 -- нуль поля k).

2.1.3. Векторные пространства строк не исчерпывают всю совокупность объектов, для которых выполнены законы из предыдущего пункта. Например множество всех многочленов с вещественными коэффициентами, так же как и множество всех вещественных непрерывных функций относительнно обычным образом определенных операций сложения и умножения на вещественное число подчинены тем же законам. Это служит обоснованием для следующего определения.

2.2. Абстрактное векторное пространство.

Произвольное множество V, в котором определены операции сложения и умножения на скаляры из поля k ( то есть, для каждых двух элементов $u,v\in V$ определен элемент $u+v\in V$, и для каждого скаляра $a\in k$ и каждого элемента $u\in V$ определен элемент $au\in V$), называется векторным пространством над полем k, если эти операции подчинены законам из пункта 2.1.2, то есть для операции сложения: (АС) если $x,y,z\in V$, то (x+y)+z = x+(y+z) (ассоциативность сложения в V); (КС) если $x,y\in V$, то x+y = y+x (коммутативность сложения в V); (СН) в V существует нулевой элемент, то есть такой элемент $n\in V$, что для любого $x\in V$ имеет место равенство: x+n = n+x = x (существование нуля). Этот элемент обозначается знаком o (чтобы отличить его от нуля 0 поля k). (СП) Для любого элемента a из V найдется такой элемент $x\in V$, что a+x = x+a = o (существование противоположного элемента). Этот элемент x записывается как -a. Для операций умножения на скаляры: При всех $a,b\in k$ и всех $u,v\in V$ имеют место равенства (1) a(u+v) = (au)+(av), (2) ao = o, (3) (a+b)u = (au)+(bu), (4) (ab)u = a(bu), (5) 1u = u (здесь 1 -- единичный элемент поля k), (6) 0u = o (здесь 0 -- нулевой элемент поля k). Элементы векторного пространства называются векторами.

2.3. Линейные комбинации векторов.

Пусть V -- произвольное векторное пространство над произвольным полем k. Линейной комбинацией векторов $v_1 , v_2 , ..., v_s\in V$ с коэффициентами $a_1 ,a_2 ,...,a_s\in k$ называется вектор

v = a₁ v₁ +a₂ v₂ +...+a_s v_s = (a₁ v₁ )+(a₂v₂ ) +...+(a_s v_s ) =

= (...((a₁ v₁ )+(a₂ v₂ ))+...)+(a_s v_s )) =

= (a₁ v₁ )+((a₂ v₂ )+(...+(a_s v_s )...) = ...

2.3.1. Пример. Пусть V = kⁿ ,

$$\begin{array}{lll} v_1& =& (1, 0, 0,..., 0),\\ v_2& =& (... .....& .& ..............\\ v_n& =& (0, 0, 0,..., 1).\end{array}$$

Тогда a₁ v₁ +a₂ v₂ +...+a_n v_n = (a₁ ,a₂ ,a₃ ,...,a_n ).

2.3.2. Линейная комбинация a₁ v₁ +a₂ v₂ +...+a_s v_s называется тривиальной линейной комбинацией, если все ее коэффициенты a₁ ,a₂ ,...,a_s равны 0. Тривиальная линейная комбинация векторов всегда равна o. Линейная комбинация a₁ v₁ +a₂ v₂ +...+a_s v_s называется нетривиальной линейной комбинацией, если среди ее коэффициентов a₁ ,a₂ ,...,a_s найдется хотя бы один, отличный от 0, то есть если эта комбинация не является тривиальной.

2.3.3. Множество $L(v_1 ,v_2 ,...,v_s ) = \{ a_1 v_1 +a_2 v_2 +...+a_s v_s\vert a_i\in k\}$, элементами которого служат все линейные комбинации векторов v₁ ,v₂ ,...,v_s, называется линейной оболочкой векторов v₁ ,v₂ ,...,v_s или линейной оболочкой набора $\{ v_1 ,v_2 ,...,v_s\}$ векторов (отметим, что из-за коммутативности сложения оболочка не зависит от нумерации векторов в наборе).

2.3.4. Пример. Если взять векторы v₁ ,v₂ ,...,v_n из примера 2.3.1, то их линейная оболочка совпадает со всем пространством: L(v₁ ,v₂ ,...,v_n ) = kⁿ.

2.3.5. Скажем, что вектор v линейно выражается через векторы v₁ ,v₂ ,...,v_s (или через набор $\{ v_1 ,v_2 ,...,v_s\}$), если v равен какой-нибудь линейной комбинации векторов v₁ ,v₂ ,...,v_s , то есть если $v\in L(v_1 ,v_2 ,...,v_s )$. Скажем, что набор векторов (назовем его первым набором) линейно выражается через другой набор (назовем его вторым набором), если каждый вектор первого набора линейно выражается через второй набор.

2.3.6. Пример. Вектор $(a,b,0,0,...,0)\in k^n$ линейно выражается через векторы v₁ ,v₂ примера 2.3.1 при любых a и b из k, а вектор (1,1,1,...,1) не выражается через эти векторы, если n>2. С другой стороны, любой вектор из kⁿ выражается через векторы v₁ , v₂ ,..., v_n примера 2.3.1.

2.3.7. Ясно, что o выражается через любой непустой набор векторов. Чтобы сделать это свойство универсальным, договоримся считать, что o выражается и через пустой набор векторов, то есть через набор, не содержащий ни одного вектора. Более того, будем считать, что оболочка пустого набора векторов совпадает с множеством $\{ o\}$, единственным элементом которого является o. Будем в связи с этим считать, что пустой набор векторов выражается через любой набор.

2.3.8. Скажем, что набор векторов линейно зависим, если o является нетривиальной линейной комбинацией этого набора. Таким образом, векторы v₁ ,v₂ ,...,v_s линейно независимы, если равенство a₁ v₁ +a₂ v₂ +...+a_s v_s = o для $a_i\in k$ означает, что a₁ =a₂ =...=a_s =0.

2.3.9. Пример. Векторы (-2,-3,0), (2,0,0), (0,-2,0) из Q³ линейно зависимы, поскольку 2(-2,-3,0)+2(2,0,0)-3(0,-2,0) = (0,0,0), а векторы v₁ ,v₂ ,...,v_n из примера 2.3.1 линейно независимы.

2.3.10. Говорят, что два набора векторов эквивалентны, если их линейные оболочки совпадают. Различные связи между всеми введенными в этом параграфе понятиями устанавливает следующая теорема.

2.3.11. Теорема. а) Если L -- оболочка некоторого набора векторов, $u,v\in L$ и $a\in k$ , то $au\in L$ и $u+v\in L$ . б) Набор векторов ${\cal U}$ тогда и только тогда линейно выражается через набор ${\cal V}$, когда оболочка набора ${\cal U}$ содержится в оболочке набора ${\cal V}$ . Наборы ${\cal U}$ и ${\cal V}$ эквивалентны тогда и только тогда, когда ${\cal U}$ выражается через ${\cal V}$, а ${\cal V}$ -- через ${\cal U}$. Если ${\cal U}$ выражается через ${\cal V}$, то объединение ${\cal U}$ и ${\cal V}$, то есть набор ${\cal U}\cup {\cal V}$, состоящий из всех векторов ${\cal U}$ и всех векторов ${\cal V}$, эквивалентно ${\cal V}$. в) Если векторы v₁ ,v₂ ,...,v_s линейно независимы, то равенство двух их линейных комбинаций означает совпадение коэффициентов этих линейных комбинаций:

$$a_1 v_1 +a_2 v_2 +...+a_s v_s = b_1 v_1 +b_2 v_2 +...+b_s v_s \Longrightarrow$$

(a₁ ,a₂ ,...,a_s ) = (b₁ ,b₂ ,...,b_s ),

то есть a₁ =b₁ ,a₂ =b₂ ,...,a_s =b_s. г) Набор, состоящий из одного вектора u, линейно зависим тогда и только тогда, когда u = o. Набор, часть векторов которого линейно зависима, сам линейно зависим. В частности, набор, содержащий o, всегда линейно зависим. д) Векторы u₁ ,u₂ ,...,u_s тогда и только тогда линейно зависимы, когда существует такое число $r\in$N, $r\leq s$, что u_r линейно выражается через набор $\{ u_i\vert i<r \}$. е) Если набор векторов $\{ u_1 ,u_2 ,...,u_s \}$ линейно независим и линейно выражается через векторы v₁ ,v₂ ,...,v_m , то $s\leq m$. Эквивалентные линейно независимые наборы содержат одно и то же число векторов.

Доказательство. а) Пусть L = L(v₁ ,v₂ ,...,v_s ), u = a₁ v₁ +a₂ v₂ +...+a_s v_s , v = b₁ v₁ +b₂ v₂ +...+b_s v_s. Тогда $au = aa_1 v_1 +aa_2 v_2 +...+aa_s v_s\in L, u+v = (a_1 v_1 +a_2 v_2 +...+a_s v... ... v_2 +...+b_s v_s ) = (a_1 +b_1 )v_1 +(a_2 +b_2 )v_2 +...+(a_s +b_s )v_s\in L$ б) Пусть ${\cal U} = \{ u_1 ,u_2 ,...,u_s \}, {\cal V} = \{ v_1 ,v_2 ,..., v_m \}$ Обозначим L(u₁ ,u₂ ,...,u_s ) через $L({\cal U}),\ L(v_1 ,v_2 ,...,v_m )$ через $L({\cal V})$ . Докажем необходимость первого утверждения индукцией по s. Если s=1, то по условию $u_1\in L({\cal V})$ , откуда по а) для любого $a\in k$ линейная комбинация au принадлежит $L({\cal V})$, что и означает включение $L({\cal U})\subseteq L({\cal V})$. Если теперь s>1 и $c = c_1 u_1 +c_2 u_2 +...+c_s u_s\in L({\cal U})$, то по индукции $a = a_1 u_1 +a_2 u_2 +...+a_{s-1} u_{s-1}\in L({\cal V})$ и $b = a_s u_s\in L({\cal V})$, откуда по а) $c = u+v\in L({\cal V})$. Это означает, что $L({\cal U})\subseteq L({\cal V})$. Докажем достаточность первого утверждения. Пусть $L({\cal U})\subseteq L({\cal V})$. Покажем, что каждый вектор u_i из набора ${\cal U}$ принадлежит $L({\cal U})$, откуда и будет следовать, что он принадлежит $L({\cal V})$, то есть линейно выражается через ${\cal V}$. Имеем

$$u_i = 0u_1 +...+0u_{i-1} +1u_i +0u_{i+1} +...+0u_s\in L({\cal U}).$$

Первое утверждение пункта б) доказано. Остальные утверждения пункта -- непосредственные следствия первого и пункта а). в) $a_1 v_1 +a_2 v_2 +...+a_m v_m = b_1 v_1 +b_2 v_2 +...+b_m v_m \Longrightarrow ... ...arrow (a_1 -b_1 )v_1 +(a_2 -b_2 )v_2 +...+(a_m -b_m )v_m = o \Longrightarrow$ (по определению линейной независимости) (a₁-b₁ ) = (a₂ -b₂ ) = ... = (a_m -b_m ) = 0. г) Если sa -- нетривиальная линейная комбинация вектора a, равная o, то $s\neq 0$ и a = 1a = (1/s)(sa) = o. Если a = o, то 1a -- нетривиальная линейная комбинация вектора a, равная o. Первое утверждение пункта доказано. Второе утверждение вытекает из того, что из равной o нетривиальной линейной комбинации части набора векторов можно сделать равную o нетривиальную линейную комбинацию всего набора, добавив с нулевыми коэффициентами недостающие векторы. д) Пусть векторы u₁ ,u₂ ,...,u_s линейно зависимы, a₁u₁ +a₂u₂ +...+a_nu_n -- их нетривиальная линейная комбинация, равная o, и r -- номер последнего отличного от нуля коэффициета этой комбинации. Тогда a₁u₁ +a₂u₂ +...+a_ru_r=o и, значит, $u_r = (-a_1 /a_r )u_1 +(-a_2 /a_r )u_r +...+(-a_{r-1}/a_r )u_{r-1}\in L(u_1 ,u_2 ,...,u_{r-1} ).$ Наоборот, если $u_r = a_1 u_1 +...+a_{r-1} u_{r-1}\in L(u_1,...,u_{r-1})$, то a₁ u₁ +...+a_r-1 u_r-1+(-1) u_r -- равная o нетривиальная линейная комбинация набора $\{ u_i \vert i\leq r \}$, то есть набор $\{ u_i \vert i\leq r \}$ линейно зависим. По предыдущему пункту и весь набор $\{ u \vert i\leq s \}$ линейно зависим. е) Второе утверждение непосредственно вытекает из первого. Для доказательства первого утверждения используем индукцию по s. Пусть s=1. По г) $u\neq o$ и, значит, $m\geq 1$. Пусть $s\geq 2$ и утверждение верно для меньшего числа векторов. По условию для каждого i = 1,2,...,s вектор u_i = b_i +a_i v_m , где $b\in L(v_1 ,v_2 ,...,v_{m-1}),\a i\in k$. Рассмотрим 2 возможных случая. Случай 1. Все a_i равны 0. Тогда все u_i линейно выражаются через v₁ ,...,v_m-1. Рассмотрим набор векторов $\{ u_1 ,...,u_{s-1}\}$. По г) он линейно независим (если он линейно зависим, то и $\{ u_1 ,...,u_{s}\}$ линейно зависим) и линейно выражается через v₁ ,...,v_m-1 . По индукционному предположению $s-1\leq m-1$, то есть $s\leq m$. Случай 2. Не все a равны 0. Поскольку от перенумерации векторов в наборе условие линейной независимости и линейной выразимости не изменится, можно перенумерацией векторов набора $\{ u_1 ,...,u_{s}\}$ добиться, чтобы $a_s\neq 0$. После этого рассмотрим набор $\{ u'_1,...,u'_{s-1}\}$, где

u'_i = u_i +(-a_i /a_s )u_s = b_i +(-a_i /a_s )b_s .

Из последнего равенства с помощью а) вытекает, что все u'_i лежат в L(v₁,...,v_m-1). Покажем, что набор $\{ u'_1,...,u'_{s-1}\}$ линейно независим. Пусть c₁ u'₁+...+c_s-1 u'_s-1 = o. Подставив сюда вместо всех u'_i выражения u_i +(-a_i /a_s )u_s , получим

c₁ u₁+...+c_s-1 u_s-1+du_s = o,

где d -- некоторый скаляр (при желании его можно выразить через c_i). Так как набор $\{ u_1 ,...,u_{s}\}$ линейно независим, то все c_i равны 0 (d тоже равен 0, но нам это не потребуется). Отсюда следует, что набор $\{ u'_1,...,u'_{s-1}\}$ линейно независим. Снова по индукции $s-1\leq m-1$, то есть $s\leq m$. Теорема доказана.

2.3.12. Упражнение. Доказать, что набор

$$\{ u_1 ,...,u_{i-1} ,u_i ,u_{i+1} ,...,u_n \}$$

эквивалентен каждому из следующих двух наборов:

$$\{ u_1 ,...,u_{i-1} ,au_i ,u_{i+1} ,...,u_n \},$$

где $a\in k,\ a\neq 0$;

$$\{ u_1 ,...,u_{i-1} ,u_i+bu_j ,u_{i+1} ,...,u_n \},$$

где $b\in k,\ b\neq 0$.

В дальнейшем такие преобразования наборов будем называть элементарными преобразованиями. При этом будем говорить что активную роль в первом преобразовании играет вектор u_i , а во втором -- вектор u_j . Остальные векторы играют пассивную роль.

2.3.13. Задачи. 1. Доказать, что элементарными преобразованиями из предыдущего упражнения можно любой набор превратить в эквивалентный ему набор вида $\{ v_1,...,v_r,o,...,o\}$, где векторы v₁,...,v_r линейно независимы. 2. Доказать, что любой линейно независимый набор элементарными преобразованиями можно превратить в любой наперед заданный эквивалентный ему линейно независимый набор.

2.3.14. Пусть ${\cal U}$ -- конечный набор векторов векторного пространства. Базой набора ${\cal U}$ называется линейно независимая часть набора ${\cal U}$, эквивалентная всему ${\cal U}$. Число векторов в базе набора называется рангом набора.

Теорема. а) Следующие утверждения эквивалентны: (1) ${\cal A}$ -- база набора ${\cal U}$, (2) ${\cal A}$ -- максимальная линейно независимая часть ${\cal U}$, (3) ${\cal A}$ -- минимальная часть ${\cal U}$, для которой $L({\cal A}) = L({\cal U})$. б) Любая линейно независимая часть набора содержится в некоторой базе набора. Все базы одного набора эквивалентны. Ранг набора не зависит от выбора конкретной базы.

Доказательство -- простое применение теоремы 2.3.11.

Доказательство -- простое применение теоремы 2.3.11.

2.3.15. Подпространством пространства V над полем k называется любое непустое подмножество S множества V, замкнутое относительно операций векторного пространства V: для любых векторов $a,b\in S$ и любого $c\in k$ векторы a+b и ca содержатся в S (другими словами, линейная оболочка любого конечного набора векторов из S лежит в S).

Примеры: 1) Линейная оболочка набора векторов -- подпространство. 2) $\{ o\}$ и V -- подпространства пространства V (их называют несобственными подпространствами пространства V, а все остальные -- собственными). 3) Пусть $S = \{ (a_1 ,a_2 ,...,a_n )\in k^n \vert a_1 = 0\}$. Тогда S -- подпространство пространства kⁿ. 4) Пусть $S = \{ (a_1 ,a_2 ,...,a_n )\in k^n \vert a_1 = 1\}$. Тогда S не является подпространством пространства kⁿ .

Отметим, что любое подпространство пространства V само является пространством относительно операций, заданных в V.

2.4. Конечномерные пространства.

2.4.1. Пространство V называется конечномерным, если V -- линейная оболочка конечного набора своих векторов.

Примеры. 1) kⁿ -- конечномерное пространство. 2) Пространство многочленов с вещественными коэффициентами бесконечномерно (не является конечномерным).

2.4.2. Базой (или базисом) пространства V называется упорядоченный набор векторов

$${\cal V} = \{ v_1 ,v_2 ,...,v_n \}$$

из V, удовлетворяющий следующим двум условиям: 1) ${\cal V}$ линейно независим, 2) $L({\cal V}) = V$. Если ${\cal V} = \{ v_1 ,v_2 ,...,v_n \}$ -- база V, то число $\dim (V) = n$ называется размерностью V (dimension (лат.) -- размерность). Если $v\in V$ и v = a₁ v₂ +...+a_n v_n, где $a_i\in k$, то строка [v] = (a₁,...,a_n ) называется координатной строкой (или строкой координат) вектора v в базе ${\cal V}$.

2.4.3. Примеры. 1. Набор

$$\begin{array}{lll} v_1& =& (1, 0, 0,..., 0),\\ v_2 & =& ... ... \vdots& &\vdots\\ v_n& =& (0, 0, 0,..., 1) \end{array}$$

из примера 2.3.1 является базой kⁿ (эта база называется стандартной базой kⁿ). Координатная строка элемента $v\in k^n$ в стандартной базе совпадает с v. 2. Многочлены

$$v_0 =1,\ v_1 =x,\ v_2 =x^2 ,..., v_n =x^n$$

составляют базу пространства P_n всех полиномов с веществеными коэффициентами степени не выше, чем n. Если

$$f(x) = a_o +a_1 x+a_2 x^2 +...+a_n x^n ,\ a_i\in\mbox{\boldmath $R$},$$

-- многочлен из P_n , то

$$[f(x)]= (a_0 ,a_1 ,a_2 ,...,a_n )\in\mbox{\boldmath $R$}^{n+1}.$$

2.4.4. Теорема. Пусть V -- конечномерное векторное пространство, ${\cal V} = \{ v_1 ,v_2 ,...,v_n \}$ -- набор векторов из V. а) Следующие утверждения эквивалентны: 1) ${\cal V}$ -- база V. 2) ${\cal V}$ -- максимальный линейно независимый набор векторов из V. 3) ${\cal V}$ -- минимальный набор векторов из V, для которого $L({\cal V}) = V$. б) V обладает по меньшей мере одной базой, более того, любой линейно независимый набор векторов из V содержится в некоторой базе V (в частности, база любого подпространства V содержится в некоторой базе V). Все базы одного пространства эквивалентны. Размерность пространства не зависит от выбора конкретной базы. в) Если $n = \dim (V)$, то любые n+1 векторов из V линейно зависимы, любой линейно независимый набор из n векторов пространства V -- база пространства V, размерность любого подпространства из V не превосходит n. г) Если ${\cal V} = \{ v_1 ,v_2 ,...,v_n \}$ -- база V, то отображение $v\rightarrow [v]$, ставящее в соответствие вектору его координатную строку в базе ${\cal V}$, является взаимно однозначным отображением V на kⁿ , сохраняющим операции, то есть обладающим свойствами:

$$[a+b]= [a]+[b], [sa] = s[a] \mbox{ для }a,b\in V,\ s\in k,$$

или, что эквивалентно, свойством

[g₁ u₁ +g₂ u₂ +...+g_t u_t ] = g₁ [u₁ ]+g₂ [u₂ ]+...+g_t [u_t ]

для $u_i\in V, g_i\in k$. При этом векторы u₁ ,u₂ ,...,u_t линейно зависимы (в V) тогда и только тогда, когда [u₁ ],[u₂ ],...,[u_t ] линейно зависимы (в kⁿ ).

Доказательство -- простое применение теоремы 2.3.11.

2.4.5. Матрица набора векторов.

Упорядоченный набор $\{ [v_1 ],[v_2 ],...,[v_m ]\}$, состоящий из координатных строк некотрых векторов v₁ ,v₂ ,...,v_m в некоторой базе ${\cal U} = \{ u_1 ,u_2 ,...,u_n \}$ некоторого пространства размерности n над k называется матрицей набора $\{ v_1 ,v_2 ,...,v_m \}$ в базе ${\cal U}$. Обычно матрицу записывают в виде прямоугольной таблицы, размещая строки по порядку одна под другой. Вообще, $(m\times n)$-матрицей (или матрицей размера $m\times n$) над множеством Sназывается прямоугольная таблица вида

$$\left[ \begin{array}{llll} s_{11}&s_{12}&...&s_{1n}\\ s_{... ...ots&\vdots\\ s_{m1}&s_{m2}&...&s_{mn} \end{array} \right]$$

(краткое обозначение $A=(s_{ij})_{m\times n}$,

заполненная (не обязательно различными) элементами $s_{ij}\in S\ (i = 1,2,...,m;\ j = 1,2,...,n)$. Двойной индекс ij (номер элемента) указывает на то, что соответствующий элемент s_ij находится в i-ой строке и j-ом столбце матрицы A. В частности, определенная выше матрица набора $\{ v_1 ,v_2 ,...,v_m \}$ -- это $(m\times n)$-матрица над k, элемент с номером ij которой равен коэффициенту, стоящему при u_j в выражении вектора v_i через базу ${\cal U}$. Множество всех $(m\times n)$-матриц над S будем обозначать через $M_{m\times n} (S)$. Скажем, что строка

(a_i1,a_i2 ,...,a_in )

матрицы A проявляется в s-ом столбце, если для всех t<s коэффициент a_it равен 0, а $a_{is}\neq 0$.

Преобразованием матрицы набора векторов относительно s-го столбца называется следующая процедура: 1. Если ни одна строка матрицы не проявляется в s-м столбце, то на этом процедура заканчивается. 2. Если существует строка, которая проявляется в s-ом столбце, то возьмем первую такую, скажем, строку

(a_i1,a_i2 ,...,a_in )

и а) умножим ее на 1/a_is (в результате матрица заменится на эквивалентную, поскольку мы совершили элементарное преобразование строк (см. пункт 2.3.12) s-я компонента i-ой строки станет равной 1 и по-прежнему эта строка будет проявляться в s-ом столбце), а затем б) каждую строку

(a_r1,a_r2 ,...,a_rn )

с номером r, отличным от i, преобразуем следующим образом: вычтем из нее преобразованную i-ю строку, умноженную на a_rs (в результате матрица заменится на эквивалентную, поскольку мы снова совершаем элементарные преобразования строк, а во всех строках, кроме i-й, s-я компонента станет равной 0). В любом случае, в преобразованной матрице будет не более одной строки, проявляющейся в s-ом столбце.

Алгоритм Гаусса: Преобразуем матрицу набора векторов относительно 1-го столбца, затем преобразованную матрицу преобразуем относительно 2-го столбца, полученную матрицу -- относительно 3-го и.т.д., пока не переберем все столбцы. В результате матрица заменится на эквивалентную и для каждого столбца в матрице будет не более одной строки, которая проявляется в этом столбце.

2.4.7. Упражнение: Покажите, что векторы v_i набора $\{ v_1 ,v_2 ,...,v_n \}$, для которых в преобразованной по Гауссу матрице этого набора i-я строка отлична от нулевой, составляют базу набора $\{ v_1 ,v_2 ,...,v_n \}$, а ненулевые строки преобразованной матрицы являются координатными строками (в той же базе ${\cal U}$) некоторой базы $L(\{ v_1 ,v_2 ,...,v_n \}$.

2.4.8. Упражнение: Для каждой матрицы набора векторов существует эквивалентная ей матрица, имеющая ступенчатый вид. Он определяется условием: нулевые строки (если они есть) стоят после всех ненулевых строк, и если ненулевая строка матрицы проявляется в s-ом столбце, то все ненулевые строки с бльшими номерами проявляются в столбцах с номерами, бльшими s.

2.4.9. Матрица перехода от базы к базе.

Пусть V -- конечномерное векторное пространство над k и

$${\cal V} = \{ v_1 ,v_2 ,...,v_n \},\ {\cal U} = \{ u_1 ,u_2 ,...,u_n \}$$

-- две его базы. Выразим векторы базы ${\cal U}$ через ${\cal V}$:

$$u_i =a_{i1} v_1 +a_{i2}v_2 +...+a_{in} v_n\ (i = 1,2,...,n).$$

Матрица $A = (a_{ij} )_{n\times n}$ называется матрицей перехода от базы ${\cal V}$ к базе ${\cal U}$. Ее строки -- это координатные строки векторов базы ${\cal U}$ в базе ${\cal V}$. В частности, матрицей перехода от ${\cal U}$ к ${\cal U}$ является так называемая единичная матрица $E = (e_{ij} )_{n\times n}$, для которой e_ij =1, если i=j и e_ij =0, если $i\neq j$.

2.4.10. Упражнения: Пусть A -- матрица перехода от базы ${\cal V}$ к базе ${\cal U}$. 1. Пусть [v] -- координатная строка вектора v в базе ${\cal V}$. Построим $((n+1)\times 2n)$-матрицу:

$$\left[ \begin{array}{rl} A&E\\ $[v]$ &o. \end{array} \right]$$

С помощью элементарных преобразований, в которых последняя строка всегда играет пассивную роль, найдем эквивалентную ей матрицу вида

$$\left[ \begin{array}{rl} B&C\\ o&d \end{array} \right] ,$$

где B эквивалентна $A,\ o$ -- нулевая строка длины $n,\ d$ -- строка длины n (это можно сделать, например, алгоритмом Гаусса). Тогда -d -- координатная строка вектора v в базе U. Доказать. 2. Построим $(n\times 2n)$-матрицу [A|E]. Найдем эквивалентную ей матрицу вида [E|C] (это можно сделать элементарными преобразованиями строк, например, алгоритмом Гаусса). Тогда C -- матрица перехода от ${\cal U}$ к ${\cal V}$. Доказать.

2.4.11. Пересечение $A\cap B$ двух подпространств некоторого пространства является подпространством, которое содержится и в A, и в B. Суммой подпространств A и B называется множество $A+B = \{ a+b\vert a\in A,\ b\in B\}$. Сумма подпространств A и B является подпространством, содержащим и A, и B.

2.4.12. Упражнения. 1. $A+B = A\cup B\Longleftrightarrow A\subseteq B$ или $B\subseteq A$. 2. Для любых наборов векторов ${\cal U}$ и ${\cal V}$ одного пространства

$$L({\cal U})+L({\cal V}) = L({\cal U}\cup {\cal V}).$$

2.4.13. Теорема. Пусть A и B -- подпространства конечномерного пространства. Тогда

$$\dim (A+B) = \dim (A)+\dim (B)-\dim (A\cap B).$$

Доказательство. Пусть $\{ u_1 ,...,u_{s}\}$ -- база $A\cap B$. Дополним ее векторами u_s+1 ,...,u_r до базы A, а векторами v_s+1 ,...,v_n -- до базы B. Тогда $s = \dim (A\cap B),\ r = \dim (A),\ n = \dim( B),\ \{ u_1 ,...,u_r,\ v_{s+1},...,v_n \}$ -- база A+B, то есть

$$\dim (A+B) = r+n-s = \dim (A)+\dim (B)-\dim (A\cap B).$$

Теорема доказана.

2.4.14. Сумму подпространств можно определить для любого числа слагаемых: если V_i -- подпространство некоторого пространства (i = 1,2,...,s), то суммой подпространств A_iназывается подпространство

$$\sum_{i=1}^sA_i = \{ a_1 +a_2 +...+a_s \vert a_i\in A_i \} .$$

Отметим, что $\sum_{i=1}^sA_i$ совпадает с линейной оболочкой объединения баз подпространств A_i .

2.4.15. Прямая сумма подпространств.

Важным частным случаем суммы подпространств является прямая сумма, база которой является объединением баз слагаемых.

Теорема-определение. Следующие свойства суммы подпространств $S =\sum_{i=1}^sA_i$ эквивалентны: а) Каждый элемент v из S однозначно представим в виде v = a₁ +a₂ +...+a_s: если

v = a₁ +a₂ +...+a_s = a'₁+a'₂+...+a'_s,

где $a_i ,a'_i\in A_i$ , то a_i =a'_i для всех i. б) o однозначно представим в виде суммы элементов из A : если o =a₁ +a₂ +...+a_s, где $a_i\in A$ , то a_i =0 для всех i. в) Для любого j = 1,2,...,s

$$A_j\cap\sum_{i\neq j}A_i = \{ o\}.$$

г) Если ${\cal A}_i$ -- база A_i для каждого i, то объединение всех ${\cal A}_i$ является базой S. Если выполнено любое из свойств а) -- г) (а, значит, выполнены все эти свойства), то сумма $S =\sum_{i=1}^sA_i$ называется прямой суммой (обозначение: $S = \sum_{i=1}^s\oplus A_i$ или $S = A_1\oplus A_2\oplus ...\oplus A_s$ ).

Доказательство. а) $\Longrightarrow$ б), поскольку б) -- частный случай а), а если выполнено б) и a₁ +a₂ +...+a_s = a'₁+a'₂+...+a'_s, где $a_i ,a'_i\in A$, то $a_i -a'_i\in A_i$ и $\sum_{i=1}^s(a_i -a'_i) = o$, откуда a_i -a'_i =0 и a_i =a'_i. б) $\Longrightarrow$ в). Пусть $v\in A_j\cap\sum_{i\neq j}A_i$ . Тогда $v = a_j = \sum_{i\neq j}a_i$, где $a_i\in A_i ,\ a_j\in A_j$ , откуда 0 = a₁ +...+a_j-1 +(-a_j )+a_j+1 +...+a_s и, значит, все слагаемые в этой сумме по условию равны 0. В частности, v=a_j =0. в) $\Longrightarrow$ г). Пусть ${\cal S}$ -- объединение баз ${\cal A}_i$ . Поскольку $S = L({\cal S})$, достаточно доказать линейную независимость набора ${\cal S}$. Пусть w -- линейная комбинация набора ${\cal S}$, равная 0. Тогда $w = \sum_{i=1}^sw_i$, где w_i -- слагаемое линейной комбинации w, являющееся линейной комбинацией набора ${\cal A}$ с коэффициентами, равными соответствующим коэффициентам линейной комбинации w. Тогда для любого j

$$w_j\in A_j \mbox{ и }-w_j =\sum_{i\neq j}w_i,$$

откуда по условию w_j =o. Так как w_j -- линейная комбинация элементов базы ${\cal A}_j$ , то w_j -- тривиальная линейная комбинация, поэтому w -- тривиальная линейная комбинация, то есть ${\cal S}$ -- база. г) $\Longrightarrow$ б). Пусть o = a₁ +...+a_s, где $a_i\in A_i$. Выразим каждое слагаемое a_i через ${\cal A}_i$ и подставим в это равенство. Получим линейную комбинацию объединения соответствующих баз, равную o. По условию эта линейная комбинация тривиальна и, в частности, все a_i равны нуль-вектору. Теорема доказана.

2.4.16. Примеры. 1. Пусть V = kⁿ. . Если n = s+t, где $s,t\in \mbox{\boldmath$N$ }$, то $V = U\oplus W$, где

$$U=\{ (a_1 ,a_2 ,...,a_s ,0,0,...,0)\ \vert a_i\in k \} ,$$

$$W = \{ (0,0,...,0,a_{s+1} ,a_{s+2} ,...,a_n )\ \vert a_j\in k\} .$$

2. Пусть v₁ ,v₂ ,...,v_n -- база векторного пространства V над k и $A_i = kv_i = L(v_i ) = \{ av_i \vert a\in k\}$. Тогда

$$S = A_1\oplus A_2\oplus ...\oplus A_n.$$

2.4.17. Внешняя прямая сумма пространств.

Пусть U и V -- два пространства над полем k. Пусть $W =\{ (u,v)\vert u\in U,\ v\in V\}$ -- множество, состоящее из всех упорядоченных пар, первые компоненты которых являются векторами из U, а вторые -- векторами из V. Определим на W операции сложения и умножения на скаляр из k формулами:

(u,v)+(u',v') = (u+u',v+v'),

a(u,v) =(au,av).

(ср. с определением сложения и умножения на скаляр в пространстве строк). Легко проверить, что W -- векторное пространство. Оно называется внешней прямой суммой пространств U и V (обозначение: $W = U\stackrel{.}{+}V$). Если $U' = \{ (u,0)\vert u\in U\}$, а $V' = \{ (0,v)\vert v\in V\}$, то U' и V' -- подпространства в пространстве W и $W = U'\oplus V'$.

2.4.18. Пример. Пусть $U = k^n ,\ V = k^m$ . Тогда $U\stackrel{.}{+}V = k^{n+m}$, если пару $((a_1 ,a_2 ,...,a_n ),\ (b_1 ,b_2 ,...,b_m ))$ из $U\stackrel{.}{+}V$ отождествить со строкой (a₁ ,a₂ ,...,a_n ,b₁ ,b₂ ,...,b_m ) длины m+n.

2.4.19. Определение внешней прямой суммы легко распространить на любое число слагаемых. Например, $k^n = k\stackrel{.}{+}k \stackrel{.}{+}...\stackrel{.}{+}k\ (n$ слагаемых), где k отождествляется с k¹.

2.5. Фактор-пространство.

Пусть A -- подпространство пространства V. Если $v\in V$, то множество $v+A = \{v+a\vert a\in A\}$ называется смежным классом по пространству A с представителем v. Заметим, что

$$v\in v+A,$$

o+A = A,

$$v+A = u+A \Longleftrightarrow v-u\in A,$$

$$u\in v+A \Longleftrightarrow v+A = u+A.$$

Множество V/A, элементами которого являются все различные смежные классы по A, называется фактор-множеством V по A.

Пример. Пусть $V=k^2 ,\ A=\{ (0,a)\vert a\in k\}$. Если v=(1,1), то $v+A = \{ (1,a)\vert a\in k\} .\ V/A =\{ (b,0)+A\vert b\in k\}$.

Теорема. Определим сложение и умножение на скаляр элементов V/A формулами:

(v+A)+(u+A) = (v+u)+A,

a(v+A) = (av)+A.

Тогда а) V/A -- векторное пространство над k, нуль-вектор которого равен 0+A = A. б) если $\{ v_1 ,v_2 ,...,v_r \}$ -- база A, $\{ v_1 ,v_2 ,...,v_r , v_{r+1},...,v_n \}$ -- база V, включающая эту базу A, то

$$\{ v_{r+1}+A,...,v_n+A \}\mbox{ --- база }V/A.$$

В частности,

$$\dim (V/A) = \dim (V)-\dim (A).$$

Доказательство -- упражнение на проверку определений.

2.6. Линейные отображения векторных пространств.

2.6.1. Пусть V и U -- два векторных пространства над полем k. Отображение $\varphi : V\rightarrow U$, ставящее в соответствие каждому вектору v из V некоторый вектор $u=v\varphi$ из U, называется линейным отображением (или оператором) векторного пространства V в векторное пространство U, если для любых $a,b\in V$ и $\alpha \in k$ верны равенства:

$(a+b )\varphi = a\varphi +b\varphi$ и $(\alpha a)\varphi = \alpha (a\varphi )$.

2.6.2. Примеры. 1. Отображение $[\ ]$ из пункта г) теоремы 2.4.2. является линейныым отображением V на kⁿ.

2. Отображение $^\prime$, ставящее в соответствие любому многочлену его производную, является линейным отображением векторного пространства V всех многочленов с вещественными коэффициентами в V.

3. Нулевое отображение V в U, ставящее в соответствие каждому вектору v из V вектор $o\in U$, линейно.

4. Пусть $V = U_{1}\stackrel{.}{+} U_{2}$. Тогда $\varphi _{1}: (u_{1},u_{2}) \rightarrow u_{1}$ является линейным отображением V на U₁, а $\varphi _{2}: (u_{1},u_{2} ) \rightarrow u_{2}$ является линейным отображением V на U₂. Каждое из этих отображений называется проекцией прямой суммы на соответствующее слагаемое.

5. Пусть A и B -- подпространства в пространстве $U,\ V$ -- внешняя прямая сумма A и B. Тогда $\varphi : (a,b ) \rightarrow a+b$ является линейным отображением V в U.

6. Если ${\cal V} = \{v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n}\}$ -- база V и ${\cal U} = \{u_{1},u_{2},\ldots ,u_{n}\}$ -- любой набор векторов из U, то существует, и притом единственное, линейное отображение $\varphi$ пространства V в U, для которого $v_{i}\varphi =u_{i}$ при всех i.

7. Если A -- подпространство пространства V, то $\varphi : v \rightarrow v+A$ является линейным отображением V на фактор-пространство V/A.

Упражнения.

1. Если $\varphi$ -- линейное отображение, то $o\varphi =o$ и $(-a )\varphi =-(a\varphi )$ для любого вектора a. Доказать.

2. Пусть $\varphi$ -- линейное отображение пространства V. Доказать, что для любого набора векторов ${\cal V} = \{v_{1},\ldots ,v_{s}\}$ из V ранг набора ${\cal V}\varphi = \{v_{1}\varphi ,\ldots ,v_{s}\varphi \}$ не превосходит ранга ${\cal V}$.

3. Пусть ${\cal V} = \{v_{1},v_{2},\ldots ,v_{s}\}$ -- линейно независимый набор векторов из $V, {\cal U} = \{u_{1},u_{2},\ldots ,u_{s}\}$ -- набор векторов из U. Доказать, что существует линейное отображение $\varphi$ пространства V в U, для которого $v_{i}\varphi =u_{i}$ при всех i. Доказать.

4. Пусть $\varphi$ -- линейное отображение пространства k^m в пространство kⁿ. Пусть A -- матрица, строки a_i которой -- некоторые элементы k^m. Обозначим через $A\varphi$ матрицу, составленную из строк $a_{i}\varphi$ (в том же порядке ). Составим матрицу $[A\vert A\varphi ]$ (ее первые m столбцов составляют матрицу A, а последние n столбцов -- матрицу $A\varphi$. Доказать следующее утверждение:

Если элементарными преобразованиями строк эта матрица приведена к виду [B|C], (вертикальная линия на том же месте), то $C=B\varphi$.

2.6.3. Пусть ${\cal L} (V,U )$ -- множество всех линейных отображений векторного пространства V в векторное пространство U. Пусть $\varphi ,\ \psi \in {\cal L}(V,U ),\ \alpha \in k$. Определим отображения $\varphi +\psi$ (сумма линейных отображений) и $\alpha \varphi$ (произведение линейного отображения на скаляр): для любого $v\in V\ v(\varphi +\psi ) = (v\varphi )+(v\psi ),\ v(\alpha \varphi )= \alpha (v\varphi )$.

Теорема. ${\cal L} (V,U )$ -- векторное пространство.

Доказательство. Проверка аксиом векторного пространства из пункта 2.2.

2.6.4. Пусть теперь W, V, U, T -- векторные пространства над полем $k,\ \varphi , \varphi ^\prime \in {\cal L}(W,V ),\ \sigma , \sigma ^\prime \in {\cal L}(V,U ),\ \tau\in {\cal L}(U,T ),\ \alpha \in k$. Определим произведение $\varphi \sigma$: для любого $w\in W\ w(\varphi \sigma ) = (w\varphi )\sigma$.

Теорема. а) $\varphi \sigma \in {\cal L}(W,U)$.

б) $(\varphi \sigma )\tau = \varphi (\sigma \tau)$. в) $(\varphi +\varphi ^\prime )\sigma = (\varphi \sigma )+(\varphi ^\prime \sigma )$. г) $\varphi (\sigma +\sigma ^\prime ) = \varphi \sigma +\varphi \sigma ^\prime$ (сокращенная запись для $(\varphi \sigma )+(\varphi \sigma ^\prime )$).

д) $\alpha (\varphi \sigma ) = (\alpha \varphi )\sigma = \varphi (\alpha \sigma )$. Доказательство. Непосредственная проверка.

2.6.5. Пусть V -- пространство над k с базой ${\cal V} = \{v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n}\}, U$ -- пространство над k с базой ${\cal U} = \{u_{1},u_{2},\ldots ,u_{s}\}$. Матрицей линейного отображения $\varphi \in {\cal L}(V,U)$ относительно пары $({\cal V},{\cal U})$ называется упорядоченный набор $[\varphi ] = \{[v_{1}\varphi ],[v_{2}\varphi ],\ldots ,[v_{n}\varphi ]\}$ из n строк длины s, составленный из координатных строк векторов $v_{i}\varphi$ в базе ${\cal U}$.

Как обычно, матрицу линейного отображения записывают в виде прямоугольной таблицы, размещая строки по порядку одна под другой и присваивая каждому элементу таблицы двойной индекс.

В частности, определенная выше матрица $[\varphi ]$ -- это $(n\times s)$-матрица над k, элемент с номером ij которой равен коэффициенту, стоящему при u_j в выражении вектора $v_{i}\varphi$ через базу ${\cal U}$.

Примеры-упражнения. 1. Матрица нулевого отображения $V \rightarrow U$, ставящего в соответствие каждому вектору v из V вектор $o\in U$, при любом выборе баз целиком состоит из нулей (такая матрица называется нулевой матрицей).

2. Пусть $V = U_{1}\stackrel{.}{+} U_{2}$, а $\varphi _{1}: (u_{1},u_{2}) \rightarrow u_{1}$ и $\varphi _{2}: (u_{1},u_{2} ) \rightarrow u_{2}$ -- проекции V на соответствующие прямые слагаемые. Пусть $\{a_{1},a_{2},\ldots ,a_{m}\}$ -- база $U_{1}, \{a_{1+m},a_{2+m},\ldots ,a_{n+m}\}$ - база U₂ и $\{v_{1},v_{2},\ldots ,v_{m+n}\}$ -- база V, где v_i=(a_i,o) при $i\le m, v_{i}=(0,a_{i})$ при i>m.

Тогда

$[\varphi _{1}]= \left[ \begin{array}{c} E\\ O \end{array} \right]$, где E -- единичная матрица размера $m\times m$, а O - нулевая матрица размера $n\times m$,

$[\varphi _{2}]= \left[ \begin{array}{c} O\\ E \end{array} \right]$, где E -- единичная матрица размера $n\times n$, а O - нулевая матрица размера $m\times n$,

3. Пусть A и B -- подпространства в пространстве U = k^s с базами $\{a_{1},\ldots ,a_{m}\}$ и $\{b_{1},b_{2},\ldots ,b_{n}\}$, соответственно, V - внешняя прямая сумма A и B с базой ${\cal V} = \{(a_{1},o),\ldots ,(a_{m},o),(o,b_{1}),\ldots ,(o,b_{n})\}$. Пусть ${\cal U}$ -- стандартная база U. Тогда матрица отображения $\varphi : (a,b ) \rightarrow a+b$ относительно $({\cal V},{\cal U})$ равна

$$[\varphi ]= \left[ \begin{array}{l} a_1\\ \vdots\\ a_m\\ b_1\\ \vdots\\ b_n \end{array} \right] .$$

4. Если ${\cal V} = \{v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n}\}$ -- база пространства $V, U = k^{s}, {\cal U}$ -- стандартная база $U, \{u_{1},u_{2},\ldots ,u_{n}\}$ -- любой набор векторов из U, то относительно $({\cal V},{\cal U})$ матрица линейного отображения $\varphi$ пространства V в U, для которого $v_{i}\varphi =u_{i}$ при всех i, состоит из строк $u_{1},u_{2},\ldots ,u_{n}$ (в том же порядке).

5. Пусть A -- подпространство пространства $V, \varphi : v\rightarrow v+A$ линейное отображением V на фактор-пространство V/A. Если $\{v_{1},v_{2},\ldots ,v_{r}\}$ -- база $A,\ {\cal V} = \{v_{1},v_{2},\ldots ,v_{r},v_{r+1},\ldots ,v_{n}\}$ -- база V, включающая эту базу A, и ${\cal U} = \{v_{r+1}+A,\ldots ,v_{n}+A\}$ - соответствующая база V/A, то матрица $\varphi$ относительно $({\cal V},{\cal U})$ равна $\left[ \begin{array}{c} O\\ E \end{array} \right]$, где O -- нулевая матрица размерности r, а E -- единичная матрица размерности n-r.

2.6.6.Напомним, что множество всех $(m\times n)$ -матриц над S обозначается через $M_{m\times n} (S)$ . Например, $k^{n} = M_{1\times n}(k)$ .

Теорема. Пусть V -- пространство над k с базой ${\cal V} = \{v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n}\}, U$ -- пространство над k с базой ${\cal U} = \{u_{1},u_{2},\ldots ,u_{s}\}$. Сопоставление $\varphi \rightarrow [\varphi ]$ линейному отображению $\varphi$ его матрицы относительно пары $({\cal V},{\cal U})$ дает взаимно однозначное отображение множества ${\cal L} (V,U )$ на $M_{n\times s}(k)$.

Доказательство. Строка $[v_{i}\varphi ]$ определяется однозначно отображением $\varphi$ и парой $({\cal V},{\cal U})$. Поэтому каждому линейному отображению соответствует единственная матрица. Если матрицы двух отображений равны, то эти два отображения одинаково действуют на векторы базы ${\cal V}$, и, значит, одинаково действуют на любой вектор из V , то есть совпадают. Если A -- любая матрица из $M_{m\times n} (S)$, то пусть w_i -- вектор из U, координатная строка которого в базе ${\cal U}$ совпадает с i-ой строкой матрицы A. Определим следующим образом отображение $\varphi$ пространства V в U: если $a = \alpha _{1} v_{1} +\ldots +\alpha _{n}v_{n}$, где $\alpha _{i}\in k$, то $a\varphi = \alpha _{1}w_{1}+\ldots +\alpha _{n}w_{n}$. Тогда $\varphi \in {\cal L}(V,U)$ и $[\varphi ] = A$. Таким образом, каждая матрица является матрицей некоторого линейного отображения.

Теорема доказана.

2.6.7. Ядро и образ, ранг и дефект линейного отображения.

Пусть $\varphi \in {\cal L}(V,U)$. Ядром отображения $\varphi$ называется множество $\ker\varphi = \{v\in V\mid v\varphi =o\}$ (kernel (лат.) -- ядро, сердцевина). Образом $\varphi$ называется множество $Im\varphi = V\varphi = \{v\varphi \mid v\in V\} ($image (англ., фр.) - образ).

Теорема. а) $\ker \varphi$ -- подпространство пространства V (его размерность называется дефектом $\varphi$).

б) $V\varphi$ -- подпространство пространства U (его размерность называется рангом $\varphi$).

в) Сумма ранга и дефекта $\varphi$ равна размерности V.

г) Ранг $\varphi$ совпадает с рангом набора строк матрицы $\varphi$ (относительно любой пары баз).

Доказательство. а) и б) проверяются непосредственно по определению пространства.

в). Пусть $\{u_{1}=v_{1}\varphi ,u_{2}=v_{2}\varphi ,\ldots ,u_{r}=v_{r}\varphi \}$ -- база $V\varphi , \{w_{1},w_{2},\ldots ,w_{d}\}$ -- база $\ker \varphi$. Покажем, что $\{v_{1},v_{2},\ldots ,v_{r}, w_{1},w_{2},\ldots ,w_{d}\}$ -- база V. Если $a\in V$, то $V\varphi \ni a\varphi = \Sigma \alpha _{i}v_{i}\varphi \Leftrightarrow (a-\Sig... ..._{j}w_{j} \Leftrightarrow a = \Sigma \alpha _{i}v_{i} + \Sigma \beta _{j}w_{j}$. Если $\Sigma \alpha _{i}v_{i} + \Sigma \beta _{j}w_{j} = o,$ то $(\Sigma \beta _{j}w_{j})\varphi = o,$ откуда $o = o\varphi = (\Sigma \alpha _{i}v_{i})\varphi + (\Sigma \beta _{j}w_{j})\varphi = \Sigma \alpha _{i}v_{i}\varphi = \Sigma \alpha _{i}u_{i}$ и, значит, все $\alpha _{i}$ равны o, после чего $\Sigma \beta _{j}w_{j} = o$, то есть и все $\beta _{j}$ равны 0.

г) Пусть ${\cal V} = \{v_{1},v_{2},\ldots ,v_{m}\}$ -- база $V, {\cal U}$ -- база U. Поскольку $V\varphi$ совпадает с линейной оболочкой векторов $v_{1}\varphi ,v_{2}\varphi ,\ldots ,v_{m}\varphi$, ранг $\varphi$ совпадает с рангом набора $\{v_{1}\varphi ,v_{2}\varphi ,\ldots ,v_{m}\varphi \}$, который, в свою очередь, совпадает с рангом набора $\{[v_{1}\varphi ],[v_{2}\varphi ],\ldots ,[v_{m}\varphi ]\}$ координатных строк в базе ${\cal U}$, то есть с рангом набора строк $[\varphi ]$. Теорема доказана.

2.6.8. Упражнения. 1. Пусть $\{v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n}\}$ -- база пространства $V, \varphi$ -- линейное отображение V и пусть нумерация v_i-х выбрана так, что ${\cal A} = \{v_{1}\varphi ,v_{2}\varphi ,\ldots ,v_{r}\varphi \}$ -- база набора $\{v_{1}\varphi ,v_{2}\varphi ,\ldots ,v_{n}\varphi \}$.

Доказать, что

а) ${\cal A}$ -- база $V\varphi$;

б) база $\ker \varphi$ может быть получена так:

каждый из векторов $v_{i}\varphi$ выразим через ${\cal A}$:

$$v_{i}\varphi = \alpha _{i1}v_{1}+\alpha _{i2}v_{2}+\ldots +\alpha _{in}v_{n};$$

тогда векторы

$$w_{i} = v_{i}-\alpha _{i1}v_{1}-\alpha _{i2}v_{2}-\ldots -\alpha _{in}v_{n}$$

$(i = r+1,r+2,\ldots ,n)$ составляют базу $\ker \varphi$.

2. Вывести из пункта 1 следующий практический способ нахождения баз ядра и образа:

Пусть A -- матрица линейного отображения $\varphi$ относительно пары баз $({\cal V},{\cal U})$. Составим матрицу [E A], где E -- единичная матрица с тем же числом строк, что и у A. Элементарными преобразованиями строк приведем ее к виду $\left[ \begin{array}{cc} *&I\\ K&O \end{array} \right]$, где строки матрицы I линейно независимы, O -- нулевая матрица, раздел по вертикали -- на прежнем месте. Тогда I состоит из координатных строк (в базе ${\cal U})$ некоторой базы $Im\varphi$, а K -- из координатных строк (в базе ${\cal V})$ некоторой базы $\ker \varphi$.

3. Пусть A -- подпространство пространства V. Доказать, что $\dim (A\varphi ) = \dim (A)-\dim (A\cap \ker \varphi )$.

4. Пусть A и B -- подпространства в пространстве $U, \varphi : (a,b)\rightarrow a+b$ -- линейное отображение внешней прямой суммы V подпространств A и B в $U, \pi$ -- проекция V на первое слагаемое. Доказать, что $A\cap B = (\ker \varphi )\pi$.

5. Вывести из пунктов 4, 2 и примеров пункта 2.6.5 следующий практический способ нахождения базы $A\cap B$:

Пусть A и B -- подпространства в пространстве U = k^s с базами $\{a_{1},a_{2},\ldots ,a_{m}\}$ и $\{b_{1},b_{2},\ldots ,b_{n}\}$. Составим $((m+n)\times 2s)$-матрицу

$$\left[ \begin{array}{cc} O&X\\ Y&Y\end{array} \right] ,$$

где O -- нулевая матрица размера $m\times s$, строками X служат $a_{1},a_{2},\ldots ,a_{m}$, строками Y служат $b_{1},b_{2},\ldots ,b_{n}$. Элементарными преобразованиями строк приведем ее к виду

$$\left[ \begin{array}{cc} *&Z\\ P&O\end{array} \right] ,$$

где число столбцов в каждой из матриц *, P, Z равно s и строки матрицы Z линейно независимы. Тогда строки Z составляют базу A+B, а строки P составляют базу $A\cap$B.

2.6.9. Пусть теперь W -- векторное пространство над полем k с базой ${\cal W} = \{w_{1},w_{2},\ldots, w_{m}\}, V$ -- пространство над k с базой ${\cal V} = \{v_{1},v_{2},\ldots,v_{n}\},U$ -- пространство над k с базой ${\cal U} =\{u_{1},u_{2},\ldots ,u_{s}\}, \varphi , \sigma \in {\cal L}(W,V), \tau\in {\cal L}(V,U), \alpha \in k$. Пусть $[\varphi ] = (f_{ij})_{m\times n}, [\sigma ] = (s_{ij})_{m\times n}$ -- матрицы $\varphi$ и $\sigma$ относительно $(W,{\cal V}), [\tau] = (t_{ij})_{n\times s}$ -- матрица $\tau$ относительно $({\cal V},{\cal U})$ . Определим сумму $[\varphi ]+[\sigma ]$ матриц $[\varphi ]$ и $[\sigma ]$ как матрицу $[\varphi +\sigma ]$ , произведение $[\varphi ][\tau]$ матриц $[\varphi ]$ и $[\tau]$ как матрицу $[\varphi \tau]$ и произведение $\alpha [\varphi ]$ скаляра $\alpha$ на матрицу $[\varphi ]$ как $[\alpha \varphi ]$ .

Тогда

, где для всех i и j,

, где для всех i и j ,

, где для всех i и j.