ПРОГРАММА

по теории вероятностей и математической статистике
для студентов биологического отделения факультета естественных наук


I. Теория вероятностей

  1. Элементы комбинаторики. Выборки с возвращением и без возвращения. Гипергеометрическое распределение.
  2. Дискретное пространство элементарных исходов. События, операции над ними. Вероятность, ее свойства. Классическое определение вероятности.
  3. Геометрические вероятности. Задача о встрече.
  4. s-алгебра событий. Аксиоматическое задание вероятности, основные свойства вероятности.
  5. Независимые события. Условная вероятность. Формула полной вероятности. Формула Байеса.
  6. Схема Бернулли: распределение числа успехов в n испытаниях, номер первого успешного испытания. Теорема Пуассона.
  7. Случайные величины. Функции распределения и их свойства.
  8. Типы распределений. Основные семейства распределений. Свойства нормального распределения.
  9. Многомерные распределения и плотности и их основные свойства.
  10. Функции от случайных величин. Линейные преобразования случайных величин.
  11. Независимые случайные величины. Распределение суммы случайных величин.
  12. Математическое ожидание случайной величины и его свойства.
  13. Моменты, вопросы их существования.
  14. Дисперсия случайной величины и ее свойства.
  15. Коэффициент корреляции и его свойства.
  16. Матрица ковариаций. Многомерное нормальное распределение и его свойства.
  17. Сходимость по вероятности и ее свойства.
  18. Неравенство Чебышева. Закон больших чисел. Теорема Бернулли.
  19. Сходимость по распределению и ее свойства.
  20. Центральная предельная теорема, ее следствия. Теорема Муавра — Лапласа. Примеры применения.

II. Математическая статистика

  1. Предмет и задачи математической статистики. Понятие выборки. Вариационный ряд. Эмпирическая функция распределения. Гистограмма. Теорема Гливенко — Кантелли, теорема Колмогорова.
  2. Задача оценивания неизвестных параметров. Несмещенность, состоятельность, асимптотическая нормальность оценок. Выборочные моменты и их свойства.
  3. Метод моментов.
  4. Метод максимального правдоподобия.
  5. Сравнение оценок. Понятие эффективной оценки.
  6. Распределения, связанные с нормальным (гамма-распределение, хи-квадрат, Стьюдента, Фишера).
  7. Лемма Фишера. Теорема о свойствах выборочного среднего и выборочной дисперсии для выборок из нормальной совокупности.
  8. Построение доверительных интервалов для параметров нормального распределения.
  9. Построение доверительных интервалов с помощью центральной предельной теоремы.
  10. Проверка гипотез, основные понятия. Критерий Колмогорова. Критерий хи-квадрат. Построение критерия с помощью доверительного интервала.
  11. Проверка гипотез в случае нескольких выборок. Проверка гипотез о совпадении параметров двух нормальных совокупностей.
  12. Дисперсионный анализ: однофакторная модель.

Расчетное задание

  1. По числовой выборке из нормальной совокупности с параметрами a и s2 построить доверительные интервалы для:
    а) a, если s2 неизвестно,
    б) s2, если a неизвестно.
  2. По данным числовым наблюдениям проверить основную гипотезу о равномерности распределения с помощью критерия Колмогорова.
  3. По данным двум выборкам из нормальных совокупностей проверить гипотезу
    а) о совпадении дисперсий (критерий Фишера),
    б) о совпадении средних, если известно, что дисперсии совпадают (критерий Стюдента).

Литература

  1. Чистяков В.П. Курс теории вероятностей. М.: Наука, 1982.
  2. Бородин А.Н. Элементарный курс теории вероятностей и математической статистики. Изд-во «Лань», Санкт-Петербург, 1999.
  3. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. М.: Наука, 1988.
  4. Смирнов Н.В., Дунин-Барковский И.В. Курс теории вероятностей и математической статистики. М., 1965.
  5. Большев Л.Н., Смирнов Н.В. Таблицы математической статистики. М., 1965.

Примерный план семинарских занятий

  1. Комбинаторика. Классическое определение вероятностей. (3 часа)
  2. Геометрические вероятности. (1 час)
  3. Независимые события. Схема Бернулли. (2 часа)
  4. Условные вероятности. Формула полной вероятности. Формула Байеса. (2 часа)
  5. Распределения случайных величин. Преобразования случайных величин. (4 часа)
  6. Числовые характеристики случайных величин. (4 часов)
  7. Предельные теоремы (2 часа)
  8. Контрольная работа по теории вероятностей. (2 часа)
  9. Оценивание неизвестных параметров. (4 часа)
  10. Интервальное оценивание. (2 часа)
  11. Проверка статистических гипотез. (4 часа)
  12. Контрольная работа по математической статистике. (2 часа)
  13. Сдача расчетных заданий.



Программу составил к.ф.-м.н. Е. А. Бакланов