Программа специального курса

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Глава 1. Основные понятия теории вероятностей

  1. Случайные величины. Математическое ожидание.
  2. Теоремы о предельном переходе под знаком математического ожидания.
  3. Основные неравенства: неравенства Чебышева, Маркова, Кантелли, Йенсена, Ляпунова, Гёльдера, Минковского, Cr - неравенство.

Глава 2. Вероятностные неравенства

  1. Экспоненциальные неравенства: неравенства Хёффдинга, Чернова, Петрова, Бернштейна, Нагаева – Фука.
  2. Неравенства для моментов сумм независимых случайных величин: неравенства Розенталя.
  3. Неравенства для распределения максимума сумм независимых случайных величин: неравенства Колмогорова, Леви – Колмогорова, Леви, Хайека – Реньи, оценка снизу для распределения максимума сумм ограниченных случайных величин.
  4. Неравенства симметризации: слабое неравенство симметризации, сильное неравенство симметризации, неравенство Леви – Рогозина.

Глава 3. Законы больших чисел и ряды случайных величин

  1. Непрерывность вероятностной меры. Лемма Бореля – Кантелли.
  2. Виды сходимости последовательностей случайных величин. Критерий сходимости Коши.
  3. Слабый закон больших чисел: необходимые и достаточные условия выполнения слабого закона больших чисел для независимых одинаково распределённых случайных величин, слабый закон больших чисел Марцинкевича – Зигмунда, необходимые и достаточные условия выполнения слабого закона больших чисел для произвольных независимых случайных величин.
  4. Сходимость рядов независимых случайных величин: классический критерий Колмогорова сходимости рядов, необходимые и достаточные условия сходимости рядов ограниченных случайных величин, критерий трёх рядов.
  5. Усиленный закон больших чисел: лемма Тёплица, лемма Кронекера, необходимые и достаточные условия выполнения усиленного закона больших чисел для произвольных независимых случайных величин, усиленный закон больших чисел Марцинкевича – Зигмунда, усиленный закон больших чисел Колмогорова.
  6. Оценки скорости сходимости в законах больших чисел.

Глава 4. Закон повторного логарифма

  1. Остаточная σ-алгебра. Законы 0 и 1.
  2. Закон повторного логарифма: предварительные сведения (оценки Хаусдорфа, Харди – Литтлвуда).
  3. Закон повторного логарифма для нормально распределённых случайных величин, закон повторного логарифма Хартмана – Винтнера.

Литература

  1. Бакланов Е. А. Дополнительные главы теории вероятностей. Новосибирск: НГУ, 2014.
  2. Боровков А. А. Теория вероятностей. М.: Эдиториал УРСС, 1999.
  3. Ламперти Дж. Вероятность. М.: Наука, 1973.
  4. Петров В. В. Суммы независимых случайных величин. М.: Наука, 1972.
  5. Петров В. В. Предельные теоремы для сумм независимых случайных величин. М.: Наука, 1987.
  6. Ширяев А. Н. Вероятность: В 2-х т. - М.: МЦНМО, 2004.
  7. Ширяев А. Н. Задачи по теории вероятностей. М.: МЦНМО, 2006.
  8. Bauer H. Wahrscheinlichkeitstheorie. de Gruyter, Berlin, 1991.
  9. Gut A. Probability: A Graduate Course. Springer-Verlag, New York, 2005.
  10. Kallenberg O. Foundations of Modern Probability. Springer-Verlag, New York, 1997.


Лектор – к.ф.-м.н. Е. А. Бакланов