Вопросы и упражнения

Next: Сравнение оценок Up: Точечное оценивание Previous: Методы нахождения оценок: метод

2.6. Вопросы и упражнения

1.: Дана выборка , $\ldots$ , из распределения Бернулли ${\mathsf B}_p$ , где $p\in (0,1)$ — неизвестный параметр. Проверить, что , , являются несмещенными оценками соответственно для , , . Являются ли эти оценки состоятельными?
2.: Дана выборка , $\ldots$ , из распределения Пуассона $\text{\boldmath\ensuremath \Pi}_\lambda$ , где $\lambda\gt$ — неизвестный параметр. Проверить, что и ${\mathbf I}(X_1=k)$ являются несмещенными оценками соответственно для $\lambda$ и $\dfrac{\lambda^k}{k!}\,e^{-\lambda}$ . Являются ли эти оценки состоятельными?
3.: Дана выборка , $\ldots$ , из равномерного распределения ${\mathsf U}_{0,\theta}$ , где $\theta\gt$ — неизвестный параметр. Проверить состоятельность и несмещенность оценок $\theta_1^* =X_{(n)}$ , $\theta_2^* = 2 \overline X$ , $\theta_3^* =X_{(n)}+X_{(1)}$ для параметра $\theta$ .
4.: Построить оценки неизвестных параметров по методу моментов для неизвестных параметров следующих семейств распределений: a) ${\mathsf B}_p$ — по первому моменту, б) $\text{\boldmath\ensuremath \Pi}_\lambda$ — по первому и второму моменту, в) ${\mathsf U}_{a,b}$ — по первому и второму моменту, г) ${\mathsf E}\,{\!}_\alpha$ — по всем моментам, д) ${\mathsf E}\,{\!}_{1/\alpha}$ — по первому моменту, е) ${\mathsf U}_{-\theta,\theta}$ — как получится, ж) $\text{\boldmath\ensuremath \Gamma}_{\alpha,\lambda}$ — по первому и второму моменту, з) ${\mathsf N}_{a,\sigma^2}$ (для $\sigma^2$ при известном и при неизвестном).
5.: Какие из оценок в задаче 4 несмещенные? состоятельные?
6.: Сравнить вид оценок для параметра $\alpha$ , полученных по первому моменту в задачах 4(г) и 4(д). Доказать, что среди них только одна несмещенная.
Указание. Использовать неравенство Йенсена.
7.: Построить оценки неизвестных параметров по методу максимального правдоподобия для следующих семейств распределений: a) ${\mathsf B}_p$ , б) $\text{\boldmath\ensuremath \Pi}_{\lambda+1}$ , в) ${\mathsf U}_{0,2\theta}$ , г) ${\mathsf E}\,{\!}_{2\alpha+3}$ , д) ${\mathsf U}_{-\theta,\theta}$ , е) ${\mathsf N}_{a,\sigma^2}$ ( известно).
8.: Какие из оценок в задаче 7 несмещенные? состоятельные?

N.I.Chernova 9 сентября 2002