next up previous index
Next:  Нормальное уравнение   Up:  Исследование статистической зависимости   Previous:  Примеры

9.5.   Общая модель линейной регрессии

Введем два вектора: ${\mathbf Z}=(Z_1,\ldots,Z_k)$ — факторы регрессии и $\text{\boldmath\ensuremath \beta}=(\beta_1,\ldots,\beta_k)$ -- неизвестные параметры регрессии. Каждый вектор есть вектор-столбец, а изображен по горизонтали для удобства. Обозначать вектора мы, как и ранее, будем жирным шрифтом.

Рассматривается модель регрессии, которая в курсе «Эконометрика» называется простой (линейной) регрессией:

\begin{displaymath}
{\mathsf E}\,(X~\lvert~{\mathbf Z}={\mathbf t})=f({\mathbf t...
 ...~{\mathbf Z})=f({\mathbf Z})=\beta_1\,Z_1+\ldots+\beta_k\,Z_k. \end{displaymath}

Пусть в $i$-м эксперименте факторы регрессии принимают заранее заданные значения ${\mathbf Z}^{(i)}=(Z_1^{(i)},\ldots,Z_k^{(i)})$, где $i=1, \ldots, n$.

После $n\,{\geqslant}\,k$ экспериментов получен набор откликов ${\mathbf X}=(X_1, \ldots, X_n)$, где

\begin{displaymath}
\begin{cases}
 X_1=\beta_1\,Z_1^{(1)}+\ldots+\beta_k\,Z_k^{(...
 ...,Z_1^{(n)}+\ldots+\beta_k\,Z_k^{(n)}+\varepsilon_n, \end{cases}\end{displaymath}

или, в матричной форме, ${\mathbf X}=Z^T \text{\boldmath\ensuremath \beta} + 
\text{\boldmath\ensuremath \varepsilon}$, где матрица $Z(k\times n)$ (матрица плана) равна

\begin{displaymath}
Z=\left(\begin{array}
{ccc}
Z_1^{(1)} & \ldots & Z_1^{(n)} \...
 ...d{array}\right) = ({\mathbf Z}^{(1)} \ldots {\mathbf Z}^{(n)}).\end{displaymath}

Вектор $\text{\boldmath\ensuremath \varepsilon}=(\varepsilon_1,\ldots,\varepsilon_n)$ состоит из случайных ошибок в данных экспериментах.

Требуется по данным матрице плана $Z$ и вектору результатов ${\mathbf X}$ найти оценки для параметров регрессии $\text{\boldmath\ensuremath \beta}$ и параметров распределения вектора ошибок $\text{\boldmath\ensuremath \varepsilon}$.



N.I.Chernova
9 сентября 2002