Программа курса

Основы теории вероятностей и математической статистики

ЭФ, отделение "Математические методы и исследование операций в экономике"

Теория вероятностей

Математическая статистика

Расчетное задание по математической статистике

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

(3 семестр, 36 ч. лекций + 18 ч. практич. занятий)

Задачи математической статистики. Основные понятия выборочного метода. Эмпирическая функция распределения, гистограмма, эмпирические моменты. Сходимость эмпирических характеристик к теоретическим.
Параметрические семейства распределений. Точечные оценки. Несмещенность, состоятельность оценок. Методы нахождения оценок: метод моментов, метод максимального правдоподобия. Состоятельность оценок метода моментов.
Необходимость и способы сравнения оценок. Среднеквадратический подход. Эффективность оценок. Единственность эффективной оценки в классе с фиксированным смещением. Асимптотически нормальные оценки (АНО). Асимптотическая нормальность и ЦПТ. "Скорость" сходимости оценки к параметру. Асимптотический подход к сравнению оценок.
Условия регулярности. Регулярные и нерегулярные семейства распределений. Неравенство Рао-Крамера - способ проверки эффективности оценок. Экспоненциальные семейства.
Точные и асимптотические доверительные интервалы. Смысл доверительного оценивания. Способы построения доверительных интервалов: ЦПТ, АНО, сходимость к известному распределению.
Распределения, связанные с нормальным: G_a,
l, H_n Пирсона, Стьюдента T_n, их взаимосвязь и свойства. Лемма Фишера. Свойства выборок из нормальной совокупности. Построение точных доверительных интервалов для параметров нормальной совокупности.
Гипотезы и критерии. Постановка задачи о проверке гипотез. Основные виды гипотез. Вероятности ошибок. Мощность критерия. Проверка двух простых гипотез. Способы сравнения критериев. Понятие НМК. Лемма Неймана-Пирсона. Простая гипотеза и сложная альтернатива.
Критерии согласия. Общий принцип построения критериев согласия. Понятие состоятельности критерия. Критерии Колмогорова, c² Пирсона. Проверка гипотезы о среднем нормального распределения, гипотезы о равенстве средних двух нормальных совокупностей. Проверка гипотезы случайности.
Задачи сравнения двух выборок. Гипотезы однородности, независимости: критерии Смирнова, c² Пирсона.
Исследование статистической зависимости. Модель линейной регрессии. Общее представление о методе наименьших квадратов.
Байесовское оценивание параметров. Байесовский подход к принятию решений. Статистические решающие функции.

План семинарских занятий.

Точечные и интервальные оценки параметров. (12 часов)
Метод моментов и максимального правдоподобия, сравнение оценок в соответствии со среднеквадратическим подходом, асимптотически нормальные оценки и асимптотический подход к сравнению оценок, эффективные оценки, неравенство Рао-Крамера, построение точных и асимптотических доверительных интервалов.
Проверка статистических гипотез. (6 часов)
Критерии, ошибки, понятие НМК, лемма Неймана-Пирсона, рандомизированные критерии, критерии согласия. Решающие функции.

Контрольные работы и задания

Контрольная работа N1 - 11 неделя (темы 1-4).
Контрольная работа N2 - 17 неделя (темы 5-9).
Расчетное задание вместе с коллоквиумом по лекционному материалу принимают преподаватели, ведущие практические занятия.
Оценка по дифференцированному зачету есть среднее арифметическое трех полученных оценок.

Расчетное задание, ЭФ, 3-й семестр

A.

Дана выборка No.1 объема 50 из неизвестного распределения.

1.

Построить эмпирическую функцию распределения и гистограмму.

2.

Выдвинуть правдоподобную гипотезу о распределении (возможный набор: U_2,q, U_-q,3, N_a,1/9, распределение с.в. q+x, где x имеет распределение E₁, распределение с.в. q-x, где x имеет распределение E₁).

3.

Найти методом моментов и максимального правдоподобия теоретические оценки для неизвестных параметров распределения (в соответствии с выдвинутой гипотезой). Исследовать свойства этих оценок: несмещенность, состоятельность, асимптотическую нормальность. Для регулярных семейств - проверить эффективность оценок, для нерегулярных – сравнить ОММ и ОМП в среднеквадратичном смысле. Вычислить значения оценок для данной выборки.

Пункты 1-3 сдать до 1-й контрольной работы.

4.

Построить точные доверительные интервалы уровня доверия 1-0.05 для неизвестных параметров распределения (в соответствии с выдвинутой гипотезой).

5.

В качестве параметра распределения взять ближайшее целое к оценке максимального правдоподобия и проверить выдвинутую простую гипотезу по критерию Колмогорова. Найти реально достигнутый уровень значимости.

6.

Проверить выдвинутую гипотезу по критерию c². Найти реально достигнутый уровень значимости.

B.

Предположим, что первые 5 чисел первой выборки есть выборка объема 5 из нормального распределения с неизвестными параметрами.

1.: Построить точный доверительный интервал для a при неизвестном s² уровня доверия 0.95.
2.: Построить точный доверительный интервал для s² при неизвестном a уровня доверия 0.95.

C.

Имеется выборка No.2 - выборка (X₁,Y₁),...,(X_n,Y_n) объема 20.

1.: Проверить по критерию c² с критическим уровнем 0.05 независимость X и Y.
2.: Предполагая, что зависимость Y от X линейная (Y = aX+b+e), найти ОМНК для коэффициентов регрессии. Нарисовать линию регрессии и элементы выборки на одном графике.

ЛИТЕРАТУРА [1]  В. П. Чистяков. Курс теории вероятностей. М., 1982.
[2]   А. А. Боровков, Математическая статистика. Ч.I,II. Новосибирск: НГУ, 1983,1984.
[3]  Сборник задач по математической статистике. Под редакцией А. А. Боровкова. Новосибирск: НГУ, 1989.
[4]  Г. И. Ивченко, Ю. И. Медведев, А. В. Чистяков. Сборник задач по математической статистике. М.: Высш. шк., 1989.
[5]  Г. И. Ивченко, Ю. И. Медведев. Математическая статистика. М.: Высш. шк., 1984.
[6]  Л. Н. Большев, Н. В. Смирнов. Таблицы математической статистики. М.: Наука, 1965.

к.ф.-м.н. Чернова Н.И.
тел. 46-73-00 cher@nsu.ru