Решения задач 1-й контрольной работы по теории вероятностей для 823 группы


Один вариант

1. Из последовательности чисел 1, 2, ..., $N$отобраны $n$ чисел и расположены в порядке возрастания: $x_1<x_2<\ldots<x_n$. Какова вероятность того, что $x_m<M$? Найти предел этой вероятности, когда $M,N\to\infty$ так, что $M/N\to\alpha\gt$.


Решение.

\begin{eqnarray*} \mathsf P(x_m<M)&=&\mathsf P(\textit{не менее } m \textit{ чис... ...ts \cdot\frac{M-k}{N-k+1}\ \longrightarrow \sum_{k=m}^n \alpha^k.\end{eqnarray*}

2. На окружности наудачу выбраны две точки $A, B$. Найти вероятность того, что хорда $AB$ удалена от центра на расстояние большее половины радиуса.


Решение. Зафиксируем точку $A$. Хорда $AB$ удалена от центра на расстояние большее половины радиуса в том и только в том случае, когда она опирается на центральный угол больший $2\pi/3$: $B\in[0,2\pi/3]\cup[4\pi/3,2\pi)$.
Ответ. $\mathsf P(B)=2/3$.

3. В урне $a$ белых и $b$ черных шаров. Наудачу извлекается шар. Он возвращается обратно и, кроме того, добавляется $c$ шаров одного с ним цвета. Производится новое извлечение, и процедура изменения состава урны повторяется. Найти вероятность извлечения белого шара на $k$-м шаге.

Решение. Вероятность вынуть белый шар на первом шаге равна $\mathsf P(A_1)=\dfrac{a}{a+b}$.
На втором шаге

\begin{eqnarray*} \mathsf P(A_2)&=&\mathsf P(A_2\,\vert\,A_1)\,\mathsf P(A_1)+ \... ...ot\frac{a}{a+b}+\frac{a}{a+b+c}\cdot\frac{b}{a+b} =\frac{a}{a+b}.\end{eqnarray*}

Выскажем предположение: для любого первоначального состава урны вероятность вынуть белый шар на любом ($k$-м) шаге одинакова и равна доле белых шаров в исходной урне.

Докажем его по индукции.

При $k=1$ и даже при $k=2$ доказано (при произвольных $a$ и $b$).

Пусть предположение верно при $k=n-1$. Заметим, что $\mathsf P(A_n\,\vert\,A_1)$ есть вероятность вынуть белый шар на $n-1$-м шаге из урны, содержащей первоначально $a+c$ белых и $b$ черных шаров. Эта вероятность равна $\dfrac{a+c}{a+b+c}$ по предположению индукции. Точно так же и $\mathsf P(A_n\,\vert\,\overline A_1)=\dfrac{a}{a+b+c}$. Тогда при $k=n$

\begin{eqnarray*} \mathsf P(A_n)&=&\mathsf P(A_n\,\vert\,A_1)\,\mathsf P(A_1)+ \... ...ot\frac{a}{a+b}+\frac{a}{a+b+c}\cdot\frac{b}{a+b} =\frac{a}{a+b}.\end{eqnarray*}

При $k=n$ доказано (при произвольных $a$ и $b$).

4. Каждое из четырех событий может произойти соответственно с вероятностями 0.012, 0.010, 0.006 и 0.002. Определить вероятность того, что в результате опыта произойдет хотя бы одно из этих событий, если эти события а) несовместны; б) независимы.

Решение.
а) $\mathsf P(A_1\cup A_2\cup A_3\cup A_4)=\sum_{i=1}^4 \mathsf P(A_i)$.
б)

\begin{eqnarray*} \mathsf P(A_1\cup A_2\cup A_3\cup A_4)&=&1- \mathsf P(\overlin... ...cap \overline A_4)=\cr &=&1-(1-0.012)(1-0.010)(1-0.006)(1-0.002).\end{eqnarray*}

5. Игральная кость $A$ имеет четыре красных и две белых грани, а кость $B$ — две красных и четыре белых. Один раз бросается монета. Если выпал герб, то все время бросается только кость $A$, если решетка — только кость $B$.
а) Вычислить вероятность получить красную грань при одном бросании кости.
б) Известно, что первые два бросания кости дали красные грани. Найти вероятность того, что третье бросание также даст красную грань.

Решение.
а) $\mathsf P(A)=1/2$.
б) $B_1=\{1-\textit{я кость}\}$, $B_2=\{2-\textit{я кость}\}$.

\begin{eqnarray*} \mathsf P(\textit{3-я кр.}\,\vert\,\textit{1-я и 2-я кр.})&=& ... ...ght)^3} {\left(\frac46\right)^2+\left(\frac26\right)^2}=\dfrac35.\end{eqnarray*}

Еще один вариант

1. Электрическая цепь состоит из элементов $A_k$, соединенных по следующей схеме:


\begin{picture} (65,18)(0,-8) \unitlength=1mm \put(0,0){\vector(1,0){7}} \put(7,... ...ox [8\unitlength]{\shortstack{$A_4$}} } \put(44,0){\vector(1,0){7}}\end{picture}

Вероятность выхода из строя элемента $A_k$ равна $p_k$. Предполагается, что элементы выходят из строя независимо друг от друга. Найти вероятность того, что цепь будет пропускать ток.


Решение. Цепь работает, если работает $A_4$ и хоть одна из линий $A_1$, $A_2-A_3$. Пусть $\mathsf P(A_i)=(1-p_i)=q_i$, $i=1,2,3,4$.

\begin{displaymath} \mathsf P(A_4\cap(A_1\cup A_2A_3))=\mathsf P(A_4)\cdot\bigl(\mathsf P(A_1)+ \mathsf P(A_2A_3)-\mathsf P(A_1A_2A_3)\bigr).\end{displaymath}

Ответ. $q_4(q_1 + q_2q_3 - q_1q_2q_3)$.

2. В сфере радиуса $R$ случайно и независимо друг от друга разбросано $n$ точек.

Чему равна вероятность того, что расстояние от центра до ближайшей точки будет не менее $r$? Найти предел этой вероятности, при $n, R\to\infty$ так, что $\dfrac{n}{R^3}\to \lambda\gt$.

Решение. Все точки расположатся вне шара радиуса $r$ с вероятностью

\begin{displaymath} {\left(\dfrac{\frac43\pi R^3-\frac43\pi r^3}{\frac43\pi R^3}... ...t(1-\dfrac{r^3}{R^3}\right)^n \longrightarrow e^{-\lambda r^3}.\end{displaymath}

3. Собрались вместе $n$ незнакомых человек. Считая, что день рождения приходится на любой из 365 дней года с равной вероятностью, найти вероятность того, что хотя бы у двух из них совпадают дни рождения.

Решение.

\begin{displaymath} \mathsf P(A)=1-\mathsf P(\overline A)= 1-\dfrac{365\cdot 364\cdot\ldots\cdot(365-n+1)}{365^n}\,.\end{displaymath}

4. В первой урне 5 белых и 3 черных шара, во второй — 1 белый и 3 черных. Наудачу выбирается урна, и из нее дважды (с возвращением) выбирается шар.
а) Найти вероятность того, что во второй раз будет вынут белый шар.
б) Найти вероятность того, что во второй раз будет вынут белый шар, если в первый раз был вынут белый шар.

Решение. См. В. Феллер, т. 1, гл. 5, § 2.
Положим $B_1={\textit{1-й белый}}$, $B_2={\textit{1-й черный}}$, $A={\textit{2-й белый}}$.
б)

\begin{displaymath} \mathsf P(B_1)=\frac12\cdot\frac58+\frac12\cdot\frac14=\frac7{16}, \ \mathsf P(B_2)=\frac9{16}.\end{displaymath}

\begin{displaymath} \mathsf P(A\,\vert\,B_1)=\dfrac{\mathsf P(AB_1)}{\mathsf P(B... ...+\frac12\cdot\left(\frac14\right)^2}{\frac7{16}}=\frac{29}{56}.\end{displaymath}

Заметьте, что вероятность $\mathsf P(A\,\vert\,B_1)$ не равна $\mathsf P(B_1)$.
а) С очевидностью, $P(A)=P(B_1)$. Действительно, повторяя предыдущие рассуждения, получим $\mathsf P(A\,\vert\,B_2)=\dfrac{27}{72}$,

\begin{displaymath} \mathsf P(A)=\mathsf P(A\,\vert\,B_1)\,\mathsf P(B_1)+ \math... ...29}{56}\cdot\frac7{16}+\frac{27}{72}\cdot\frac9{16}=\frac7{16}.\end{displaymath}

5. Из партии в шесть изделий наудачу взято одно изделие, оказавшееся бракованным. Количество бракованных изделий в партии равновозможно любое. Какова вероятность, что бракованных изделий ровно три?

Решение. Формула Байеса:

\begin{displaymath} \mathsf P(\textit{3 бракованных}\,\vert\,\textit{наудачу взя... ...ot\frac17}{\sum\limits_{k=1}^6\frac{k}6\cdot\frac17}=\frac17\,.\end{displaymath}

Natalia Chernova
17.10.2000