To chair's page


Первая контрольная работа по теории вероятностей
2002/2003 учебный год, 20 марта 2003 г.
1 курс ЭФ

© N.Chernova, 2003

1.
На полке семь учебников по теории вероятностей, семь — по математическому анализу и одиннадцать — по микроэкономике. Наудачу выбирают шесть книг. Найти вероятность того, что среди них будет не менее четырех книг по теории вероятностей.
2.
На отрезок [0,2] наудачу и независимо друг от друга брошены две точки с координатами $\xi$ и $\eta$. Проверить, являются ли события $\{\xi \geq 1\}$ и $\{\xi+\eta<2\}$ независимыми.

3.
Четырнадцать раз подбрасывается пара игральных костей. Какова вероятность того, что сумма очков, равная 3, выпадет не менее пяти, но не более десяти раз?

4.
В первой урне 7 белых и 2 черных шара, во второй — 4 белых и 5 черных, в третьей — 3 белых и 6 черных, и в четвертой — 2 белых и 7 черных. Из каждой урны наудачу выбирается шар. Известно, что три шара оказались белыми и один шар — черным. Найти (условную) вероятность того, что из второй урны был выбран белый шар.

5.
Из полной колоды карт (52 карты) вынимают одновременно пять карт. Рассматриваются события:
A={среди вынутых карт есть хотя бы одна пиковая}; B={среди вынутых карт есть хотя бы две бубновых}.
Найти вероятность объединения событий A и B .

6.
Пусть события $A_1,A_2,\ldots,A_n$ независимы в совокупности. Доказать, что тогда события $\overline A_1\cup A_2, A_3,\ldots,A_n$ также независимы в совокупности.

1.
Из урны, содержащей по десять красных, синих и белых шаров, наудачу и без возвращения выбираются 8 шаров. Найти вероятность того, что среди них попадутся хотя бы три синих шара.

2.
На отрезок [-1,1] наудачу и независимо друг от друга брошены две точки с координатами $\xi$ и $\eta$. Проверить, являются ли события $\{\max(\xi,\eta)<1/2\}$ и $\{\eta<0\}$ независимыми.

3.
Семь раз подбрасываются три игральные кости. Какова вероятность того, что сумма очков, равная 17, выпадет не менее пяти раз?

4.
Игральная кость A имеет четыре красных и две белых грани, кости B и C — по три красных и три белых, а кость D — две красных и четыре белых. Кости брошены один раз, при этом одна кость выпала красной гранью, а остальные белыми. Найти (условную) вероятность того, что кость D выпала белой гранью.

5.
Два стрелка, независимо один от другого, делают по три выстрела каждый по своей мишени. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка 1/4, для второго — 1/3. Найти вероятность того, что в мишени первого стрелка будет больше пробоин.

6.
На отрезок [0,1] наудачу и независимо друг от друга бросаются 5 точек. Обозначим через X(1) координату самой левой точки (минимальная из координат точек), и через X(5) — координату самой правой (максимальная из координат). Доказать, что события $\{X_{(1)}\gt 1/4\}$ и $\{X_{(5)}<3/4\}$ зависимы.

1.
В коробке — по 7 желтых, синих и красных шаров. Наудачу и без возвращения выбирают 9 шаров. Найти вероятность того, что попадется не более трех синих шаров.

2.
На отрезок [-1,2] наудачу и независимо друг от друга брошены две точки с координатами $\xi$ и $\eta$. Проверить, являются ли события $\{\xi+\eta\geqslant1\}$ и $\{\xi\gt\}$ независимыми.

3.
Девять раз подбрасывается пара игральных костей. Какова вероятность того, что сумма очков, равная 11, выпадет не менее двух, но не более пяти раз?

4.
Стрелки A , B , C и D попадают по мишени с вероятностями 0,2, 0,6, 0,1 и 0,9 соответственно, независимо друг от друга. Стрелки дали залп по мишени, и в мишень попали ровно три пули. Найти (условную) вероятность того, что C попал.

5.
В урне 10 белых и 8 черных шаров. Из урны без возвращения вынимают 7 шаров. Найти вероятность того, что среди вынутых шаров будет больше белых, чем черных.

6.
Колода карт (52 карты) раздается поровну четырем игрокам — по 13 карт каждому. Найти вероятность того, что хотя бы у одного из игроков соберутся все карты одной масти.

1.
Из колоды в 36 карт (4 масти по 9 карт) наудачу и без возвращения выбираются 7 карт. Найти вероятность того, что попадется не менее двух тузов.

2.
На отрезок [0,2] наудачу и независимо друг от друга брошены две точки с координатами $\xi$ и $\eta$. Проверить, являются ли события $\{\xi\leqslant1\}$ и $\{\min(\xi,\eta)\gt 1/2\}$ независимыми.

3.
Пять раз подбрасываются три игральные кости. Какова вероятность того, что сумма очков, равная 4, выпадет не более трех раз?

4.
В каждой урне по 5 шаров, при этом в первой 2 белых, во второй — три, в третьей и четвертой — по 4 белых шара, остальные зеленые. Из каждой урны наудачу выбирается шар. Известно, что три шара оказались зелеными и один — белым. Найти (условную) вероятность того, что из первой урны был выбран зеленый шар.

5.
Из полной колоды карт (52 карты) вынимают одновременно четыре карты. Рассматриваются события:
A={среди вынутых карт есть не менее двух пиковых}; B={среди вынутых карт есть хотя бы одна червонная}.
Найти вероятность объединения событий A и B .

6.
Множество $\Omega$ состоит из 15 элементов. Доказать, что количество элементов в $\sigma$-алгебре всех подмножеств множества $\Omega$равно 215 .

1.
В новогоднем подарке по семь конфет пяти сортов, один из которых — «Мишка косолапый». Через дырочку мышке удалось достать десять конфет. Найти вероятность того, что среди них не менее трех «Мишка косолапый».

2.
На отрезок [0,3] наудачу и независимо друг от друга брошены две точки с координатами $\xi$ и $\eta$.Проверить, являются ли события $\{\xi+\eta\leqslant2\}$ и $\{\eta \gt 1\}$ независимыми.

3.
Двенадцать раз подбрасывается пара игральных костей. Какова вероятность того, что сумма очков, равная 10, выпадет не более трех раз?

4.
Игральная кость A имеет две красных и четыре белых грани, кость B — три красных и три белых, кость C — одну красную и пять белых, и кость D — четыре красных и две белых. Кости брошены одновременно. Известно, что ровно три из них выпали белыми гранями. Найти (условную) вероятность того, что кость A выпала белой гранью.

5.
Из ящика, в котором по семь белых, синих и красных шаров, вынимают одновременно пять шаров. Рассматриваются события: A={среди вынутых шаров есть белые}; B={среди вынутых карт есть не менее трех красных}.
Найти вероятность объединения событий A и B .

6.
По 10 ящикам раскладывают 11 шариков. Предполагается, что для каждого шарика равновозможно попасть в любой из ящиков. Найти вероятность того, что ровно два ящика останутся пустыми.

1.
Из колоды в 52 карты (4 масти по 13 карт) наудачу и без возвращения выбираются 9 карт. Найти вероятность того, что попадется не более семи карт бубновой масти.

2.
На отрезок [0,2] наудачу и независимо друг от друга брошены две точки с координатами $\xi$ и $\eta$.Проверить, являются ли события $\{\eta-\xi \gt 1\}$ и $\{\xi\leqslant1\}$ независимыми.

3.
Восемь раз подбрасываются три игральные кости. Какова вероятность того, что сумма очков, равная 17, выпадет не менее семи раз?

4.
Первый из четырех студентов правильно решает задачу с вероятностью 0,8, второй — 0,5, третий — 0,6 и четвертый — с вероятностью 0,7. При проверке оказалось, что из четырех решений ровно три правильных. Найти (условную) вероятность того, что четвертый студент правильно решил задачу.

5.
В урне 7 белых и 9 черных шаров. Из урны без возвращения вынимают 6 шаров. Найти вероятность того, что среди вынутых шаров будет больше черных, чем белых.

6.
Пусть $\Omega=[0,1]$, ${\mathcal F}$ — $\sigma$-алгебра борелевских множеств, ${\mathsf P}$ — мера Лебега на отрезке [0,1] и $A=[1/2,\,1]$.Построить события B и C такие, что ${\mathsf P}(B)={\mathsf P}(C)=1/2$,причем события A , B и C независимы в совокупности.

1.
На складе 15 мешков муки высшего сорта, 18 — первого и 7 — второго сорта. Кладовщик наудачу выбирает и выдает восемь мешков. Найти вероятность того, что попадется не менее двух мешков муки высшего сорта.

2.
На отрезок [0,3] наудачу и независимо друг от друга брошены две точки с координатами $\xi$ и $\eta$.Проверить, являются ли события $\{\eta \gt 1\}$ и $\{\min(\xi,\eta) \leqslant2\}$ независимыми.

3.
Одиннадцать раз подбрасывается пара игральных костей. Какова вероятность того, что сумма очков, равная 10, выпадет не более трех раз?

4.
В каждой урне по 7 шаров, при этом в первой 4 белых, во второй — два, в третьей и четвертой — по 5 белых шаров, остальные черные. Из каждой урны наудачу выбирается шар. Известно, что три шара оказались белыми и один — черным. Найти (условную) вероятность того, что из третьей урны был выбран белый шар.

5.
Два стрелка, независимо один от другого, делают по три выстрела каждый по своей мишени. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка 1/2, для второго — 1/3. Найти вероятность того, что в мишени второго стрелка будет не меньше пробоин, чем в мишени первого.

6.
Какова минимальная $\sigma$-алгебра подмножеств $ \mathbb R$, содержащая все интервалы $(-\infty,\,a)$ при любых вещественных a ? Ответ обосновать.

1.
В коробке — 4 красных и по 8 белых и синих шаров. Наудачу и без возвращения выбирают 6 шаров. Найти вероятность того, что попадется не менее трех красных шаров.

2.
На отрезок [0,2] наудачу и независимо друг от друга брошены две точки с координатами $\xi$ и $\eta$. Проверить, являются ли события $\{\xi+\eta < 1\}$ и $\{\eta\gt 1/2\}$ независимыми.

3.
Семь раз подбрасывается пара игральных костей. Какова вероятность того, что сумма очков, равная трем, выпадет не менее трех, но не более шести раз?

4.
Игральная кость A имеет одну красную грань, кость B — три, кость C — две и кость D — четыре красных грани. Остальные грани на всех костях белые. Кости брошены один раз, при этом одна кость выпала белой гранью, а остальные красными. Найти (условную) вероятность того, что кость A выпала белой гранью.

5.
Из полной колоды карт (52 карты) вынимают одновременно пять карт. Рассматриваются события:
A={среди вынутых карт есть не менее двух бубей}; B={среди вынутых карт есть хотя бы одна пиковая}.
Найти вероятность объединения событий A и B .

6.
Монета, которая может выпадать гербом, решкой или вставать на ребро, подбрасывется дважды. Описать пространство элементарных исходов $\Omega$ (перечислить его элементы) и построить минимальную $\sigma$-алгебру, содержащую события A={при первом подбрасывании монета встала на ребро} и B={ни разу монета не встала на ребро}.

1.
Из колоды в 36 карт (4 масти по 9 карт) наудачу и без возвращения выбираются 9 карт. Найти вероятность того, что попадется не менее двух красных карт.

2.
На отрезок [-1,2] наудачу и независимо друг от друга брошены две точки с координатами $\xi$ и $\eta$. Проверить, являются ли события $\{\xi\geqslant0\}$ и $\{\max(\xi,\eta)<1\}$ независимыми.

3.
Десять раз подбрасываются три игральные кости. Какова вероятность того, что сумма очков, равная 17, выпадет не более двух раз?

4.
Четыре стрелка A , B , C и D попадают по мишени с вероятностями 0,4, 0,5, 0,2 и 0,8 соответственно, независимо друг от друга. Известно, что после залпа в мишени оказалось три пробоины. Найти (условную) вероятность того, что стрелок B попал.

5.
В урне 8 белых и 5 черных шаров. Из урны без возвращения вынимают 6 шаров. Найти вероятность того, что среди вынутых шаров черных будет не больше, чем белых.

6.
Пусть $\Omega=\{\spadesuit,\clubsuit,\diamondsuit,\heartsuit\}$,и ${\mathcal F}$ — $\sigma$-алгебра всех подмножеств $\Omega$. Задать на ${\mathcal F}$ какую-нибудь вероятностную меру ${\mathsf P}$ так, чтобы вероятность события $\{\spadesuit,\clubsuit\}$ равнялась 1/8 .


This document was generated using the LaTeX2HTML translator Version 97.1 (release) (July 13th, 1997)