Контрольная работа N1, гр. 3125-26, 3127-28

Вариант 1
1. Точка с координатой ξ выбирается наудачу на отрезке [0, 1], и независимо от неё точка с координатой η выбирается наудачу на отрезке [0, 2]. Проверить, являются ли три события {ξ + η < 1}, {ξ > 1/2} и {η < 1} независимыми в совокупности.

2. Какова вероятность, что в последовательности испытаний Бернулли с вероятностью успеха p две неудачи подряд ("НН") произойдут раньше, чем последовательность "УНУ"?

3. Известно, что при бросании восьми игральных костей выпала по крайней мере одна единица. Какова при этом вероятность того, что выпали ровно 3 тройки?

4. Прибор содержит два блока, исправность каждого из которых необходима для функционирования прибора. Вероятности безотказной работы в течение времени T для этих блоков соответственно равны p1 и p2. Прибор испытывался время T и вышел из строя. Определить вероятность того, что отказал первый блок, если отказы блоков происходят независимо друг от друга.

5. Колода в 52 карты раздается поровну четверым игрокам. Найти вероятность того, что хотя бы у одного из них соберутся все карты одной масти.

6. Пусть W = [0, 1] с сигма-алгеброй F борелевских подмножеств отрезка [0, 1]. Построить на <W, F> какую-нибудь вероятностную меру, отличную от меры Лебега.

Вариант 2
1. По n ящикам наудачу раскладывают n + 1 шарик. Предполагая, что любой шарик попадает в любой из ящиков с равной вероятностью и независимо от остальных шариков, найти вероятность того, что ровно два ящика останутся пусты.

2. Найти вероятность того, что в испытаниях схемы Бернулли с вероятностью успеха p третий по счету успех произойдет ровно через пять испытаний (в шестом по счёту) после первого успеха.

3. Известно, что при бросании девяти игральных костей выпало не менее двух троек. Какова при этом вероятность того, что выпала ровно одна единица?

4. В первой урне 7 белых и 2 чёрных шара, во второй — 4 белых и 5 чёрных. Из каждой урны потеряли по одному шару. После этого шары из обеих урн ссыпали в одну и дважды доставали из неё шар, возвращая его всякий раз обратно. Найти вероятность того, что ровно один раз был вынут белый шар.

5. Колода в 52 карты сдается поровну тринадцати игрокам. Найти вероятность того, что хотя бы одному из игроков попадутся карты одного наименования (все двойки, или все тройки, или ...).

6. Является ли σ-алгеброй в R2 декартово произведение ß(R)×ß(R) двух борелевских σ-алгебр?

Вариант 3
1. Из полной колоды карт (52 штуки) наудачу выбирают 7 карт. Какова вероятность, что среди вынутых карт будут присутствовать карты только двух наименований?

2. Трое поочередно бросают игральную кость. Выигрывает тот, у кого раньше выпадет шесть очков. Определить вероятности выигрыша для каждого из игроков.

3. Известно, что при бросании шести игральных костей выпало не более двух шестерок. Какова при этом вероятность того, что выпали ровно две единицы?

4. В урне имеется n шаров, причем цвет каждого из них с равной вероятностью может быть белым или черным. Из урны извлечены одновременно k, 1 ≤ k < n, шаров. Все они оказались белыми. Какова вероятность, что в урне содержатся только белые шары?

5. В ящике сорок воздушных шариков четырех цветов, по десять шариков каждого цвета. Продавец выдает четырем покупателям по десять шариков, выбирая их наудачу. Какова вероятность, что хотя бы у одного из покупателей все шарики окажутся одного цвета?

6. Пусть F1 и F2 — σ-алгебры подмножеств Ω. Доказать, что F1 ∩ F2 — σ-алгебра.

Вариант 4
1. Из урны, содержащей n пронумерованных (от 1 до n) шаров, наудачу k раз выбирается шар (с возвращением). Какова вероятность, что номера вынутых шаров образуют убывающую последовательность?

2. Три товарища X, Y и Z по очереди бросают снежки в окно. Первый попавший в окно получает приз от дворника. Вероятность попадания при одном броске для X равна 1/3, для Y — 1/2, а для Z — 2/3. Найти вероятности получения приза для X, Y и Z.

3. Известно, что при бросании семи игральных костей выпало не менее трех единиц. Какова при этом вероятность того, что выпали ровно две шестерки?

4. Некоторое изделие выпускается двумя заводами, причем объем продукции второго завода в k раз превосходит объем продукции первого. Доля брака у первого завода p1, у второго — p2. Изделия, выпущенные заводами за одинаковый промежуток времени, перемешали и в таком виде пустили в продажу. Какова вероятность того, что вы приобрели изделие со второго завода, если оно оказалось бракованным?

5. Колода из 36 карт сдается поровну девяти игрокам. Какова вероятность, что хотя бы у одного из игроков соберутся все карты одного достоинства (все тузы, или все короли, или ...)?

6. Пусть W = [0, 1], F=2W. Построить какую-нибудь вероятностную меру на <W, F>.

Вариант 5
1. В очереди у театральной кассы стоит 2n человек; n человек имеют денежные знаки только пятирублёвого достоинства, а остальные n — только десятирублёвого достоинства. В начале продажи в кассе денег нет, каждый покупатель берёт только по одному билету стоимостью 5 рублей. Чему равна вероятность того, что никому не придётся ждать сдачи?

2. Каждый день, начиная с 1-го сенября, в общежитии может не быть горячей воды с вероятностью p независимо от остальных дней. Найти вероятность того, что в пятый раз горячую воду дадут 17-го сентября.

3. Чему равна вероятность того, что два бросания трёх игральных костей дадут один и тот же результат, если а) кости различны; б) кости неразличимы?

4. В урну, содержащую n шаров, опущен белый шар. Какова вероятность извлечь из этой урны белый шар, если все предположения о первоначальном числе белых шаров равновозможны?

5. По n ящикам размещаются наудачу m ≤ n различных шариков. Предполагается, что каждому шару равновозможно попасть в любой из ящиков. Какова вероятность, что все ящики будут заполнены?

6. Пусть W = [-1, 1], а σ-алгебра F порождена множеством интервалов вида (-a, a), 0 ≤ a ≤ 1. Описать класс функций ξ : WR R, измеримых относительно F.

File translated from TEX by TTH, version 3.12.
On 12 Oct 2005, 21:26.