Контрольная работа N2, гр. 0125-26, 0135-36

Вариант 1

1.1. Пусть x и h — независимые случайные величины, причем x имеет равномерное распределение на отрезке [0,2], а h — показательное распределение с параметром 1. Найти функцию распределения, плотность распределения, математическое ожидание и дисперсию случайной величины z = 2xh.

1.2. Пусть x и h — независимые случайные величины, причем x имеет равномерное на отрезке [–1, 1] распределение, а h имеет биномиальное распределение с параметрами 2 и 1/2. Найти функцию и плотность распределения суммы x+h.

1.3. Найти коэффициент корреляции r(x1,h1), где x1=xh, h1=x+2h, и случайные величины x, h — из задачи 1.2.

1.4. Найти функцию распределения и математическое ожидание случайной величины ex, если случайная величина x имеет равномерное распределение на отрезке [–1, 1].

1.5. Привести пример случайной величины x с плотностью распределения p(x) и непрерывной функции g(x) такой, что g(x) имеет невырожденное дискретное распределение.


Вариант 2

2.1. Пусть случайные величины x и h независимы, причем x имеет равномерное на отрезке [–1, 1] распределение, а h имеет показательное распределение с параметром a = 2. Найти функцию и плотность распределения суммы x+h.

2.2. Пусть случайная величина xk имеет показательное распределение с параметром 1/k, где k=1,2,... Случайная величина h имеет распределение Пуассона с параметром l и не зависит от последовательности {xk}. Найти функцию распределения, математическое ожидание и дисперсию случайной величины xh+1.

2.3. Найти коэффициент корреляции r(x1,h1), где x1=x–2h, h1=x+h, и случайные величины x, h — из задачи 2.1.

2.4. Найти функцию распределения и математическое ожидание случайной величины ex, если случайная величина x имеет равномерное распределение на отрезке [0,2].

2.5. Привести пример распределения, для которого не существуют моменты Exk ни при каком k=+1,+2,....


Вариант 3

3.1. Пусть случайные величины x и h независимы, причем x имеет равномерное на отрезке [0, 1] распределение, а h имеет показательное распределение с параметром 4 Найти функцию и плотность распределения случайной величины x–2h.

3.2. Случайные величины x, h, j независимы, причем j имеет распределение Бернулли с параметром p, x и h равномерно распределены на отрезке [0, 1]. Найти функцию распределения и математическое ожидание случайной величины jmax(x,h) + (1 – j) min(x,h).

3.3. Найти коэффициент корреляции r(x1,h1), где x1=x–2h, h1=h+1, и случайные величины x, h — из задачи 3.1.

3.4. Независимые случайные величины x и h имеют стандартное нормальное распределение. Найти плотность распределения случайной величины exp{|xh|}.

3.5. Пусть случайная величина x имеет абсолютно непрерывное распределение. Имеют ли случайные величины x и 2x абсолютно непрерывное совместное распределение?


Вариант 4

4.1. Пусть x и h — независимые случайные величины, причем x имеет равномерное распределение на отрезке [0, 1], а h — показательное распределение с параметром 1. Найти функцию распределения, математическое ожидание и дисперсию случайной величины z = x– 2h.

4.2. Пусть x1, x2,... — независимые случайные величины, каждая из которых имеет стандартное нормальное распределение. Величины x1, x2,... наблюдаются поочередно. Пусть n — номер первой случайной величины, значение которой положительно. Найти E n.

4.3. Правильная монета подбрасывается n раз. Найти коэффициент корреляции и ковариацию числа выпадений герба и числа выпадений решки.

4.4. Найти функцию распределения и математическое ожидание случайной величины e|x–1|, если случайная величина x имеет показательное распределение с параметром 2.

4.5. Пусть F(x) и G(x) — функции распределения. Являются ли функциями распределения следующие функции:   а) F(x)+G(x);  б) (F(x)+G(x))/2;  в) F(x–3)·G(x+4);  г) F5(x)?

Если «да», указать, как построить случайные величины с такими функциями распределения.


Вариант 5

5.1. Пусть x и h — независимые случайные величины, причем x имеет показательное распределение с параметром 4, h имеет равномерное на отрезке [–1, 1] распределение. Найти функцию и плотность распределения разности xh.

5.2. Пусть случайная величина xk имеет показательное распределение с параметром 1/k, где k=1,2,... Cлучайная величина h имеет геометрическое распределение с параметром p и не зависит от последовательности {xk}. Найти функцию распределения и математическое ожидание случайной величины xh.

5.3. На отрезок [0, 1] брошены наудачу и независимо друг от друга две точки. Найти коэффициент корреляции координат левой и правой точек.

5.4. Найти функцию распределения и математическое ожидание случайной величины ex, если случайная величина x имеет показательное с параметром 2 распределение.

5.5. На отрезке [0, 1] с сигма-алгеброй борелевских множеств и мерой Лебега заданы случайные величины x(w)=[2w] и h(w)=[4w] ([x] — целая часть x). Измерима ли x относительно s-алгебры, порожденой h? Измерима ли h относительно s-алгебры, порожденой x?


Вариант 6

6.1. Пусть x и h — независимые случайные величины, причем x имеет показательное распределение с параметром 2, h имеет равномерное на отрезке [0, 1] распределение. Найти функцию распределения, плотность распределения, математическое ожидание и дисперсию случайной величины x–2h.

6.2. Случайные величины x, h, j независимы, причем j имеет распределение Бернулли с параметром p, x и h равномерно распределены на отрезке [0, 1]. Найти функцию распределения случайной величины jx+ (1 – j) max(x,h).

6.3. Найти коэффициент корреляции r(x1,h1), где x1=x–2h, h1=x+h, и случайные величины x, h — из задачи 6.1.

6.4. Найти функцию распределения и математическое ожидание случайной величины ex, если случайная величина x имеет равномерное на отрезке [1,2] распределение.

6.5. Привести пример дискретного распределения, для которого E(x)–1=(Ex)–1.


Вариант 7

7.1. Пусть случайные величины x и h независимы и имеют показательное с параметром 4 распределение. Найти функцию и плотность распределения разности x–2h.

7.2. Пусть случайные величины x и h независимы, причем x имеет равномерное на отрезке [0, 1] распределение, а h принимает значения 0, 1 и 2 с равными вероятностями. Найти функцию распределения, математическое ожидание и дисперсию суммы x+h.

7.3. Найти коэффициент корреляции r(x1,h1), где x1=x–2h, h1=2x+h, и случайные величины x, h — из задачи 7.1.

7.4. Найти функцию распределения случайной величины lnx, если случайная величина x имеет равномерное на отрезке [0,2] распределение.

7.5. Выяснить, при каких a существует момент Eex, если x имеет показательное распределение с параметром a.


Вариант 8

8.1. Пусть случайные величины x и h независимы, x имеет показательное распределение с параметром 2, h распределена равномерно на отрезке [0,2]. Найти функцию распределения, математическое ожидание и дисперсию случайной величины xh.

8.2. Случайные величины x, h, j независимы, причем j имеет распределение Бернулли с параметром p, x и h равномерно распределены на отрезке [0, 1]. Найти функцию распределения случайной величины jx+ (1 – j) min(2x,h).

8.3. Найти коэффициент корреляции r(x1,h1), где x1=xh, h1=x+2h, и случайные величины x, h — из задачи 8.1.

8.4. Найти функцию распределения и математическое ожидание случайной величины ex, если случайная величина x имеет показательное с параметром 1 распределение.

8.5. Случайные величины x и h независимы и имеют равномерное распределение на отрезке [0, 1]. Доказать, что случайные величины min(x,h) и |xh| одинаково распределены.


Вариант 9

9.1. Пусть случайные величины x и h независимы. Найти функцию распределения, математическое ожидание и дисперсию суммы x+h, если x имеет показательное распределение с параметром 1, а h имеет равномерное распределение на отрезке [–1, 0].

9.2. Пусть x и h — независимые случайные величины, причем x имеет равномерное на отрезке [0, 1] распределение, а h имеет биномиальное распределение с параметрами 2 и 1/3. Найти функцию и плотность распределения разности xh.

9.3. Найти коэффициент корреляции r(x1,h1), где x1=x+h, h1=x–2h, и случайные величины x, h — из задачи 9.1.

9.4. Найти плотность распределения и математическое ожидание случайной величины x3, где случайная величина x имеет стандартное нормальное распределение.

9.5. Точка брошена наудачу в полукруг {x2+y2 ≤ 1, x ≥ 0}. Доказать, что координаты точки зависимы.


File translated from TEX by TTH, version 3.12.
On 31 Mar 2003, 12:40.