МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

ММФ, 6-й семестр, лектор: профессор И.С.Борисов

1. Основные статистические задачи. Выборка. Выборочное (эмпирическое) распределение и выборочные характеристики: среднее, дисперсия, моменты. Вариационный ряд и эмпирическая функция распределения. Группировка наблюдений, гистограммы ( [ 1 ], [ 2 ] ).
2. Вполне ограниченные классы множеств. Теоремы Гливенко-Кантелли. Сходимость выборочных характеристик к истинным ( [ 1 ], [ 2 ] ).
3. Параметрические семейства распределений. Понятие плотности относительно некоторой меры. Классические семейства распределений ( [ 1 ] ).
4. Понятие оценки неизвестного параметра. Состоятельные оценки. Несмещенные и асимптотически несмещенные оценки. Принцип подстановки и метод моментов ( [ 1 ] ).
5. Асимптотически нормальные оценки (АНО) и их сравнение. АНО для функций от параметров. Теорема о суперпозиции. Выборочные моменты как АНО. Состоятельность АНО ( [ 1 ] ).
6. Функция правдоподобия. Оценки максимального правдоподобия (ОМП). Состоятельность ОМП ( [ 1 ], [ 2 ] ).
7. Достаточные статистики. Факторизационная теорема Неймана - Фишера ( [ 1 ], [ 2 ] ).
8. Сравнение оценок. Эффективные оценки. Улучшение оценок с помощью достаточных статистик. Полнота и эффективность оценок ( [ 1 ] ).
9. Байесовские и минимаксные оценки ( [ 1 ] ). Состоятельность байесовских оценок.
10. Неравенство Рао - Крамера. R-эффективные оценки и их связь с ОМП.
11. Критерий R-эффективности ( [ 1 ] ).
12. Доверительные интервалы (точные и асимптотические). Принцип построения. Асимптотические доверительные интервалы, построенные с помощью АНО ( [ 1 ] ).
13. Доверительные интервалы для классических семейств распределений с одномерным параметром ( [ 1 ] ).
14. Распределения "хи-квадрат" и Стьюдента. Лемма Фишера ( [ 1 ] ).
15. Точные доверительные интервалы для параметров нормального распределения ( [ 1 ] ).
16. Основные понятия теории проверки конечного числа гипотез: простые и сложные гипотезы, критерии (статистические решающие функции), вероятности ошибок i-го рода. Естественное сравнение критериев, несуществование наилучшего в классе всех критериев ( [ 1 ], [ 2 ] ).
17. Байесовские критерии для проверки конечного числа простых гипотез ( [ 1 ] ).
18. Проверка двух простых гипотез. Наиболее мощные критерии. Теорема Неймана - Пирсона ( [ 1 ], [ 4 ] ).
19. Равномерно наиболее мощные критерии для проверки простых гипотез против сложных альтернатив. Экспоненциальные семейства распределений ( [ 1 ] ).
20. Принцип минимального расстояния. Критерии согласия. Непараметрические критерии. Критерии Колмогорова и "омега квадрат" ( [ 1 ], [ 2 ] ).
21. Критерий "хи-квадрат" для проверки простых и сложных гипотез. Теорема Пирсона ( [ 1 ], [ 2 ], [ 4 ] ).
22. Построение критериев согласия с помощью доверительных интервалов ( [ 1 ] ).
23. Двувыборочные критерии Колмогорова - Смирнова и Стьюдента ( [ 1 ], [ 2 ] ).
24. Критерий "хи-квадрат" в задаче о сопряженных признаках ( [ 1 ], [ 2 ], [ 4 ] ).

ЛИТЕРАТУРА

1. Боровков А.А. Математическая статистика. Учебное пособие, Ч.I,II, - Изд-во НГУ, 1983, 1984.
2. Боровков А.А. Математическая статистика (Оценка параметров. Проверка гипотез). М.: Наука, 1984.
3. Боровков А.А. и др. Сборник задач по математической статистике. Новосибирск: Изд-во НГУ, 1989.
4. Крамер Г. Математические методы статистики. М.: Мир, 1975.
5. Коршунов Д.А., Чернова Н.И. Сборник задач и упражнений по математической статистике. Новосибирск: Изд-во Института математики им. С.Л.Соболева СО РАН, 2001.
   

Программу составил
профессор И.С.Борисов