ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

ММФ, 5-й семестр, лектор: профессор И.С.Борисов

1. Вероятность и ее свойства
   
   1. Стохастический эксперимент и пространство элементарных исходов. События и операции над ними. Закон стабилизации частот. Статистическое определение вероятности. Классическое определение вероятности ([1-3]).

   2. Вероятность на дискретных пространствах элементарных исходов ([1-3]).

   3. Элементы комбинаторики. Урновая схема. Выборки с возвращением и без возвращения. Принципы умножения, редукции и независимого выбора. Основные комбинаторные формулы (число размещений, сочетаний и перестановок). Гипергеометрическое распределение и его обобщение ([1], [3]).

   4. Геометрическая вероятность как непрерывный аналог классической схемы. Неравномерные распределения в недискретных пространствах элементарных исходов. Понятие плотности распределения ([2]).

   5. Аксиоматика теории вероятностей. Вероятность как счетно-аддитивная мера на s-алгебре событий. Лемма непрерывности.

   6. Условная вероятность. Независимые события и формула произведения вероятностей ([1]).

   7. Разбиения пространства элементарных исходов. Формула полной вероятности. Формула Байеса. Апостериорная вероятность ([1]).
      

2. Последовательности однородных независимых испытаний с конечным числом исходов
   
   1. Схема Бернулли. Биномиальное распределение (формула Бернулли). Связь биномиального и гипергеометрического распределений ([1], [3]).

   2. Теорема Пуассона с оценкой скорости сходимости. Распределение Пуассона ([1-3]).

   3. Полиномиальное распределение. Размещение частиц по ячейкам. Теорема Пуассона для полиномиального распределения ([2]).

   4. Нормальное распределение. Нормальное приближение биномиального и полиномиального распределений. Локальная предельная теорема ([1], [2]).

   5. Теорема Муавра-Лапласа ([1]).
      

3. Случайные величины (СВ)
   
   1. Типы распределений СВ: дискретные, абсолютно непрерывные, сингулярные, смеси. Плотность распределения ([1]).

   2. Функции распределения и их свойства. Преобразования СВ ([1]).

   3. Совместное распределение и независимость конечной совокупности СВ. Плотность совместного распределения. Композиция (свёртка) распределений ([1]).

   4. Виды сходимости последовательностей СВ: слабая, по вероятности, в среднем, почти наверное. Лемма Бореля - Кантелли ([1]).

   5. Моделирование случайных величин. Квантильные преобразования. Существование последовательностей независимых случайных величин.
      

4. Моментные характеристики распределений
   
   1. Математическое ожидание (МО) как абстрактный интеграл Лебега. Механическая интерпретация. Моменты. Формула замены переменной и интеграл Стилтьеса ([1]).

   2. Вычисление МО функций от конечного набора СВ. Смешанные моменты. Теорема умножения ([1]).

   3. Моменты второго порядка: дисперсия, ковариация, коэффициент корреляции. Ковариационная матрица. Неравенства Коши - Буняковского, Гёльдера, Минковского, Йенсена ([1], [3] ).

   4. Переход к пределу под знаком МО. Эквивалентное определение слабой сходимости ([1]).

   5. МО случайного числа СВ. Тождество Вальда. Простейшие ветвящиеся процессы ([1], [4]).

   6. Гильбертово пространство СВ с конечными вторыми моментами. Ортогональная проекция на замкнутое линейное подпространство ([1], [4]).

   7. Условное МО при фиксации сопутствующих наблюдений (СВ) как ортогональная проекция ([1], [4]).

   8. Задача о прогнозе. Оптимальный линейный прогноз ([1], [4]).

   9. Многомерное нормальное распределение. Приведение к каноническому виду. Некоррелируемость и независимость СВ. Оптимальный прогноз гауссовских последовательностей ([1]).

   10. Условные распределения. Условные квантильные преобразования. Моделирование последовательностей случайных величин с заданными совместными распределениями.
       

5. Закон больших чисел
   
   1. Неравенство Чебышева и его обобщения ([1]).

   2. Законы больших чисел для последовательностей слабо зависимых СВ с конечными дисперсиями.

   3. Закон больших чисел в форме Хинчина ([1]).

   4. Усиленный закон больших чисел ([1]).
      

6. Характеристические функции
   
   1. Основные свойства характеристических функций ([1]).

   2. Вычисление характеристических функций классических распределений ([1]).

   3. Формулы обращения. Теорема о взаимно-однозначном соответствии ([1]).

   4. Теорема непрерывности. Метод характеристических функций ([1]).
      

7. Основные предельные теоремы с оценкой скорости сходимости
   
   1. Нормальная аппроксимация сумм независимых СВ с конечными дисперсиями (центральная предельная теорема, [1]).

   2. Оценка скорости сходимости средних в центральной предельной теореме. Метод композиции ([1]).

   3. Обобщение теоремы Пуассона. Обобщенное распределение Пуассона ([1], [3]).

   4. Оценка скорости сходимости средних в теореме Пуассона.
      

8. Простейшие случайные процессы
   
   1. Способы задания распределений случайных процессов. Теорема Колмогорова ([1]).

   2. Бернуллиевское блуждание на прямой. Задача о разорении ([2]).

   3. Процессы восстановления. Теорема восстановления. Процесс Пуассона ([1]).

   4. Процессы с независимыми приращениями. Винеровский процесс ([1]).

   5. Марковские процессы со счетным множеством состояний (цепи Маркова). Марковское свойство показательного распределения ([1], [4]).

   6. Эргодическая теорема для цепей Маркова. Стационарное распределение ([4]).
      

ЛИТЕРАТУРА

1. Боровков А.А. Теория вероятностей. М., Наука, 1986.
2. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. М.: ФМ, 1961.
3. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. М.: Мир, Т.1, 1964.
4. Розанов Ю.А. Случайные процессы. Краткий курс. М.: Наука, 1979.
   

Программу составил
профессор И.С.Борисов