Next: Регулярность семейства распределений Up: Оглавление Previous: Вопросы и упражнения

4. Эффективные оценки

Вернемся к сравнению оценок в смысле среднеквадратического подхода. В классе одинаково смещенных оценок эффективной мы назвали оценку с наименьшим среднеквадратическим отклонением (или наименьшей дисперсией). Но попарное сравнение оценок — далеко не лучший способ отыскания эффективной оценки. Сегодня мы познакомимся с утверждением, позволяющим во многих случаях доказать эффективность оценки (если, конечно, она на самом деле эффективна).

Это утверждение называется неравенством Рао — Крамера и говорит о том, что в любом классе $K_{b(\theta)}$ существует нижняя граница для среднеквадратического отклонения ${\mathsf E}_\theta\,\left(\theta^*-\theta\right)^2$ любой оценки.

Таким образом, если найдется оценка, отклонение которой в точности равно этой нижней границе (самое маленькое), то данная оценка — эффективна, поскольку у прочих оценок отклонение меньше быть не может.

К сожалению, данное неравенство верно лишь для так называемых «регулярных» семейств распределений, к которым не относится, например, большинство равномерных.

N.I.Chernova 9 сентября 2002