«Скорость» сходимости оценки к параметру

Теорема 6.

Если $\theta^*$ — асимптотически нормальная оценка для $\theta$ , то $\theta^*$ состоятельна.

Доказательство теоремы 6. Вспомним свойство слабой сходимости: произведение двух последовательностей, одна из которых сходится (по вероятности) к постоянной, а другая слабо сходится к некоторой случайной величине, слабо сходится к произведению пределов. Поэтому

$\begin{displaymath} \theta^*-\theta=\dfrac{1}{\sqrt{n}}\cdot\sqrt{n}(\theta^*-\theta) \Rightarrow 0\cdot\xi=0,\end{displaymath}$

где $\xi$ имеет нормальное распределение ${\mathsf N}_{0,\sigma^2(\theta)}$ . Но слабая сходимость к нулю влечет сходимость к нулю по вероятности.

Упражнение. Верно ли утверждение теоремы 6, если предельная величина $\xi$ имеет распределение, отличное от нормального?

Таким образом, если $\theta^*$ асимптотически нормальна, то $\theta^* \buildrel {p} \over \longrightarrow \theta$ , или $\theta^*-\theta \buildrel {p} \over \longrightarrow 0$ . Свойство асимптотической нормальности показывает, в частности, что скорость этой сходимости имеет порядок $\dfrac{1}{\sqrt{n}}$ , т.е. расстояние между $\theta^*$ и $\theta$ ведет себя как $\dfrac{1}{\sqrt{n}}$ :

$\begin{displaymath} \theta^*-\theta \buildrel {p} \over \longrightarrow 0, \text... ...(\theta^*-\theta) \Rightarrow {\mathsf N}_{0,\sigma^2(\theta)}.\end{displaymath}$

Взглянем с этой точки зрения на оценку в примере 12. Для нее (и для тех, кто справился с упражнениями)

Упражнение. Лучше это или хуже?

3.4. «Скорость» сходимости оценки к параметру