Асимптотическая нормальность ОММ

В примере 12 мы видели, что для оценок типа $2\overline X$ свойство асимптотической нормальности сразу следует из ЦПТ.

Установим асимптотическую нормальность оценок более сложного вида, какими обычно оказываются оценки метода моментов.

Свойство 5.

Пусть функция такова, что $0\neq {\mathsf D}_\theta\, g(X_1)<\infty$ . Тогда статистика $\overline{g(X)}=\dfrac{1}{n}\sum g(X_i)$ является асимптотически нормальной оценкой для ${\mathsf E}_\theta\, g(X_1)$ с коэффициентом $\sigma^2(\theta)={\mathsf D}_\theta\, g(X_1)$ :

$\begin{displaymath} \sqrt{n}\dfrac{\overline{g(X)}-{\mathsf E}_\theta\, g(X_1)}{\sqrt{{\mathsf D}_\theta\, g(X_1)}}\Rightarrow {\mathsf N}_{0,1}.\end{displaymath}$

Следующая теорема утверждает асимптотическую нормальность оценок вида

$\begin{displaymath} \theta^*=H\left(\overline{g(X)}\right)= H\left(\dfrac{\sum_1^n g(X_i)}{n}\right).\end{displaymath}$

Такие оценки получаются обычно найти примеры! при использовании метода моментов, при этом всегда $\theta=H\left({\mathsf E}_\theta\, g(X_1)\right)$ .

Теорема 7.

Пусть функция такова, что $0\neq {\mathsf D}_\theta\, g(X_1)<\infty$ , а функция непрерывно дифференцируема в точке $a={\mathsf E}_\theta\, g(X_1)$ и $H'(a)=H'(y)\bigl\lvert_{y=a}\neq 0$ .

Тогда оценка $\theta^*=H\left(\overline{g(X)}\right)$ является асимптотически нормальной оценкой для параметра $\theta=H\left({\mathsf E}_\theta\, g(X_1)\right)=H(a)$ с коэффициентом $\sigma^2(\theta)=\left(H'(a)\right)^2\cdot{\mathsf D}_\theta\, g(X_1)$ .

Доказательство теоремы 7. Согласно ЗБЧ последовательность $\overline {g(X)}$ стремится к $a={\mathsf E}_\theta\, g(X_1)$ по вероятности с ростом

. Функция

$\begin{displaymath} G(y)=\begin{cases} \dfrac{H(y)-H(a)}{y-a}, & y\ne a,\cr H'(a), & y=a \end{cases}\end{displaymath}$

по условию непрерывна в точке

. Поскольку сходимость по вероятности сохраняется под действием непрерывной функции, получим, что

Заметим также, что по свойству 5 величина $\sqrt{n}\left(\overline{g(X)}-a\right)$ слабо сходится к нормальному распределению ${\mathsf N}_{0,{\mathsf D}_\theta\, g(X_1)}$ . Пусть $\xi$ — случайная величина из этого распределения. Тогда

Мы использовали свойство слабой сходимости: если $\xi_n\Rightarrow \xi$ и $\eta_n \buildrel {p} \over \longrightarrow c=\textrm{const}$ , то $\xi_n\eta_n\Rightarrow c\xi$ .

Но $\xi\cdot H'(a)$ как раз и имеет распределение ${\mathsf N}_{0,\, (H'(a))^2\cdot {\mathsf D}_\theta\, g(X_1)}$ .

Пример 13.

Пусть , $\ldots$ , — выборка объема из равномерного распределения ${\mathsf U}_{0,\theta}$ , где $\theta\gt$ . Проверим, являются ли оценки $\theta^*_k=\sqrt[k]{(k+1)\overline{X^k}}$ , =1, 2,..., полученные методом моментов в примере 4, асимптотически нормальными.

Пусть , $H(y)=\sqrt[k]{y}$ . Тогда

$\begin{displaymath} \theta^*_k=\sqrt[k]{(k+1)\overline{X^k}} = \sqrt[k]{\dfrac{\sum (k+1)X_i^k}{n}} = H\left(\dfrac{\sum g(X_i)}{n}\right).\end{displaymath}$

При этом

$\begin{displaymath} \theta=H\left({\mathsf E}_\theta\, g(X_1)\right)=\sqrt[k]{{\... ...}_\theta\, (k+1)X_1^k}= \sqrt[k]{ (k+1)~\dfrac{\theta^k}{k+1}}.\end{displaymath}$

Впрочем, иначе быть не могло по определению метода моментов. верно? Проверим другие условия теоремы 7:

$\begin{displaymath} a={\mathsf E}_\theta\, g(X_1)=(k+1)~\dfrac{\theta^k}{k+1}=\theta^k,\end{displaymath}$

Дисперсия

$\begin{displaymath} {\mathsf D}_\theta\, g(X_1)= {\mathsf E}... ... -\theta^{2k}=\dfrac{k^2}{2k+1}~\theta^{2k}\hphantom{Dispersia}\end{displaymath}$

конечна и отлична от нуля. Функция непрерывно дифференцируема в точке :

$\begin{displaymath} H'(y)=\dfrac{1}{k}\,y{\vphantom{Y}}^{\tfrac{1-k}{k}}, \textr... ... \dfrac{1}{k} \theta^{1-k} \textrm{ непрерывна при } \theta\gt.\end{displaymath}$

По теореме 7, оценка $\theta^*_k$ — АНО для $\theta$ с коэффициентом

$\begin{displaymath} \sigma^2_k(\theta)=\left(H'(a)\right)^2{\mathsf D}_\theta\, ... ...k} \cdot \dfrac{k^2}{2k+1}\,\theta^{2k}=\dfrac{\theta^2}{2k+1}.\end{displaymath}$

В том числе для $\theta^*_1=2\overline X$ имеем коэффициент $\sigma^2_1(\theta)=\dfrac{\theta^2}{3}$ (см. пример 12).

Осталось понять, при чем тут сравнение оценок и что показывает коэффициент асимптотической нормальности.

3.5. Асимптотическая нормальность ОММ