Экзамен по высшей математике

Программа вступительных экзаменов в магистратуру экономического факультета НГУ по дисциплине «Высшая математика»

Линейная алгебра.

1. Векторы, матрицы и действия с ними. Линейная зависимость системы векторов. Базис линейного пространства. Скалярное произведение.

2. Определитель квадратной матрицы. Вычисление определителей. Разложение определителя по строке и по столбцу.

3. Транспонированная матрица. Обратная матрица. Ранг матрицы. Специальные виды матрицы.

4. Системы линейных уравнений. Метод Крамера. Метод Гаусса. Фундаментальная система решений.

5. Собственные числа, собственные векторы, Жорданова форма матрицы.

6. Квадратичные формы. Матрица квадратичной формы. Условие положительной (отрицательной) определенности квадратичной формы.

Математический анализ.

1. Числовые последовательности. Предел последовательности. Свойства пределов последовательностей.

2. Функции одной переменной. Предел функции. Производные. Формула Тейлора. Разложение функции в ряд Тейлора. Исследование и построение графика функции.

3. Функции многих переменных. Частные производные. Полный дифференциал. Градиент функции. Производная по направлению. Матрица Гессе. Безусловный экстремум функции многих переменных. Необходимые и достаточные условия экстремума функции многих переменных.

4. Выпуклые функции и множества. Выпуклость положительно (отрицательно) определенных квадратичных форм. Примеры экономических приложений. Оптимизация при наличии ограничений. Функция Лагранжа и ее стационарные точки. Максимизация полезности и бюджетное ограничение. Окаймленный Гессиан. Условия второго порядка.

Дифференциальные уравнения.

1. Уравнения с разделяющимися переменными. Уравнения в полных дифференциалах. Метод замены переменных. Уравнение Бернулли.

2. Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка. Метод вариации постоянной.

3. Однородные линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Устойчивость решения.

4. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами и с правой частью специального вида.

Теория вероятностей.

1. Основные понятия теории вероятностей. Случайные события и случайные величины. Функция распределения и функция плотности распределения. Совместное распределение нескольких случайных величин. Условные распределения.

2. Характеристики распределений случайных величин (математическое ожидание, дисперсия, ковариация). Свойства математического ожидания, дисперсии и ковариации. Условное математическое ожидание.

3. Нормальное распределение и связанные с ним: хи-квадрат распределение, распределения Стьюдента и Фишера, их основные свойства. Статистические таблицы и их использование.

Математическая статистика.

1. Генеральная совокупность и выборка. Выборочное распределение и выборочные характеристики (среднее, дисперсия, ковариация, коэффициент корреляции). Корреляционная связь.

2. Статистическое оценивание. Точечные оценки. Линейность, несмещенность, эффективность и состоятельность оценок. Интервальные оценки, доверительный интервал.

3. Статистические выводы и проверка статистических гипотез. Ошибки 1-го и 2-го рода. Уровень доверия, уровень значимости, мощность критерия и P-value теста. Проверка значимости.

4. Линейная регрессионная модель для случая одной и нескольких объясняющих переменных. Теоретическая и выборочная регрессии. Природа случайной составляющей. Линейность по переменным и параметрам.

5. Оценивание параметров. Метод наименьших квадратов (МНК). Свойства оценок параметров, полученных по МНК. Разложение суммы квадратов отклонений. Дисперсионный анализ. Степень соответствия линии регрессии имеющимся данным. Коэффициент детерминации и его свойства.

6. Классическая линейная регрессия. Статистические характеристики (математическое ожидание, дисперсия и ковариация) оценок параметров. Теорема Гаусса-Маркова.

7. Предположение о нормальном распределении случайной ошибки в рамках классической линейной регрессии и его следствия. Доверительные интервалы оценок параметров и проверка гипотез о их значимости. Проверка адекватности регрессии. Прогнозирование по регрессионной модели и его точность.