Лектор: д.ф.-м.н., профессор А. И. Кожанов
Время и место проведения — среда, 16:20, ауд. 5218, учебного корпуса НГУ
Первое занятие состоится 14.10.2026
Исследования в математике, связанные с вырождающимися дифференциальными уравнениями, фактически начались в XIX веке; связаны эти исследования были со знаменитыми уравнениями Бесселя, Лежандра, Гаусса. Теория вырождающихся дифференциальных уравнений развивалась и исходя из потребностей собственно математики, и в связи с их важностью для математического моделирования — для решения задач механики, физики, биологии. Начиная с первых лет XX века акцент в исследованиях вырождающихся дифференциальных уравнений сместился с теории обыкновенных дифференциальных уравнений к теории вырождающихся дифференциальных уравнений в частных производных.
Именно в начале XX века появились первые работы, посвящённые новому для того времени разделу теории уравнений в частных производных — теории уравнений смешанного типа (уравнения смешанного типа можно называть дифференциальными уравнениями с вырождением внутри своей области определения).
Начало исследований краевых задач для уравнений смешанного типа было положено в работах Ф. Трикоми, С. Геллерстедта. Существенный вклад в теорию таких уравнений внесли С. А. Чаплыгин, Ф. И. Франкль, А. В. Бицадзе, К. И. Бабенко, М. С. Салахитдинов, Л. Берс, К. Моравец, А. М. Нахушев, В. Н. Врагов, Т. Ш. Кальменов.
Теория уравнений смешанного типа первоначально представлялась как сугубо математическая теория. Однако уже к середине XX века в работах С. А. Чаплыгина и Ф. И. Франкля, позднее в работах К. Моравец, К. Г. Гудерлея, М. А. Лаврентьева, С. А. Христиановича, И. Н. Века выяснилось, что уравнения смешанного типа имеют тесную связь с задачами аэродинамики, газовой динамики, теории упругости. И в целом в современном математическом моделировании теория уравнений смешанного типа играет очень большую роль.
Отдельно отметим фундаментальную роль в теории вырождающихся уравнений и уравнений смешанного типа работ М. В. Келдыша и Г. Фикеры. Именно в работе М. В. Келдыша был впервые обнаружен эффект освобождения характеристической части границы области определения вырождающегося уравнения от несения граничных условий. В дальнейшем работа М. В. Келдыша послужила основой теории Г. Фикеры постановки краевой задачи для эллиптико-параболических уравнений в терминах коэффициентов; исследования Г. Фикеры были продолжены в работах О. А. Олейник, Е. В. Радкевича, С. А. Терсенова, В. Н. Врагова.
В современной теории вырождающихся уравнений и уравнений смешанного типа важную роль играет математический аппарат, основанный на теории обобщённых функций (Л. Шварц) и теории функций с обобщёнными производными (С. Л. Соболев). Именно этот аппарат, а также ряд понятий и теорем функционального анализа, будут в основном использоваться в настоящей работе.
Программа курса:
• Исследования в математике, связанные с вырождающимися дифференциальными уравнениями, фактически начались в XIX веке; связаны эти исследования были со знаменитыми уравнениями Бесселя, Лежандра, Гаусса.
• Теория вырождающихся дифференциальных уравнений развивалась и исходя из потребностей собственно математики, и в связи с их важностью для математического моделирования — для решения задач механики, физики, биологии.
• Начиная с первых лет XX века акцент в исследованиях вырождающихся дифференциальных уравнений сместился с теории обыкновенных дифференциальных уравнений к теории вырождающихся дифференциальных уравнений в частных производных.
• Именно в начале XX века появились первые работы, посвящённые новому для того времени разделу теории уравнений в частных производных — теории уравнений смешанного типа.
• Начало исследований краевых задач для уравнений смешанного типа было положено в работах Ф. Трикоми, С. Геллерстедта; существенный вклад внесли С. А. Чаплыгин, Ф. И. Франкль, А. В. Бицадзе, К. И. Бабенко, М. С. Салахитдинов, Л. Берс, К. Моравец, А. М. Нахушев, В. Н. Врагов, Т. Ш. Кальменов.
• Связь уравнений смешанного типа с задачами аэродинамики, газовой динамики, теории упругости (работы С. А. Чаплыгина, Ф. И. Франкля, К. Моравец, К. Г. Гудерлея, М. А. Лаврентьева, С. А. Христиановича, И. Н. Века).
• Фундаментальная роль работ М. В. Келдыша и Г. Фикеры: эффект освобождения характеристической части границы области определения вырождающегося уравнения от несения граничных условий; теория Г. Фикеры постановки краевой задачи для эллиптико-параболических уравнений в терминах коэффициентов; продолжение исследований в работах О. А. Олейник, Е. В. Радкевича, С. А. Терсенова, В. Н. Врагова.
• Математический аппарат: теория обобщённых функций (Л. Шварц) и теория функций с обобщёнными производными (С. Л. Соболев), понятия и теоремы функционального анализа.
