Солитонами называют удивительное явление - изолированные волны, взаимодействующие при столкновении особенным образом. Как волновые функции солитоны описываются уравнениями в частных производных, однако изучение внутренних симметрий этих необычных уравнений приводит в другие области современной математики: интегрируемые системы, теорию представлений, алгебраическую геометрию, вычислительную математику, моделирование, прикладную математику.
В этом курсе мы расскажем, как теория представлений бесконечномерных алгебраических структур и комбинаторика симметрических функций помогают построить семейства решений знаменитой солитонной иерархии Кадомцева–Петвиашвили. Удивительным образом функции, которые задают эти решения, независимо играют важную роль в самой теории представлений.
Мы планируем затронуть следующие темы:
- Примеры солитонных уравнений и их решений. Свойства солитонов.
- Производные Хироты.
- КдФ уравнение и КП уравнение в терминах производных Хироты.
- Введение в теорию симметрических функций.
- Полубесконечная внешняя алгебра.
- Формальные распределения.
- Действие бесконечномерных алгебраических структур на полубесконечной внешней алгебре и на алгебре симметрических функций.
- Бозон-фермионное соответствие.
- Билинейная форма КП иерархии.
- Решения билинейного КП тождества.
- Функции Шура как решения билинейного КП тождества.
- Представление симметрических функции через действие вертексных операторов на вакуумный вектор.
Для первой вводной лекции желательно некоторое знакомство с теорией дифференциальных уравнений. Для понимания действия алгебраических структур желательно знание линейной алгебры векторных пространств, (в частности, может понадобиться понятие тензорного произведения векторных пространств, внешней степени векторного пространства). Наличие опыта в теории представлений необязательно, но очень поможет пониманию общих идей.
