Лаборатория краевых задач механики сплошных сред

Основным направлением исследований лаборатории является математический анализ движений сплошных сред со сложной реологией. Среди рассматриваемых моделей – уравнения Навье-Стокса динамики вязкого теплопроводного газа, математические проблемы теории нелинейных волн, уравнения динамики неньютоновских сред, уравнения, описывающие рост биологических материалов.

Рассматриваемые модели находят широкое применение в астрофизике при описании процессов эволюции звезд и движения газовых облаков во вселенной. Исследование волновых процессов в жидкости необходимо для точного описания таких явлений, как цунами, спорадические гигантские волны, процессы переносы энергии и массы в океане.

Неньютоновские жидкости находят весьма широкое применение в технологических процессах. Все биологические среды являются неньютоновскими. Знание законов их движения необходимо для моделирования процессов кровообращения и конструирования трансплантов. Теория роста биологических материалов является сравнительно новой дисциплиной, лежащей на стыке теории упругости, биохимии и термодинамики открытых систем. Ее основная цель – прогнозирование развития онкологических заболеваний и выбор оптимальной стратегии их лечения.

Результаты работы лаборатории:

• доказана корректность задачи о плоском течении изотермического вязкого газа. Эта задача имеет простую формулировку и была первой задачей теории уравнений динамики вязкого газа, для которой в 1985 году была анонсирована глобальная разрешимость. Доказательство оказалось ошибочным, и в течение тридцати лет задача оставалась нерешенной; 
• установлено существование слабых решений стационарных уравнений Навье-Стокса динамики вязкого газа для всех показателей адиабаты больше единицы. Раннее этот результат был известен для показателей адиабаты больше 3/2 (задача Лионса). Этот результат имеет принципиальное значение, так как отсутствие решений для малых показателей адиабаты говорит о наличии сингулярностей в форме волокон в газовых облаках. Для межгалактических облаков показатель адиабаты равен единице. Полученные результаты дают возможность исследовать этот предельный случай;
• построена и обоснована квазистатическая модель для роста биологического материала, которая учитывает влияние напряжений и температуры на процесс роста. Показано, что в каждый момент времени решение удовлетворяет принципу минимума внутренней энергии и аналогу принципа Пригожина минимального производства энтропии.

Международные партнеры лаборатории: 

Центр математики и фундаментальных приложений Лиссабонского университета, Институт Elie Cartan и Лаборатория LEMTA, Нанси, Франция.

Кафедра прикладной математики Механико-математического факультета НГУ
Институт гидродинамики СО РАН